Союз (теория множеств)

В теории множеств объединение (обозначаемое ∪ ) набора множеств — это набор всех элементов в коллекции. ^[1] Это одна из фундаментальных операций, с помощью которой множества можно комбинировать и связывать друг с другом. А нулевой союз относится к объединению нулей ( ⁠ $0$ ⁠ ) множества и оно по определению равно пустому множеству .

Объяснение символов, используемых в этой статье, можно найти в таблице математических символов .

Союз двух комплектов

Объединение двух множеств A и B — это набор элементов, которые находятся в A , в B в A и B. или ^[2] В обозначениях построителя множеств ,

A\cup B=\{x:x\in A{\text{  or  }}x\in B\}

. ^[3]

Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):

A = { x — четное целое число больше 1}

B = { x — нечетное целое число больше 1}

A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}

Другой пример: число 9 не содержится в объединении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10. , ...}, поскольку 9 не является ни простым, ни четным.

В наборах не может быть повторяющихся элементов. ^[3]^[4] поэтому объединение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Многократное появление одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимое.

Алгебраические свойства

Бинарное объединение — это ассоциативная операция; то есть для любых множеств ⁠ $A,B,{\text{ and }}C$ ⁠ , $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$ Таким образом, круглые скобки можно опустить без двусмысленности: любое из приведенных выше значений можно записать как ⁠ $A\cup B\cup C$ ⁠ . Кроме того, объединение коммутативно , поэтому множества можно записывать в любом порядке. ^[5] является Пустой набор идентификационным элементом для операции объединения. То есть ⁠ $A\cup \varnothing =A$ ⁠ , для любого множества ⁠ $A$ ⁠ . Кроме того, операция объединения идемпотентна: ⁠ $A\cup A=A$ ⁠ . Все эти свойства следуют из аналогичных фактов о логической дизъюнкции .

Пересечение распределяется по объединению $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ и объединение распределяет по пересечению ^[2] $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$ Мощность набора ⁠ $U$ ⁠ вместе с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй . В этой булевой алгебре объединение можно выразить через пересечение и дополнение по формуле $A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },$ где верхний индекс ${}^{\complement }$ обозначает дополнение в универсальном множестве ⁠ $U$ ⁠ .

Конечные союзы

Можно одновременно взять объединение нескольких множеств. Например, объединение трех множеств A , B и C содержит все элементы A , все элементы B и все элементы C и ничего больше. Таким образом, x является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда, когда находится хотя бы в одном из A , B и C. x

Конечный союз — это объединение конечного числа множеств; эта фраза не подразумевает, что объединенное множество является конечным множеством . ^[6]^[7]

Произвольные союзы

Наиболее общим понятием является объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если M — множество или класс , элементы которого являются множествами, то x — элемент объединения M тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент A из M такой, что является элементом A. x ^[8] В символах:

x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.

Эта идея включает в себя предыдущие разделы — например, A ∪ B ∪ C является объединением набора { A , B , C }. Кроме того, если M — пустая коллекция, то объединение M — это пустое множество.

Обозначения

Обозначения общего понятия могут существенно различаться. Для конечного объединения множеств $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$ часто пишут $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ или ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ . Различные общие обозначения для произвольных объединений включают ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$ , ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ , и ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ . Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$ , где I — набор индексов и $A_{i}$ это набор для каждого ⁠ $i\in I$ ⁠ . В случае, когда набор индексов I представляет собой набор натуральных чисел , используется обозначение ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ , что аналогично сумме бесконечных последовательностей. ^[8]

Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается увеличенным размером.

Кодировка обозначений

В Юникоде объединение представлено символом U+222A ∪ СОЮЗ . ^[9] В ТеХе $\cup$ визуализируется из \cup и ${\textstyle \bigcup }$ визуализируется из \bigcup.

См. также

Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
Чередование (теория формального языка) – в теории формального языка и сопоставлении с образцом объединение двух наборов строк или шаблонов. – объединение наборов строк.
Аксиома союза - концепция аксиоматической теории множеств.
Непересекающееся объединение - в математике операции над множествами.
Принцип включения-исключения - Техника счета в комбинаторике
Пересечение (теория множеств) - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
Итерированная бинарная операция – многократное применение операции к последовательности.
Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.
Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. «Союз» . Вольфрам Математический мир. Архивировано из оригинала 7 февраля 2009 г. Проверено 14 июля 2009 г.
^ Jump up to: ^а ^б «Операции над множествами | Объединение | Пересечение | Дополнение | Различие | Взаимоисключающие | Разделения | Закон де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение» . Вероятностный курс . Проверено 05 сентября 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (1 января 2002 г.). Базовая теория множеств . Американское математическое соц. ISBN 9780821827314 .
^ деХаан, Лекс; Клатчи, Мультяшка (25 октября 2007 г.). Прикладная математика для специалистов по базам данных . Апресс. ISBN 9781430203483 .
^ Халмош, PR (27 ноября 2013 г.). Наивная теория множеств . Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450 .
^ Дасгупта, Абхиджит (11 декабря 2013 г.). Теория множеств: введение в наборы реальных точек . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545 .
^ «Конечный союз конечных множеств конечен» . ДоказательствоВики . Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
^ Jump up to: ^а ^б Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Ст (01 августа 2014 г.). Переход к высшей математике . Cengage Обучение. ISBN 9781285463261 .
^ «Стандарт Unicode, версия 15.0 – Математические операторы – Диапазон: 2200–22FF» (PDF) . Юникод . п. 3.

Внешние ссылки

«Союз множеств» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Бесконечное объединение и пересечение в ProvenMath Законы Де Моргана, формально доказанные на основе аксиом теории множеств.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Союз» . Вольфрам Математический мир. Архивировано из оригинала 7 февраля 2009 г. Проверено 14 июля 2009 г.

[:3-2] Jump up to: ^а ^б «Операции над множествами | Объединение | Пересечение | Дополнение | Различие | Взаимоисключающие | Разделения | Закон де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение» . Вероятностный курс . Проверено 05 сентября 2020 г.

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (1 января 2002 г.). Базовая теория множеств . Американское математическое соц. ISBN 9780821827314 .

[4] деХаан, Лекс; Клатчи, Мультяшка (25 октября 2007 г.). Прикладная математика для специалистов по базам данных . Апресс. ISBN 9781430203483 .

[5] Халмош, PR (27 ноября 2013 г.). Наивная теория множеств . Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450 .

[6] Дасгупта, Абхиджит (11 декабря 2013 г.). Теория множеств: введение в наборы реальных точек . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545 .

[7] «Конечный союз конечных множеств конечен» . ДоказательствоВики . Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 года . Проверено 29 апреля 2018 г.

[:1-8] Jump up to: ^а ^б Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Ст (01 августа 2014 г.). Переход к высшей математике . Cengage Обучение. ISBN 9781285463261 .

[9] «Стандарт Unicode, версия 15.0 – Математические операторы – Диапазон: 2200–22FF» (PDF) . Юникод . п. 3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo