Теорема Титчмарша о свертке

Теорема Титчмарша о свертке описывает свойства носителя свертки двух . функций Это было доказано Эдвардом Чарльзом Титчмаршем в 1926 году.

Теорема Титчмарша о свертке

Если ${\textstyle \varphi (t)\,}$ и ${\textstyle \psi (t)}$ являются интегрируемыми функциями, такими что

$\varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (x-t)\,dt=0$

почти везде в интервале $0<x<\kappa \,$, то существуют $\lambda \geq 0$ и $\mu \geq 0$ удовлетворяющий $\lambda +\mu \geq \kappa$ такой, что $\varphi (t)=0\,$ почти везде в $0<t<\lambda$ и $\psi (t)=0\,$ почти везде в $0<t<\mu .$

Как следствие, если приведенный выше интеграл равен 0 для всех ${\textstyle x>0,}$ тогда либо ${\textstyle \varphi \,}$ или ${\textstyle \psi }$ почти всюду равен 0 в интервале ${\textstyle [0,+\infty ).}$ Таким образом, свертка двух функций на ${\textstyle [0,+\infty )}$ не может быть тождественным нулем, если хотя бы одна из двух функций не равна тождественному нулю.

Еще одно следствие, если $\varphi *\psi (x)=0$ для всех $x\in [0,\kappa ]$ и одна из функций $\varphi$ или $\psi$ почти всюду не равна нулю в этом интервале, то другая функция должна быть равна нулю почти всюду в этом интервале. $[0,\kappa ]$.

Теорему можно переформулировать в следующем виде:

Позволять $\varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )$. Затем $\inf \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {supp} \varphi +\inf \operatorname {supp} \psi$ если левая часть конечна. Сходным образом, $\sup \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatorname {supp} \varphi +\sup \operatorname {supp} \psi$ если правая часть конечна.

Выше, $\operatorname {supp}$ обозначает носитель функции f (т. е. замыкание дополнения к f ^-1 (0)) и $\inf$ и $\sup$ обозначают нижнюю и верхнюю границы . Эта теорема по существу утверждает, что известное включение $\operatorname {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {supp} \psi$ на границе резок.

Обобщение более высокой размерности в терминах выпуклой оболочки опор было доказано Жаком-Луи Лионсом в 1951 году:

Если $\varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})$, затем $\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \psi$

Выше, $\operatorname {c.h.}$ обозначает выпуклую оболочку множества и ${\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})$ обозначает пространство распределений с компактным носителем .

Оригинальное доказательство Титчмарша использует методы комплексных переменных и основано на принципе Фрагмена-Линделёфа , неравенстве Йенсена , теореме Карлемана и теореме Валирона . С тех пор теорема была доказана еще несколько раз, обычно с использованием либо реальной переменной, либо или комплексная переменная методы. Джан-Карло Рота заявил, что пока не существует доказательства, касающегося комбинаторной структуры, лежащей в основе теоремы, которая, по его мнению, необходима для полного понимания.