Фильтр Колмогорова – Зурбенко

В статистике фильтр Колмогорова -Зурбенко (КЗ) был впервые предложен А. Н. Колмогоровым и формально определен Зурбенко. ^{[ 1 ]} Это серия итераций фильтра скользящего среднего длиной m , где m — положительное нечетное целое число. Фильтр КЗ относится к классу фильтров нижних частот . Фильтр KZ имеет два параметра: длину m окна скользящего среднего и количество итераций k самого скользящего среднего. Ее также можно рассматривать как специальную оконную функцию, предназначенную для устранения утечки спектра.

Андрей Колмогоров и Игорь Зурбенко на научно-исследовательском корабле в Тихом океане.

Фон

Оригинальная идея фильтра КЗ возникла у А.Н. Колмогорова при исследовании турбулентности в Тихом океане. ^{[ 1 ]} Колмогоров только что получил Международную премию Бальзана за закон 5/3 в энергетических спектрах турбулентности . Удивительно, но закон 5/3 не соблюдался в Тихом океане, что вызвало большую обеспокоенность. Стандартное быстрое преобразование Фурье (БПФ) было полностью обмануто шумной и нестационарной океанской средой. KZ-фильтрация решила проблему и позволила доказать закон Колмогорова в этой области. Построение фильтров опиралось на основные понятия непрерывного преобразования Фурье и их дискретных аналогов. Алгоритм . фильтра КЗ основан на определении производных более высокого порядка для дискретных функций как разностей более высокого порядка Полагая, что бесконечная гладкость гауссовского окна является прекрасным, но нереалистичным приближением истинно дискретного мира, Колмогоров выбрал конечно дифференцируемое сужающееся окно с конечной поддержкой и создал эту математическую конструкцию для дискретного случая. ^{[ 1 ]} Фильтр KZ надежен и почти оптимален. Поскольку его работа представляет собой простое скользящее среднее (MA), фильтр KZ хорошо работает в среде недостающих данных, особенно в многомерных временных рядах, где проблема недостающих данных возникает из-за пространственной разреженности. Еще одной приятной особенностью фильтра KZ является то, что оба параметра имеют четкую интерпретацию, поэтому его могут легко использовать специалисты в разных областях. В рамках популярного статистического программного обеспечения R было разработано несколько пакетов программного обеспечения для временных рядов, продольных и пространственных данных, которые облегчают использование фильтра KZ и его расширений в различных областях. Постдокторская должность И.Зурбенко в Калифорнийском университете в Беркли с Ежи Нейманом и Элизабет Скотт дала множество идей применения, поддержанных в контактах с Мюрреем Розенблаттом , Робертом Шамуэем , Харальдом Крамером , Дэвидом Бриллинджером, Гербертом Роббинсом , Уилфридом Диксоном , Эмануэлем Парзеном .

Определение

КЗ Фильтр

Позволять $\{X(t)\},t=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ быть действительным временным рядом , фильтр KZ с параметрами $m$ и $k$ определяется как

KZ_{m,k}[X(t)]=\sum _{s=-k(m-1)/2}^{k(m-1)/2}{X(t+s)\times {a_{s}^{m,k}}}

где коэффициенты

a_{s}^{m,k}={\frac {c_{s}^{k,m}}{m^{k}}},s={\frac {-k(m-1)}{2}},\dots ,{\frac {k(m-1)}{2}}

задаются полиномиальными коэффициентами, полученными из уравнения

\sum _{r=0}^{k(m-1)}{z^{r}c_{r-k(m-1)/2}^{k,m}=(1+z+\dots +z^{m-1})^{k}}

С другой точки зрения фильтр КЗ с параметрами $m$ и $k$ может быть определен как $k$ временные итерации фильтра скользящего среднего (MA) $m$ точки. Его можно получить путем итераций.

Первая итерация — применить фильтр MA к процессу. $X(t)$

KZ_{m,k=1}[X(t)]=\sum _{s=-(m-1)/2}^{(m-1)/2}{X(t+s)}\times {\frac {1}{m}}

Вторая итерация заключается в применении операции MA к результату первой итерации.

{\begin{aligned}&KZ_{m,k=2}[X(t)]=\sum _{s=-(m-1)/2}^{(m-1)/2}{KZ_{m,k=1}[X(t+s)]\times {\frac {1}{m}}}\\={}&\sum _{s=-2(m-1)/2}^{2(m-1)/2}{X(t+s)\times {a_{s}^{m,k=2}}}\end{aligned}}

Обычно k -я итерация представляет собой применение MA-фильтра к ( k - 1)-й итерации. Итерационный процесс простой операции МА очень удобен в вычислительном отношении.

Характеристики

Функция импульсной характеристики произведения фильтров представляет собой свертку импульсных характеристик. Коэффициенты фильтра КЗ $a м, к s$ можно интерпретировать как распределение, полученное сверткой k дискретных равномерных распределений на интервале $[ -(m - 1)/2 , (m - 1)/2 ]$ , где m — нечетное целое число. Следовательно, коэффициент $а$ образует сужающееся окно с конечной опорой $[ (m - 1) k + 1]$ . Фильтр КЗ $а$ имеет основной вес, сосредоточенный на длине $m \sqrt k$ , а веса снаружи обращаются в ноль. Импульсная характеристика фильтра KZ имеет $k - 2$ непрерывные производные и имеет асимптотическое распределение по Гауссу. Нулевые производные по краям для импульсной характеристики составляют от нее резко убывающую функцию, что разрешается в высоком частотном разрешении. энергии Функция передачи фильтра KZ равна

|B_{m,k}(\omega )|^{2}=\left\{{\frac {1}{m}}{\frac {\sin(\pi m\omega )}{\sin(\pi \omega )}}\right\}^{2k}.

Это фильтр нижних частот с частотой среза

\omega _{0}\approx {\frac {\sqrt {6}}{\pi }}{\sqrt {\frac {1-(1/2)^{1/2k}}{m^{2}-(1/2)^{1/2k}}}}.

По сравнению с фильтром MA фильтр KZ имеет гораздо лучшие характеристики с точки зрения ослабления частотных составляющих выше частоты среза. Фильтр KZ по сути представляет собой повторяющийся MA-фильтр. Его легко вычислить, и он позволяет легко справиться с недостающими данными. Основная часть этой процедуры — простое усреднение доступной информации в интервале из m точек без учета отсутствующих наблюдений в этом интервале. Ту же идею можно легко распространить на анализ пространственных данных. Было показано, что пропущенные значения очень мало влияют на передаточную функцию фильтра KZ.

Произвольное значение k обеспечит степень k этой передаточной функции и уменьшит значение бокового лепестка до $0,05. к$ . Это будет идеальный фильтр нижних частот. выбора k Для практических целей обычно достаточно в диапазоне от 3 до 5, когда обычный MA ( k = 1) обеспечивает сильную спектральную утечку около 5%.

Оптимальность

Фильтр KZ надежен и почти оптимален. Поскольку его работа представляет собой простое скользящее среднее, фильтр KZ хорошо работает в среде с недостающими данными, особенно в многомерном времени и пространстве, где недостающие данные могут вызвать проблемы, возникающие из-за пространственной разреженности. Еще одна приятная особенность фильтра KZ заключается в том, что каждый из двух параметров имеет четкую интерпретацию, поэтому его могут легко использовать специалисты в разных областях. Программные реализации для временных рядов, продольных и пространственных данных были разработаны в популярном статистическом пакете R , что облегчает использование фильтра KZ и его расширений в различных областях.

Фильтр KZ можно использовать для сглаживания периодограммы . Для одного класса случайных процессов Зурбенко ^{[ 1 ]} считается наихудшим сценарием, когда единственной доступной информацией о процессе является его спектральная плотность и гладкость, количественно определяемые условием Гёльдера . Он вывел оптимальную ширину полосы спектрального окна, которая зависит от базовой гладкости спектральной плотности. Зурбенко ^{[ 1 ]} сравнили характеристики окна Колмогорова-Зурбенко (KZ) с другими обычно используемыми спектральными окнами, включая окно Бартлетта , окно Парцена , окно Тьюки-Хемминга и однородное окно, и показали, что результат окна KZ наиболее близок к оптимальному.

Фильтрация KZ, разработанная как абстрактная дискретная конструкция, является надежной и статистически почти оптимальной. ^{[ 1 ]} В то же время, благодаря своей естественной форме, он обладает вычислительными преимуществами, позволяя анализировать проблемы пространства/времени с данными, в которых отсутствует до 90% наблюдений и которые представляют собой беспорядочную комбинацию нескольких различных физических явлений. ^{[ 2 ]} На «неразрешимые» проблемы часто можно найти ясные ответы. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} В отличие от некоторых математических разработок, KZ может быть адаптирован специалистами в разных областях, поскольку за ним стоит четкая физическая интерпретация. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Расширения

Расширения фильтра KZ включают адаптивный фильтр KZ (KZA), ^{[ 1 ]} пространственный фильтр KZ и преобразование KZ Фурье (KZFT). Ян и Зурбенко ^{[ 3 ]} предоставил подробный обзор фильтра KZ и его расширений. Также доступны пакеты R для реализации фильтрации KZ. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

КЗФТ

Фильтр KZFT предназначен для восстановления периодических сигналов или сезонности, покрытых сильным шумом. Сезонность — одна из ключевых форм нестационарности, которая часто наблюдается во временных рядах. Обычно его определяют как периодические компоненты временного ряда. Спектральный анализ — мощный инструмент для анализа временных рядов с учетом сезонности. Если процесс стационарен, его спектр также представляет собой непрерывную форму. Для простоты прогнозирования его можно рассматривать параметрически. Если в спектре присутствуют линии, это указывает на то, что процесс нестационарен и содержит периодичности. В этой ситуации параметрическая аппроксимация обычно приводит к сезонным остаткам с пониженной энергией. Это связано с сезонными изменениями. Чтобы избежать этой проблемы, рекомендуется использовать непараметрические подходы, включая полосовые фильтры. ^{[ 3 ]} Преобразование Фурье Колмогорова–Зурбенко (KZFT) является одним из таких фильтров. Целью многих приложений является восстановление вейвлета высокого разрешения из шумной среды. Было доказано, что KZFT обеспечивает наилучшее разрешение в спектральной области. Он позволяет разделить два сигнала на границе теоретически наименьшего расстояния или восстановить периодические сигналы, покрытые сильным шумом и нерегулярно наблюдаемые во времени. ^{[ 3 ]}^{[ 6 ]} Благодаря этому КЗФТ предоставляет уникальные возможности для различных приложений. Компьютерный алгоритм реализации KZFT представлен в программном обеспечении R. KZFT, по сути, представляет собой полосовой фильтр, принадлежащий к категории кратковременного преобразования Фурье (STFT) с уникальным временным окном.

КЗФТ легко обнаруживает небольшие отклонения от постоянной спектральной плотности белого шума, возникающие в результате работы компьютерного генератора случайных чисел . Такая компьютерная генерация случайных чисел в долгосрочной перспективе становится предсказуемой. Колмогоровская сложность дает возможность генерировать непредсказуемые последовательности случайных чисел. ^{[ 7 ]}

Формально у нас есть процесс $X (t)$ , $t = ...,-1,0,1,...$ , фильтр KZFT с параметрами m и k , вычисленный на частоте ν ₀ , создает выходной процесс, который определяется следующим образом:

KZFT_{m,k,\nu _{0}}[X(t)]=\sum _{s=-k(m-1)/2}^{k(m-1)/2}{X(t+s)\times {a_{s}^{m,k}\times {e^{-i(2m\nu _{0})s}}}}

где $ м, к s$ определяется как $: м , к с = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ C м , к с / м к ⁠$ , $с = ⁠ -k(m - 1) / 2 ⁠$ ,..., $⁠ -k(m - 1) / 2 ⁠$ и полиномиальные коэффициенты $C м, к s$ определяется как $Σ к (м - 1) г = 0 г р С к,м r - k (m - 1)/2 = (1 + z + ... + z (м - 1)) к$ . Видимо $КЗФТ m,k,ν 0 (t) [X (t)]$ эквивалентен применению $KZFT m,k (t)$ фильтр к процессу $X (t + s) e - я 2(mν 0) s$ . Аналогично, фильтр KZFT можно получить итерациями так же, как и фильтр KZ.

Среднее значение квадрата KZFT во времени за S периодов $ρ 0 = ⁠ 1 / ν 0 ⁠$ предоставит оценку квадратной амплитуды волны на частоте ν ₀ или периодограммы KZ (KZP) на основе 2 наблюдений Sρ ₀ вокруг момента t :

\operatorname {KZP} (t,m,k,\nu _{0})=2\left|{\frac {1}{2S\rho _{0}}}\sum _{\tau =-S\rho _{0}}^{S\rho _{0}}2\operatorname {Re} [KZFT_{m,k,\nu +0}[X(\tau +t)]]^{2}\right|

Передаточная функция КЗФТ, представленная на рисунке 2, имеет очень резкое частотное разрешение с полосой пропускания, ограниченной $c /(m \sqrt k)$ . Для комплексного процесса $X (t) = e я(2mν 0)t$ , $результат KZFT m,k,ν 0 (t)$ не изменится. Для действительного процесса энергия распределяется равномерно по реальным и сложным областям. Другими словами, $2Re[KZFT m,k,ν 0 (t)]$ восстанавливает косинус или синусоидальную волну на той же частоте ν ₀ . Отсюда следует, что $2Re[KZFT m,k,ν 0 (t)]$ правильно восстанавливает амплитуду и фазу неизвестной волны с частотой ν ₀ . На рисунке ниже представлена функция передачи мощности фильтрации KZFT. Он ясно показывает, что он идеально улавливает интересующую частоту ν ₀ = 0,4 и практически не обеспечивает утечки спектра из боковых лепестков, которые управляются параметром k фильтрации . Для практических целей выбора k в диапазоне 3–5 обычно достаточно, когда обычное БПФ ( k = 1) обеспечивает сильную утечку около 5%.

Пример: Имитированный сигнал
$sin 2π(0,10) t + sin 2 π (0,02) t +$ нормальный случайный шум N(0,16) использовался для проверки способности алгоритма KZFT точно определять спектры наборов данных с пропущенными значениями. Из практических соображений процент пропущенных значений использовался при p=70%, чтобы определить, может ли спектр продолжать захватывать доминирующие частоты. Используя более широкую длину окна m=600 и k=3 итерации, адаптивно сглаженный алгоритм KZP использовался для определения спектра для смоделированного набора продольных данных. На рисунке 3 видно, что доминирующие частоты 0,08 и 0,10 циклов в единицу времени можно идентифицировать как собственные частоты сигнала.

Реконструкция KZFT исходного сигнала, встроенного в высокий шум продольных наблюдений (коэффициент пропуска 60%). Фильтр KZFT в пакете R-программного обеспечения KZA имеет параметр f = частота. Определяя этот параметр для каждой из известных доминирующих частот, найденных в спектре, фильтр KZFT с параметрами m=300 и k=3 восстанавливает сигнал о каждой частоте (0,08 и 0,10 циклов в единицу времени). Восстановленный сигнал определялся путем двукратного применения фильтра KZFT (по одному разу для каждой доминирующей частоты) и последующего суммирования результатов каждого фильтра. Корреляция между истинным сигналом и восстановленным сигналом составила 96,4%; показано на рисунке 4. Исходные наблюдения не позволяют предположить сложную скрытую периодичность, которая была прекрасно восстановлена алгоритмом.

Необработанные данные часто содержат скрытые частоты. Комбинации нескольких волн с фиксированной частотой могут усложнить распознавание смеси сигналов, но все же остаются предсказуемыми с течением времени. Публикации ^{[ 3 ]}^{[ 6 ]} показывают, что атмосферное давление содержит скрытые периодичности, возникающие из-за гравитационной силы Луны и суточного периода Солнца. Реконструкция этих периодических сигналов атмосферных приливных волн позволяет объяснить и предсказать многие аномалии, присутствующие в экстремальных погодных условиях. Подобные приливные волны должны существовать и на Солнце, возникающие под действием гравитационной силы планет. Вращение Солнца вокруг своей оси вызовет течение, подобное экваториальному току на Земле. Возмущения или вихри вокруг течения вызовут аномалии на поверхности Солнца. Горизонтальные вращательные вихри в сильномагнитной плазме создадут вертикальный взрыв, который перенесет более глубокую и горячую плазму над поверхностью Солнца. Каждая планета создает на Солнце приливную волну с определенной частотой. Иногда любые две волны будут совпадать по фазе, а иногда – не в фазе. Результирующая амплитуда будет колебаться с разной частотой. Оценка спектров данных о солнечных пятнах с использованием алгоритма DZ ^{[ 3 ]}^{[ 6 ]} дает две резкие частотные линии с периодичностью, близкой к 9,9 и 11,7 года. Эти частотные линии можно рассматривать как разностные частоты, вызванные Юпитером и Сатурном (9,9) и Венерой и Землей (11,7). Разница частот между 9,9 и 11,7 дает частоту с 64-летним периодом. Все эти периоды можно идентифицировать по данным о солнечных пятнах. Компонента 64-летнего периода в настоящее время находится в режиме снижения. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Это снижение может вызвать эффект охлаждения на Земле в ближайшем будущем. Изучение совместного воздействия нескольких планет может выявить длительные периоды солнечной активности и помочь объяснить колебания климата на Земле.

КЗА

Адаптивная версия фильтра KZ, называемая адаптивным фильтром KZ (KZA), была разработана для поиска обрывов в непараметрических сигналах, покрытых сильным шумом. Фильтр KZA сначала определяет потенциальные временные интервалы, когда происходит обрыв. Затем он более тщательно исследует эти временные интервалы, уменьшая размер окна, чтобы увеличить разрешение сглаженного результата.

В качестве примера обнаружения точки перелома мы моделируем долгосрочный тренд, содержащий разрыв, скрытый сезонностью и шумом. На рисунке 2 представлен график сезонной синусоидальной волны с амплитудой 1 единица, нормально распределенным шумом ( $σ = 1$ ) и базовым сигналом с изломом. Чтобы усложнить ситуацию, базовый сигнал содержит общий нисходящий тренд в 1 единицу и прорыв вверх в 0,5 единицы. Нисходящий тренд и прорыв едва заметны в исходных данных. Базовый сигнал представляет собой ступенчатую функцию $y = ⁠ -1/7300 = 3452 ⁠ t (2 π t)$ с $t <$ и $y + sin ⁠ -1/7300 ⁠ 3452 (t t 3452) + sin(2 π) -$ с $< t < 7300$ . Применение сглаживающего фильтра нижних частот $KZ 3,365$ к исходным данным приводит к чрезмерному сглаживанию разрыва, как показано на рисунке 6. Положение разрыва больше не очевидно. Применение адаптивной версии фильтра KZ (KZA) обнаруживает разрыв, как показано на рисунке 5b. Конструкция КЗА основана на адаптивной версии итерационного сглаживающего фильтра КЗ. Идея состоит в том, чтобы изменить размер окна фильтрации на основе тенденций, обнаруженных с помощью KZ. Это приведет к тому, что фильтр увеличит масштаб областей, где данные изменяются; чем быстрее изменение, тем сильнее будет масштабирование. Первым шагом в построении KZA является использование KZ; $KZ q, k [X (t)]$ где k — итерации, а q — длина фильтра, где $KZ q, k$ — повторяющееся скользящее среднее $y i = ⁠ 1 / (2 q +1) ⁠ Σ д j=-q X i + j$ , где $x i$ — исходные данные, а $y i$ — отфильтрованные данные. Этот результат используется для построения адаптивной версии фильтра. Фильтр состоит из головы и хвоста ( q _f и q _b ) соответственно, где f = head и b = Tail), размер которых регулируется в зависимости от данных, эффективно увеличивая области, где данные быстро меняются. Головка q _f сжимается в ответ на разрыв данных. Вектор разности, построенный из КЗ; $D (т) знак равно | Z (т + q) - Z (т - q) |$ используется для нахождения дискретного эквивалента производной $D$ ' $(t) = D (t + 1) - D (t)$ . Этот результат определяет размеры головы и хвоста ( q _f и q _b соответственно) окна фильтрации. Если наклон положительный, голова сожмется, а хвост расширится до полного размера ( $D$ '( $t) > 0$ , тогда $q f (t) = f (D (t)) q$ и $q b (t) = q$ ) с $f (D (т)) = 1 - ⁠ D (т) / макс [D (т)] ⁠$ . Если наклон отрицательный, верхняя часть окна будет полноразмерной, а хвост уменьшится ( $D$ ' $(t) < 0$ , тогда $q f (t) = q$ и $q b (t) = f (D (t)) q$ Подробный код KZA доступен.

Алгоритм KZA обладает всеми типичными преимуществами непараметрического подхода; он не требует какой-либо конкретной модели исследуемого временного ряда. Он ищет внезапные изменения в низкочастотном сигнале любой природы, покрытом сильным шумом. КЗА демонстрирует очень высокую чувствительность к обнаружению обрывов даже при очень низком отношении сигнал/шум; Точность определения времени перерыва также очень высока.

Алгоритм KZA может применяться для восстановления зашумленных двумерных изображений. Это может быть двухуровневая функция f(x,y) в виде черно-белой картинки, поврежденной сильным шумом, или многоуровневая цветная картинка. KZA можно применять построчно для обнаружения разрыва (изменения цвета), тогда точки разрыва на разных линиях будут сглаживаться обычным фильтром KZ. ^{[ 3 ]} Демонстрация пространственной КЗА представлена на рисунке 7.

Определения резких частотных линий в спектрах можно определить по адаптивно сглаженной периодограмме. ^{[ 3 ]} Основная идея алгоритма — адаптивное сглаживание логарифма периодограммы KZ. Диапазон сглаживания обеспечивается некоторым фиксированным процентом условной энтропии от общей энтропии . Грубо говоря, алгоритм работает равномерно в информационном, а не частотном масштабе. Этот алгоритм также известен для параметра k=1 в KZP как алгоритм Дириенцо-Зурбенко и представлен в программном обеспечении.

Пространственный фильтр КЗ

Пространственный фильтр KZ можно применить к переменной, записанной во времени и пространстве. Параметры фильтра можно выбирать отдельно во времени и пространстве. Обычно можно применить физический смысл: какой масштаб усреднения разумен в пространстве и какой масштаб усреднения разумен во времени. Параметр k управляет резкостью разрешения фильтра или подавлением утечки частот. Алгоритмы пространственного фильтра KZ доступны в программном обеспечении R. Параметр времени результата можно рассматривать как виртуальный. время, то изображения результатов фильтрации в пространстве можно отображать как «кино» в виртуальном времени. Мы можем продемонстрировать применение трехмерного пространственного фильтра KZ, примененного к мировым рекордам температуры T ( t , x , y ) как функции времени t , долготы x и широты y . Для выбора параметров компонентов глобальных колебаний климата для KZ-фильтрации были выбраны 25 месяцев для времени t , 3° для долготы и широты. Параметр k был выбран равным 5 для учета разрешения масштабов. Одиночный слайд итогового «фильма» представлен на рисунке 8 ниже. Стандартное среднекосинусно-квадратичное распределение температуры низкое ^{[ 4 ]} по широтам вычитались для выявления колебаний климата во времени и пространстве.

На земном шаре за 2007 год мы видим аномалии колебаний температуры по закону косинуса-квадрата. Аномалии температуры отображаются на земном шаре в представленном на рисунке масштабе справа. Он демонстрирует очень высокую положительную аномалию над Европой и Северной Африкой, которая распространялась на протяжении последних 100 лет. Переменная абсолютной влажности несет ответственность за основные региональные изменения климата, как это было недавно показано Зурбенко Игорем и Смитом Девином в фильтрах Колмогорова-Зурбенко в пространственно-временном анализе. ^{[ 8 ]} Эти аномалии медленно меняются во времени в результате «кино» фильтрации КЗ, медленное усиление наблюдаемых аномалий выявляется во времени. Также можно идентифицировать колебания различных масштабов, таких как масштаб Эль-Ниньо и другие. ^{[ 4 ]} методом пространственной KZ-фильтрации. «Фильмы» высокой четкости в этих масштабах представлены в ^{[ 4 ]} над Северной Америкой. Различные шкалы могут быть выбраны с помощью KZ-фильтрации для разных переменных и соответствующего многомерного анализа. ^{[ 3 ]}^{[ 6 ]} может обеспечить результаты с высокой эффективностью для исследования переменной результата по сравнению с другими ковариатами. Разрешение фильтра KZ работает исключительно хорошо по сравнению с традиционными методами и фактически является оптимальным с точки зрения вычислений.

Реализации

В. Ян и И. Зурбенко. kzft: Преобразование Фурье Колмогорова – Зурбенко и его применение. Пакет Р, 2006.
Б. Клоуз и И. Зурбенко. kza: Адаптивный алгоритм Колмогорова–Зурбенко для обнаружения изображений. Пакет R, 2016 г. ( https://cran.r-project.org/web/packages/kza/ )
Java-реализация KZ и KZA для одномерных массивов Андреаса Вейлера и Михаэля Гроссниклауса (Университет Констанца, Германия) ( https://web.archive.org/web/20140914054417/http://dbis.uni-konstanz.de/ исследование/анализ потока социальных сетей/ )
Реализация KZ, KZFT и KZP на Python от Матье Шопфера (Университет Лозанны, Швейцария) ( https://github.com/MathieuSchopfer/kolmogorov-zurbko-filter )

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г И. Зурбенко. Спектральный анализ временных рядов. Серия Северной Голландии по статистике и вероятности, 1986.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Зурбенко И.; Портер, PS; Гуй, Р.; Рао, ST; Ку, JY; Эскридж, Р.Э. (1996). «Обнаружение разрывов во временных рядах аэрологических данных: разработка и демонстрация метода адаптивной фильтрации» . Журнал климата . 9 (12): 3548. Бибкод : 1996JCli....9.3548Z . doi : 10.1175/1520-0442(1996)009<3548:DDITSO>2.0.CO;2 . ISSN 1520-0442 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Ян, Вэй; Зурбенко, Игорь (2010). «Фильтры Колмогорова-Зурбенко». Междисциплинарные обзоры Wiley: вычислительная статистика . 2 (3): 340–351. дои : 10.1002/wics.71 . S2CID 121596443 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Зурбенко И.Г.; Сир, Д.Д. (2013). «Климатические колебания во времени и пространстве: Приложение к Зурбенко и Сиру (2011)» . Климатические исследования . 57 (1): 93–94. Бибкод : 2013ClRes..57...93Z . дои : 10.3354/cr01168 .
^ Б.Клоуз, И.Зурбенко, Адаптивный алгоритм Колмогорова – Зурбенко, Труды JSM, 2011
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Зурбенко Игорь Георгиевич; Потржеба, Эми Л. (2013). «Приливы в атмосфере». Качество воздуха, атмосфера и здоровье . 6 : 39–46. дои : 10.1007/s11869-011-0143-6 . S2CID 94420644 .
^ Зурбенко, ИГ (1993). «О генераторе слабокоррелированных случайных чисел». Журнал статистических вычислений и моделирования . 47 (1–2): 79–88. дои : 10.1080/00949659308811512 .
^ Зурбенко Игорь Георгиевич; Смит, Девин (2018). «Фильтры Колмогорова-Зурбенко в пространственно-временном анализе». Междисциплинарные обзоры Wiley: вычислительная статистика . 10 : е1419. дои : 10.1002/wics.1419 . S2CID 67178702 .

[z86-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г И. Зурбенко. Спектральный анализ временных рядов. Серия Северной Голландии по статистике и вероятности, 1986.

[zprkge-2] Jump up to: ^а ^б ^с Зурбенко И.; Портер, PS; Гуй, Р.; Рао, ST; Ку, JY; Эскридж, Р.Э. (1996). «Обнаружение разрывов во временных рядах аэрологических данных: разработка и демонстрация метода адаптивной фильтрации» . Журнал климата . 9 (12): 3548. Бибкод : 1996JCli....9.3548Z . doi : 10.1175/1520-0442(1996)009<3548:DDITSO>2.0.CO;2 . ISSN 1520-0442 .

[yz10-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Ян, Вэй; Зурбенко, Игорь (2010). «Фильтры Колмогорова-Зурбенко». Междисциплинарные обзоры Wiley: вычислительная статистика . 2 (3): 340–351. дои : 10.1002/wics.71 . S2CID 121596443 .

[zc-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Зурбенко И.Г.; Сир, Д.Д. (2013). «Климатические колебания во времени и пространстве: Приложение к Зурбенко и Сиру (2011)» . Климатические исследования . 57 (1): 93–94. Бибкод : 2013ClRes..57...93Z . дои : 10.3354/cr01168 .

[cz-5] Б.Клоуз, И.Зурбенко, Адаптивный алгоритм Колмогорова – Зурбенко, Труды JSM, 2011

[zp-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Зурбенко Игорь Георгиевич; Потржеба, Эми Л. (2013). «Приливы в атмосфере». Качество воздуха, атмосфера и здоровье . 6 : 39–46. дои : 10.1007/s11869-011-0143-6 . S2CID 94420644 .

[7] Зурбенко, ИГ (1993). «О генераторе слабокоррелированных случайных чисел». Журнал статистических вычислений и моделирования . 47 (1–2): 79–88. дои : 10.1080/00949659308811512 .

[8] Зурбенко Игорь Георгиевич; Смит, Девин (2018). «Фильтры Колмогорова-Зурбенко в пространственно-временном анализе». Междисциплинарные обзоры Wiley: вычислительная статистика . 10 : е1419. дои : 10.1002/wics.1419 . S2CID 67178702 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]