Jump to content

Поддержка (математика)

(Перенаправлено из службы поддержки Finite )

В математике поддержка действительной функции — это подмножество функции, области содержащее элементы, которые не отображаются в ноль. Если домен является топологическим пространством , то носитель вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество , содержащее все точки, не сопоставленные с нулем. Это понятие широко используется в математическом анализе .

Формулировка

[ редактировать ]

Предположим, что - функция с действительным знаком, областью определения которой является произвольное множество теоретико-множественная поддержка написано это набор точек в где не равно нулю:

Поддержка представляет собой наименьшее подмножество с имуществом, которое равно нулю в дополнении подмножества. Если для всех, кроме конечного числа точек затем говорят, что есть конечная поддержка .

Если набор имеет дополнительную структуру (например, топологию ), то поддержка определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество соответствующего типа, такого, что исчезает в соответствующем смысле на своем дополнении. Понятие опоры также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих множествах, чем и к другим объектам, таким как меры или распределения .

Закрытая поддержка

[ редактировать ]

Наиболее распространенная ситуация возникает, когда является топологическим пространством (таким как действительная линия или -мерное евклидово пространство ) и представляет собой непрерывную вещественную (или комплексную ) функцию. В этом случае поддержка , или закрытая поддержка , топологически определяется как замыкание (взятое в ) подмножества где ненулевое значение [1] [2] [3] то есть,

Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественный носитель

Например, если это функция, определяемая затем , поддержка , или закрытая поддержка , – закрытый интервал с не равно нулю на открытом интервале и замыкание этого множества есть

Понятие замкнутого носителя обычно применяется к непрерывным функциям, но это определение имеет смысл для произвольных действительных или комплекснозначных функций в топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы (или ) быть непрерывным. [4]

Компактная поддержка

[ редактировать ]

Функции с компактный носитель в топологическом пространстве – это те, чей замкнутый носитель представляет собой компактное подмножество Если это реальная линия, или -мерном евклидовом пространстве, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченная поддержка , поскольку подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Например, функция определенное выше, является непрерывной функцией с компактным носителем Если является гладкой функцией, тогда, поскольку тождественно на открытом подмножестве все Частные производные всех порядков также тождественны на

Условие компактности сильнее условия исчезновения на бесконечности . Например, функция определяется исчезает на бесконечности, так как как но его поддержка не компактен.

с компактным носителем Гладкие функции в евклидовом пространстве называются функциями рельефа . Смягчители являются важным частным случаем функций рельефа, поскольку их можно использовать в теории распределения для создания последовательностей гладких функций, аппроксимирующих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки .

В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, исчезающих на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования в данном примере. Как интуиция для более сложных примеров, так и на языке пределов для любых любая функция на реальной линии которое обращается в нуль на бесконечности, можно аппроксимировать выбором подходящего компактного подмножества из такой, что для всех где индикаторная функция Каждая непрерывная функция в компактном топологическом пространстве имеет компактный носитель, поскольку каждое замкнутое подмножество компакта действительно компактно.

Основная поддержка

[ редактировать ]

Если является топологическим пространством меры с борелевской мерой (такой как или измеримое по Лебегу подмножество оснащен мерой Лебега), то обычно выделяют функции, равные -почти везде. В этом случае существенная поддержка измеримой функции написано определяется как наименьшее закрытое подмножество из такой, что -почти везде снаружи Эквивалентно, является дополнением наибольшего открытого множества , на котором -почти везде [5]

Существенная поддержка функции зависит от меры а также на и оно может быть строго меньше закрытой опоры. Например, если это функция Дирихле, которая об иррациональных числах и о рациональных числах и оснащена мерой Лебега, то носитель это весь интервал но необходимая поддержка пусто, поскольку почти всюду равна нулевой функции.

В анализе почти всегда хочется использовать существенную поддержку функции, а не ее закрытую поддержку, когда два множества различны, поэтому часто пишется просто как и называется поддержкой. [5] [6]

Обобщение

[ редактировать ]

Если — произвольное множество, содержащее нуль, понятие носителя немедленно обобщается на функции Поддержка также может быть определена для любой алгебраической структуры с единицей (например, группы , моноида или композиционной алгебры ), в которой единичный элемент принимает на себя роль нуля. Например, семья функций от натуральных чисел к целым — это несчетное множество целочисленных последовательностей. Подсемейство — счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют лишь конечное число ненулевых элементов.

Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы . [7]

В теории вероятностей и меры

[ редактировать ]

В теории вероятностей поддержку распределения вероятностей можно рассматривать как замыкание множества возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.

Более формально, если является случайной величиной на тогда поддержка это наименьшее замкнутое множество такой, что

Однако на практике поддержка дискретной случайной величины часто определяется как набор и поддержка непрерывной случайной величины определяется как набор где представляет собой плотности вероятности функцию ( теоретико-множественная поддержка ). [8]

Обратите внимание, что слово поддержка» может относиться к логарифму вероятности « функции плотности вероятности. [9]

Поддержка дистрибутива

[ редактировать ]

Можно также говорить о поддержке распределения , такого как дельта-функция Дирака. на реальной линии. В этом примере мы можем рассмотреть тестовые функции которые являются гладкими функциями с носителем, не включая точку С (распределение применяется как линейный функционал к ) является для таких функций можно сказать, что поддержка является только. Поскольку меры (в том числе и вероятностные меры ) на действительной прямой являются частными случаями распределений, то точно так же можно говорить и о носителе меры.

Предположим, что это распределение, и это — открытое множество в евклидовом пространстве такое, что для всех тестовых функций такая, что поддержка содержится в Затем говорят, исчезает на Теперь, если исчезает в произвольном семействе открытых множеств, то для любой тестовой функции поддерживается в простой аргумент, основанный на компактности носителя и разбиение единицы показывает, что также. Следовательно, мы можем поддержку определить как дополнение к самому большому открытому множеству, на котором исчезает. Например, поддержка дельты Дирака

Единая поддержка

[ редактировать ]

В частности, в анализе Фурье интересно изучить Единственная поддержка дистрибутива. Это имеет интуитивную интерпретацию как набор точек, в которых распределение не может быть гладкой функцией .

Например, преобразование Фурье можно ступенчатой ​​функции Хевисайда с точностью до постоянных коэффициентов считать равным (функция), исключением за Пока это явно особая точка, точнее сказать, что преобразование распределения имеет сингулярный носитель : его нельзя точно выразить как функцию по отношению к тестовым функциям с поддержкой, включая Его можно выразить как применение интеграла главного значения Коши несобственного .

Для распределений нескольких переменных сингулярные носители позволяют определить множества волновых фронтов и понять принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа . Сингулярные носители также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки «перемножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака терпит неудачу - главным образом потому, что сингулярные носители умножаемых распределений должны быть непересекающимися).

Семья поддержки

[ редактировать ]

Абстрактное понятие семейство носителей в топологическом пространстве подходящий для теории пучков , был определен Анри Картаном . При распространении двойственности Пуанкаре на многообразия некомпактные идея «компактного носителя» естественным образом возникает с одной стороны двойственности; см., например, когомологии Александера-Спанье .

Бредон, «Теория связки» (2-е издание, 1997 г.) дает такие определения. Семья закрытых подмножеств является семейством опор , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его степень - это объединение семейство Паракомпактифицирующее носителей, удовлетворяющее больше, чем любое в с топологией подпространства пространством является паракомпактным ; и имеет некоторые в что такое район . Если является локально компактным пространством , предполагается, что Хаусдорф семейство всех компактных подмножеств удовлетворяет дальнейшим условиям, что делает его паракомпактным.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ, 2-е изд . Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 132.
  2. ^ Хёрмандер, Ларс (1990). Линейные дифференциальные уравнения в частных производных I, 2-е изд . Берлин: Springer Verlag. п. 14.
  3. ^ Паскуччи, Андреа (2011). Методы PDE и мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Боккони и Спрингер. Берлин: Springer-Verlag. п. 678. дои : 10.1007/978-88-470-1781-8 . ISBN  978-88-470-1780-1 .
  4. ^ Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ, 3-е изд . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 38.
  5. ^ Перейти обратно: а б Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике. Том. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . п. 13. ISBN  978-0821827833 .
  6. ^ Аналогичным образом вместо ее супремума используется существенная верхняя грань измеримой функции.
  7. ^ Томаш, Качиньский (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. п. 445. ИСБН  9780387215976 . OCLC   55897585 .
  8. ^ Табога, Марко. «Поддержка случайной величины» . statlect.com . Проверено 29 ноября 2017 г.
  9. ^ Эдвардс, AWF (1992). Вероятность (Расширенная ред.). Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 31–34. ISBN  0-8018-4443-6 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6d9388d9f3e2534ae3dcdf80c82f0026__1721439240
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6d/26/6d9388d9f3e2534ae3dcdf80c82f0026.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Support (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)