Период (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии период число — это , которое можно выразить как интеграл от алгебраической функции в алгебраической области . Суммы и произведения периодов остаются периодами, так что периоды образуют кольцо .

Максим Концевич и Дон Загер дали обзор периодов и высказали некоторые предположения о них. ^[1] Периоды также возникают при вычислении интегралов, возникающих из диаграмм Фейнмана , и ведется интенсивная работа, направленная на понимание связей. ^[2]

Определение

является Действительное число точкой, если оно имеет вид

\int _{P(x,y,z,\ldots )\geq 0}Q(x,y,z,\ldots )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\ldots

где $P$ является многочленом и $Q$ функция рациональная на $\mathbb {R} ^{n}$ с рациональными коэффициентами . Комплексное число является периодом, если его действительная и мнимая части являются периодами. ^[3]

Альтернативное определение позволяет $P$ и $Q$ быть алгебраическими функциями ; ^[4] это выглядит более общим, но эквивалентно. Коэффициенты рациональных функций и многочленов также можно обобщить до алгебраических чисел, поскольку иррациональные алгебраические числа выражаются через площади подходящих областей.

В другом направлении, $Q$ может быть ограничена постоянной функцией $1$ или $-1$ , заменив подынтегральную функцию интегралом от $\pm 1$ над областью, заданной полиномом от дополнительных переменных. Другими словами, (неотрицательный) период – это объем региона в $\mathbb {R} ^{n}$ определяется полиномиальным неравенством .

Примеры

Помимо алгебраических чисел, периодами являются следующие числа:

Натуральный логарифм любого положительного алгебраического числа a , которое $\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x$
$п$ $=\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x$
Эллиптические интегралы с рациональными аргументами
Все дзета-константы ( дзета-функция Римана целого числа ) и множественные значения дзета.
Специальные значения гипергеометрических функций при алгебраических аргументах
Γ ( п / q ) ^д для натуральных чисел p и q .

Примером действительного числа, не являющегося периодом, является константа Чайтина Ω . Любое другое невычислимое число также является примером действительного числа, не являющегося точкой. В настоящее время не существует естественных примеров вычислимых чисел , которые, как было доказано, не являются периодами, однако можно построить искусственные примеры. ^[5] Возможные кандидаты на числа, которые не являются периодами, включают e , 1/ $π$ и константу Эйлера-Машерони γ .

Свойства и мотивация

Периоды предназначены для преодоления разрыва между алгебраическими числами и трансцендентными числами . Класс алгебраических чисел слишком узок, чтобы включать многие общие математические константы , в то время как множество трансцендентных чисел не счетно , а его члены вообще не вычислимы .

Множество всех периодов счетно, и все периоды вычислимы, ^[6] и, в частности, определимым .

Догадки

Многие из констант, известных как периоды, также задаются интегралами трансцендентных функций . Концевич и Загер отмечают, что «похоже, не существует универсального правила, объясняющего, почему определенные бесконечные суммы или интегралы трансцендентных функций являются периодами».

Концевич и Загер предположили, что если период задан двумя разными интегралами, то каждый интеграл можно преобразовать в другой, используя только линейность интегралов (как в подынтегральном выражении, так и в области определения), замены переменных и закон Ньютона – Лейбница. формула

\int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)

(или, в более общем смысле, формула Стокса ).

Полезным свойством алгебраических чисел является то, что равенство между двумя алгебраическими выражениями можно определить алгоритмически. Гипотеза Концевича и Загира подразумевала бы, что равенство периодов также разрешимо: неравенство вычислимых вещественных чисел известно, что рекурсивно перечислимо ; и наоборот, если два интеграла совпадают, то алгоритм может подтвердить это, испробовав все возможные способы преобразования одного из них в другой.

Предполагается, что число Эйлера e и константа Эйлера – Маскерони γ не являются периодами.

Обобщения

Периоды можно расширить до экспоненциальных периодов, разрешив подынтегральную функцию $Q$ быть произведением алгебраической функции и экспоненты алгебраической функции. Это расширение включает в себя все алгебраические степени e , гамма-функцию рациональных аргументов и значения функций Бесселя .

Концевич и Загер предполагают, что существуют «указатели» на то, что периоды можно естественным образом обобщить еще больше, включив в них константу Эйлера γ. Благодаря этому включению «все классические константы являются периодами в соответствующем смысле».

См. также

Ссылки

Концевич Максим ; Загер, Дон (2001). «Периоды» (PDF) . В Энгквисте, Бьорн; Шмид, Вильфрид (ред.). Математика без ограничений — 2001 год и далее . Берлин, Нью-Йорк: Springer . стр. 771–808. ISBN 9783540669135 . МР 1852188 .

Марколли, Матильда (2010). «Фейнмановские интегралы и мотивы». Европейский математический конгресс . Евро. Математика. Соц. Цюрих. стр. 293–332. arXiv : 0907.0321 .

Сноски

^ Kontsevich & Zagier 2001 .
^ Марколли 2010 .
^ Kontsevich & Zagier 2001 , p. 3.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Периоды» . WolframMathWorld (Wolfram Research) . Проверено 19 июня 2019 г.
^ Ёсинага, Масахико (3 мая 2008 г.). «Периоды и элементарные действительные числа». arXiv : 0805.0349 [ math.AG ].
^ Тент, Катрин ; Зиглер, Мартин (2010). «Вычислимые функции действительных чисел» (PDF) . Мюнстерский математический журнал . 3 : 43–66.

Дальнейшее чтение

Белкале, Пракаш; Броснан, Патрик (2003), «Периоды и локальные дзета-функции Игузы», Международные уведомления о математических исследованиях , 2003 (49): 2655–2670, doi : 10.1155/S107379280313142X , ISSN 1073-7928 , MR 2012522
Вальдшмидт, Мишель (2006), «Трансцендентность периодов: современное состояние» (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN 1558-8599 , МР 2251476

Внешние ссылки

ПланетаМатематика: Период

[FOOTNOTEKontsevichZagier2001-1] Kontsevich & Zagier 2001 .

[FOOTNOTEMarcolli2010-2] Марколли 2010 .

[FOOTNOTEKontsevichZagier20013-3] Kontsevich & Zagier 2001 , p. 3.

[Weisstein2019-4] Вайсштейн, Эрик В. «Периоды» . WolframMathWorld (Wolfram Research) . Проверено 19 июня 2019 г.

[Yoshinaga2008-5] Ёсинага, Масахико (3 мая 2008 г.). «Периоды и элементарные действительные числа». arXiv : 0805.0349 [ math.AG ].

[Tent2010-6] Тент, Катрин ; Зиглер, Мартин (2010). «Вычислимые функции действительных чисел» (PDF) . Мюнстерский математический журнал . 3 : 43–66.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и счисления Системы
Наборы определимых чисел	Натуральные числа ( $\mathbb {N}$ ) Целые числа ( $\mathbb {Z}$ ) Рациональные числа ( $\mathbb {Q}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( $\mathbb {A}$ ) Числа закрытой формы Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретико-множественные определяемые числа Гауссовы целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : Действительные числа ( $\mathbb {R}$ ) Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\mathbb {H}$ ) Октонионы ( $\mathbb {O}$ )
Расколоть типы	Над $\mathbb {R}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы Над $\mathbb {C}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( $\mathbb {S}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра / алгебра Клиффорда Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени Геометрическая алгебра на основе плоскостей
Бесконечности и бесконечно малые	Кардинальные числа Расширенные натуральные числа Расширенные действительные числа Проективный Расширенные комплексные числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Порядковые номера Сверхъестественные числа Сюрреалистические цифры Сверхдействительные числа
Другие типы	Иррациональные числа Нечеткие числа Трансцендентные числа p -адические числа ( p -адические соленоиды ) Проконечные целые числа Нормальные числа
Классификация Список