Поддержка (математика)
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( ноябрь 2009 г. ) |
В математике поддержка действительной функции — это подмножество функции, области содержащее элементы, которые не отображаются в ноль. Если домен является топологическим пространством , то носитель вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество , содержащее все точки, не сопоставленные с нулем. Это понятие широко используется в математическом анализе .
Формулировка
[ редактировать ]Предположим, что - функция с действительным знаком, областью определения которой является произвольное множество теоретико-множественная поддержка написано это набор точек в где не равно нулю:
Поддержка представляет собой наименьшее подмножество с имуществом, которое равно нулю в дополнении подмножества. Если для всех, кроме конечного числа точек затем говорят, что есть конечная поддержка .
Если набор имеет дополнительную структуру (например, топологию ), то поддержка определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество соответствующего типа, такого, что исчезает в соответствующем смысле на своем дополнении. Понятие опоры также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих множествах, чем и к другим объектам, таким как меры или распределения .
Закрытая поддержка
[ редактировать ]Наиболее распространенная ситуация возникает, когда является топологическим пространством (таким как действительная линия или -мерное евклидово пространство ) и представляет собой непрерывную вещественную (или комплексную ) функцию. В этом случае поддержка , или закрытая поддержка , топологически определяется как замыкание (взятое в ) подмножества где ненулевое значение [1] [2] [3] то есть,
Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественный носитель
Например, если это функция, определяемая затем , поддержка , или закрытая поддержка , – закрытый интервал с не равно нулю на открытом интервале и замыкание этого множества есть
Понятие замкнутого носителя обычно применяется к непрерывным функциям, но это определение имеет смысл для произвольных действительных или комплекснозначных функций в топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы (или ) быть непрерывным. [4]
Компактная поддержка
[ редактировать ]Функции с компактный носитель в топологическом пространстве – это те, чей замкнутый носитель представляет собой компактное подмножество Если это реальная линия, или -мерном евклидовом пространстве, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченная поддержка , поскольку подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Например, функция определенное выше, является непрерывной функцией с компактным носителем Если является гладкой функцией, тогда, поскольку тождественно на открытом подмножестве все Частные производные всех порядков также тождественны на
Условие компактности сильнее условия исчезновения на бесконечности . Например, функция определяется исчезает на бесконечности, так как как но его поддержка не компактен.
с компактным носителем Гладкие функции в евклидовом пространстве называются функциями рельефа . Смягчители являются важным частным случаем функций рельефа, поскольку их можно использовать в теории распределения для создания последовательностей гладких функций, аппроксимирующих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки .
В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, исчезающих на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования в данном примере. Как интуиция для более сложных примеров, так и на языке пределов для любых любая функция на реальной линии которое обращается в нуль на бесконечности, можно аппроксимировать выбором подходящего компактного подмножества из такой, что для всех где – индикаторная функция Каждая непрерывная функция в компактном топологическом пространстве имеет компактный носитель, поскольку каждое замкнутое подмножество компакта действительно компактно.
Основная поддержка
[ редактировать ]Если является топологическим пространством меры с борелевской мерой (такой как или измеримое по Лебегу подмножество оснащен мерой Лебега), то обычно выделяют функции, равные -почти везде. В этом случае существенная поддержка измеримой функции написано определяется как наименьшее закрытое подмножество из такой, что -почти везде снаружи Эквивалентно, является дополнением наибольшего открытого множества , на котором -почти везде [5]
Существенная поддержка функции зависит от меры а также на и оно может быть строго меньше закрытой опоры. Например, если это функция Дирихле, которая об иррациональных числах и о рациональных числах и оснащена мерой Лебега, то носитель это весь интервал но необходимая поддержка пусто, поскольку почти всюду равна нулевой функции.
В анализе почти всегда хочется использовать существенную поддержку функции, а не ее закрытую поддержку, когда два множества различны, поэтому часто пишется просто как и называется поддержкой. [5] [6]
Обобщение
[ редактировать ]Если — произвольное множество, содержащее нуль, понятие носителя немедленно обобщается на функции Поддержка также может быть определена для любой алгебраической структуры с единицей (например, группы , моноида или композиционной алгебры ), в которой единичный элемент принимает на себя роль нуля. Например, семья функций от натуральных чисел к целым — это несчетное множество целочисленных последовательностей. Подсемейство — счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют лишь конечное число ненулевых элементов.
Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы . [7]
В теории вероятностей и меры
[ редактировать ]В теории вероятностей поддержку распределения вероятностей можно рассматривать как замыкание множества возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.
Более формально, если является случайной величиной на тогда поддержка это наименьшее замкнутое множество такой, что
Однако на практике поддержка дискретной случайной величины часто определяется как набор и поддержка непрерывной случайной величины определяется как набор где представляет собой плотности вероятности функцию ( теоретико-множественная поддержка ). [8]
Обратите внимание, что слово поддержка» может относиться к логарифму вероятности « функции плотности вероятности. [9]
Поддержка дистрибутива
[ редактировать ]Можно также говорить о поддержке распределения , такого как дельта-функция Дирака. на реальной линии. В этом примере мы можем рассмотреть тестовые функции которые являются гладкими функциями с носителем, не включая точку С (распределение применяется как линейный функционал к ) является для таких функций можно сказать, что поддержка является только. Поскольку меры (в том числе и вероятностные меры ) на действительной прямой являются частными случаями распределений, то точно так же можно говорить и о носителе меры.
Предположим, что это распределение, и это — открытое множество в евклидовом пространстве такое, что для всех тестовых функций такая, что поддержка содержится в Затем говорят, исчезает на Теперь, если исчезает в произвольном семействе открытых множеств, то для любой тестовой функции поддерживается в простой аргумент, основанный на компактности носителя и разбиение единицы показывает, что также. Следовательно, мы можем поддержку определить как дополнение к самому большому открытому множеству, на котором исчезает. Например, поддержка дельты Дирака
Единая поддержка
[ редактировать ]В частности, в анализе Фурье интересно изучить Единственная поддержка дистрибутива. Это имеет интуитивную интерпретацию как набор точек, в которых распределение не может быть гладкой функцией .
Например, преобразование Фурье можно ступенчатой функции Хевисайда с точностью до постоянных коэффициентов считать равным (функция), исключением за Пока это явно особая точка, точнее сказать, что преобразование распределения имеет сингулярный носитель : его нельзя точно выразить как функцию по отношению к тестовым функциям с поддержкой, включая Его можно выразить как применение интеграла главного значения Коши несобственного .
Для распределений нескольких переменных сингулярные носители позволяют определить множества волновых фронтов и понять принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа . Сингулярные носители также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки «перемножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака терпит неудачу - главным образом потому, что сингулярные носители умножаемых распределений должны быть непересекающимися).
Семья поддержки
[ редактировать ]Абстрактное понятие семейство носителей в топологическом пространстве подходящий для теории пучков , был определен Анри Картаном . При распространении двойственности Пуанкаре на многообразия некомпактные идея «компактного носителя» естественным образом возникает с одной стороны двойственности; см., например, когомологии Александера-Спанье .
Бредон, «Теория связки» (2-е издание, 1997 г.) дает такие определения. Семья закрытых подмножеств является семейством опор , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его степень - это объединение семейство Паракомпактифицирующее носителей, удовлетворяющее больше, чем любое в с топологией подпространства пространством является паракомпактным ; и имеет некоторые в что такое район . Если является локально компактным пространством , предполагается, что Хаусдорф семейство всех компактных подмножеств удовлетворяет дальнейшим условиям, что делает его паракомпактным.
См. также
[ редактировать ]- Ограниченная функция – математическая функция, набор значений которой ограничен.
- Функция Bump – плавная и компактная функция
- Поддержка модуля
- Теорема Титчмарша о свертке
Цитаты
[ редактировать ]- ^ Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ, 2-е изд . Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 132.
- ^ Хёрмандер, Ларс (1990). Линейные дифференциальные уравнения в частных производных I, 2-е изд . Берлин: Springer Verlag. п. 14.
- ^ Паскуччи, Андреа (2011). Методы PDE и мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Боккони и Спрингер. Берлин: Springer-Verlag. п. 678. дои : 10.1007/978-88-470-1781-8 . ISBN 978-88-470-1780-1 .
- ^ Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ, 3-е изд . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 38.
- ^ Перейти обратно: а б Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике. Том. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . п. 13. ISBN 978-0821827833 .
- ^ Аналогичным образом вместо ее супремума используется существенная верхняя грань измеримой функции.
- ^ Томаш, Качиньский (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. п. 445. ИСБН 9780387215976 . OCLC 55897585 .
- ^ Табога, Марко. «Поддержка случайной величины» . statlect.com . Проверено 29 ноября 2017 г.
- ^ Эдвардс, AWF (1992). Вероятность (Расширенная ред.). Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6 .
Ссылки
[ редактировать ]- Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
- Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .