Частотно-временной анализ

См. также: Частотно-временное представление.

При обработке сигналов , частотно-временной анализ включает в себя методы, которые одновременно изучают сигнал как во временной, так и в частотной областях используя различные частотно-временные представления . Вместо просмотра одномерного сигнала (функции, действительной или комплексной, областью определения которой является действительная линия) и некоторого преобразования (другая функция, областью определения которой является действительная линия, полученная из оригинала с помощью некоторого преобразования), время-частота Анализ изучает двумерный сигнал – функцию, областью определения которой является двумерная действительная плоскость, полученная из сигнала посредством преобразования время-частота.

Математическая мотивация этого исследования заключается в том, что функции и их преобразованные представления тесно связаны, и их можно лучше понять, изучая их совместно, как двумерный объект, а не отдельно. Простой пример: 4-кратную периодичность преобразования Фурье – и тот факт, что двойное преобразование Фурье меняет направление – можно интерпретировать, рассматривая преобразование Фурье как поворот на 90° в соответствующей плоскости время-частота: 4 таких вращения дают идентичность, а два таких вращения просто меняют направление ( отражение через начало координат ).

Практическая мотивация частотно-временного анализа заключается в том, что классический анализ Фурье предполагает, что сигналы бесконечны во времени или периодические, в то время как на практике многие сигналы имеют короткую продолжительность и существенно изменяются в течение своей продолжительности. Например, традиционные музыкальные инструменты не производят синусоиды бесконечной длительности, а начинаются с атаки, а затем постепенно затухают. Это плохо отражается традиционными методами, что мотивирует частотно-временной анализ.

Одной из самых основных форм частотно-временного анализа является кратковременное преобразование Фурье (STFT), но были разработаны более сложные методы, в частности, вейвлеты и методы спектрального анализа наименьших квадратов для неравномерно расположенных данных.

Мотивация

В обработке сигналов частотно-временной анализ. представляет собой совокупность приемов и методов, используемых для характеристики и управления сигналами, статистика которых меняется во времени, например, переходными сигналами.

Это обобщение и уточнение анализа Фурье для случая, когда частотные характеристики сигнала меняются со временем. Поскольку многие интересующие сигналы, такие как речь, музыка, изображения и медицинские сигналы, имеют изменяющиеся частотные характеристики, частотно-временной анализ имеет широкую сферу применения.

Хотя метод преобразования Фурье можно расширить для получения частотного спектра любого медленно растущего локально интегрируемого сигнала, этот подход требует полного описания поведения сигнала во времени. Действительно, можно думать о точках в (спектральной) частотной области как о смазывании информации со всей временной области. Несмотря на математическую элегантность, такой метод не подходит для анализа сигнала с неопределенным будущим поведением. Например, для достижения ненулевой энтропии необходимо предположить некоторую степень неопределенности будущего поведения в любых телекоммуникационных системах (если кто-то уже знает, что скажет другой человек, он ничему не сможет научиться).

Чтобы использовать возможности частотного представления без необходимости полной характеристики во временной области, сначала получают частотно-временное распределение сигнала, которое представляет сигнал одновременно как во временной, так и в частотной областях. В таком представлении частотная область будет отражать только поведение локализованной во времени версии сигнала. Это позволяет разумно говорить о сигналах, частоты составляющих которых изменяются во времени.

Например, вместо того, чтобы использовать умеренные распределения для глобального преобразования следующей функции в частотную область, можно вместо этого использовать эти методы для описания ее как сигнала с изменяющейся во времени частотой.

$x(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}$

После создания такого представления к сигналу можно применить другие методы частотно-временного анализа, чтобы извлечь информацию из сигнала, отделить сигнал от шума или мешающих сигналов и т. д.

Функции частотно-временного распределения

Основная статья: Частотно-временное распределение

Составы

Существует несколько различных способов формулирования действительной функции частотно-временного распределения, в результате чего получаются несколько хорошо известных распределений время-частота, такие как:

• Кратковременное преобразование Фурье (включая преобразование Габора ),
• Вейвлет-преобразование ,
• Билинейная функция частотно-временного распределения ( функция распределения Вигнера , или WDF),
• Модифицированная функция распределения Вигнера , функция распределения Габора–Вигнера и т. д. (см. преобразование Габора–Вигнера ).
• Преобразование Гильберта – Хуанга

Более подробную информацию об истории и мотивации развития частотно-временного распределения можно найти в статье Частотно-временное представление .

Идеальная функция распределения TF

Функция распределения время-частота в идеале обладает следующими свойствами:

1. Высокое разрешение как по времени, так и по частоте, что облегчает анализ и интерпретацию.
2. Никаких перекрестных терминов , чтобы не спутать реальные компоненты с артефактами или шумом.
3. Список желательных математических свойств, обеспечивающих практическое применение таких методов.
4. Меньшая вычислительная сложность , обеспечивающая время, необходимое для представления и обработки сигнала в частотно-временной плоскости, позволяет реализовать реализацию в реальном времени.

Ниже приводится краткое сравнение некоторых избранных функций частотно-временного распределения.

	Ясность	Межсрочный	Хорошие математические свойства	Вычислительная сложность
Преобразование Габора	Худший	Нет	Худший	Низкий
Функция распределения Вигнера	Лучший	Да	Лучший	Высокий
Функция распределения Габора – Вигнера	Хороший	Почти устранено	Хороший	Высокий
Функция распределения конической формы	Хороший	Нет (устранено вовремя)	Хороший	Средний (если определен рекурсивно)

Для хорошего анализа сигналов важно выбрать подходящую функцию частотно-временного распределения. Какую функцию частотно-временного распределения следует использовать, зависит от рассматриваемого приложения, как показано при просмотре списка приложений. Высокая четкость полученной для некоторых сигналов функции распределения Вигнера (ФРВ) обусловлена ​​заложенной в ее формулировке автокорреляционной функцией; однако последнее также вызывает перекрестную проблему. Следовательно, если мы хотим проанализировать одночленный сигнал, лучшим подходом может быть использование WDF; если сигнал состоит из нескольких компонентов, лучшим выбором могут быть некоторые другие методы, такие как преобразование Габора, распределение Габора-Вигнера или модифицированные функции B-распределения.

В качестве иллюстрации: величины нелокализованного анализа Фурье не могут различить сигналы:

$x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}$

$x_{2}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(2\pi t);&10\leq t<20\\\cos(3\pi t);&t>20\end{cases}}$

Но частотно-временной анализ может это сделать.

Анализ ТФ и случайные процессы

Для случайного процесса x(t) мы не можем найти явное значение x(t).

Значение x(t) выражается как функция вероятности.

Общие случайные процессы

• Функция автоковариации (ACF) $R_{x}(t,\tau )$

$R_{x}(t,\tau )=E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]$

Обычно мы полагаем, что $E[x(t)]=0$ для любого т,

$E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]$

$=\iint x(t+\tau /2,\xi _{1})x^{*}(t-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}$

(альтернативное определение функции автоковариации)

${\overset {\land }{R_{x}}}(t,\tau )=E[x(t)x(t+\tau )]$

• Спектральная плотность мощности (PSD) $S_{x}(t,f)$

$S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

• Связь между WDF (функцией распределения Вигнера) и PSD

$E[W_{x}(t,f)]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau$$=S_{x}(t,f)$

• Связь между функцией неоднозначности и АКФ

$E[A_{X}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]e^{-j2\pi t\eta }dt$

$=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi t\eta }dt$

Стационарные случайные процессы

• Стационарный случайный процесс : статистические свойства не меняются с изменением t. Его функция автоковариации:

$R_{x}(t_{1},\tau )=R_{x}(t_{2},\tau )=R_{x}(\tau )$ для любого $t$, Поэтому, $R_{x}(\tau )=E[x(\tau /2)x^{*}(-\tau /2)]$ $=\iint x(\tau /2,\xi _{1})x^{*}(-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}$PSD, $S_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$ Белый шум:

$S_{x}(f)=\sigma$ , где $\sigma$ является некоторой константой.

• Когда x(t) стационарен,

$E[W_{x}(t,f)]=S_{x}(f)$ , (инвариант с $t$)

$E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )\cdot e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt$ $=R_{x}(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt$$=R_{x}(\tau )\delta (\eta )$ , (отлично от нуля только тогда, когда $\eta =0$)

Аддитивный белый шум

• Для аддитивного белого шума (AWN):

$E[W_{g}(t,f)]=\sigma$

$E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\sigma \delta (\tau )\delta (\eta )$

• Проектирование фильтра для сигнала в аддитивном белом шуме

$E_{x}$: энергия сигнала

$A$ : область частотно-временного распределения сигнала

PSD белого шума $S_{n}(f)=\sigma$

$SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\iint \limits _{(t,f)\in {\text{signal part}}}S_{x}(t,f)dtdf}}$

$SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\sigma \mathrm {A} }}$

Нестационарные случайные процессы

• Если $E[W_{x}(t,f)]$ варьируется в зависимости от $t$ и $E[A_{x}(\eta ,\tau )]$ ненулевое значение, когда $\eta =0$, затем $x(t)$ представляет собой нестационарный случайный процесс.
• Если
  1. $h(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+x_{3}(t)+......+x_{k}(t)$
  2. $x_{n}(t)$имеет нулевое среднее значение для всех $t$'s
  3. $x_{n}(t)$являются взаимно независимыми для всех $t$'песок $\tau$'s

затем:

$E[x_{m}(t+\tau /2)x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=E[x_{m}(t+\tau /2)]E[x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=0$

• если $m\neq n$, затем

$E[W_{h}(t,f)]=\sum _{n=1}^{k}E[W_{x_{n}}(t,f)]$

$E[A_{h}(\eta ,\tau )]=\sum _{n=1}^{k}E[A_{x_{n}}(\eta ,\tau )]$

Кратковременное преобразование Фурье

• Случайный процесс для STFT (кратковременное преобразование Фурье)

$E[x(t)]\neq 0$ должен быть удовлетворен. В противном случае, $E[X(t,f)]=E[\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau ]$ $=\int _{t-B}^{t+B}E[x(\tau )]w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$для случайного процесса с нулевым средним, $E[X(t,f)]=0$

• Разложение по AF и FRFT. Любой нестационарный случайный процесс можно выразить как суммирование дробного преобразования Фурье (или чирп-умножения) стационарного случайного процесса.

Приложения

Следующие приложения нуждаются не только в функциях частотно-временного распределения, но и в некоторых операциях с сигналом. Линейное каноническое преобразование (LCT) действительно полезно. Благодаря LCT форма и местоположение сигнала на частотно-временной плоскости могут иметь произвольную форму, какой мы хотим. Например, LCT могут смещать частотно-временное распределение в любое место, расширять его в горизонтальном и вертикальном направлении, не меняя его площади на плоскости, сдвигать (или скручивать) его и вращать ( дробное преобразование Фурье ). Эта мощная операция LCT делает более гибким анализ и применение частотно-временных распределений.

Мгновенная оценка частоты

Определение мгновенной частоты — это скорость изменения фазы во времени, или

${\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dt}}\phi (t),$

где $\phi (t)$ — мгновенная фаза сигнала. Мы можем узнать мгновенную частоту непосредственно из плоскости время-частота, если изображение достаточно четкое. Поскольку высокая четкость имеет решающее значение, мы часто используем WDF для ее анализа.

TF-фильтрация и разложение сигнала

Целью разработки фильтра является удаление нежелательной составляющей сигнала. Обычно мы можем просто фильтровать по отдельности во временной или частотной области, как показано ниже.

Упомянутые выше методы фильтрации не могут хорошо работать для каждого сигнала, который может перекрываться во временной или частотной области. Используя функцию распределения время-частота, мы можем фильтровать в евклидовой частотно-временной области или в дробной области, используя дробное преобразование Фурье . Пример показан ниже.

Проектирование фильтров при частотно-временном анализе всегда имеет дело с сигналами, состоящими из нескольких компонентов, поэтому невозможно использовать WDF из-за перекрестных составляющих. Преобразование Габора, функция распределения Габора-Вигнера или функция распределения классов Коэна могут быть лучшим выбором.

Концепция декомпозиции сигнала связана с необходимостью отделить один компонент сигнала от других; этого можно достичь посредством операции фильтрации, которая требует этапа проектирования фильтра. Такая фильтрация традиционно выполняется во временной или частотной области; однако это может быть невозможно в случае нестационарных сигналов, которые являются многокомпонентными, поскольку такие компоненты могут перекрываться как во временной области, так и в частотной области; как следствие, единственный возможный способ добиться разделения компонентов и, следовательно, разложения сигнала — это реализовать частотно-временной фильтр.

Теория выборки

По теореме о выборке Найквиста-Шеннона можно заключить, что минимальное количество точек выборки без наложения спектров эквивалентно площади частотно-временного распределения сигнала. (На самом деле это всего лишь приближение, поскольку область TF любого сигнала бесконечна.) Ниже приведен пример до и после того, как мы объединим теорию выборки с частотно-временным распределением:

Заметно, что количество точек выборки уменьшается после применения частотно-временного распределения.

Когда мы используем WDF, может возникнуть проблема перекрестных условий (также называемая интерференцией). С другой стороны, использование преобразования Габора приводит к улучшению ясности и читаемости представления, тем самым улучшая его интерпретацию и применение к практическим задачам.

Следовательно, когда сигнал, который мы собираемся отбирать, состоит из одного компонента, мы используем WDF; однако, если сигнал состоит из более чем одного компонента, использование преобразования Габора, функции распределения Габора-Вигнера или других TFD с уменьшенными помехами может привести к лучшим результатам.

Теорема Балиана-Лоу формализует это и дает ограничение на минимальное количество необходимых время-частотных выборок.

Модуляция и мультиплексирование

Обычно операции модуляции и мультиплексирования концентрируются по времени или по частоте отдельно. Воспользовавшись преимуществом частотно-временного распределения, мы можем сделать модуляцию и мультиплексирование более эффективными. Все, что нам нужно сделать, это заполнить плоскость время-частота. Мы представляем пример, как показано ниже.

Как показано в верхнем примере, использование WDF нецелесообразно, поскольку серьезная перекрестная проблема затрудняет мультиплексирование и модуляцию.

Распространение электромагнитных волн

Мы можем представить электромагнитную волну в виде матрицы 2 на 1.

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$

что аналогично плоскости время-частота. Когда электромагнитная волна распространяется в свободном пространстве, дифракция Френеля возникает . Мы можем работать с матрицей 2 на 1

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

по LCT с матрицей параметров

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},$

где z — расстояние распространения и $\lambda$ это длина волны. При прохождении электромагнитной волны через сферическую линзу или при отражении от диска матрица параметров должна иметь вид

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}$

и

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}$

соответственно, где ƒ — фокусное расстояние линзы, а R — радиус диска. Соответствующие результаты можно получить из

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.$

Оптика, акустика и биомедицина

Свет — это электромагнитная волна, поэтому частотно-временной анализ применяется к оптике так же, как и к обычному распространению электромагнитных волн.

Точно так же акустические сигналы характеризуются тем, что их частотные компоненты претерпевают резкие изменения во времени и, следовательно, не могут быть хорошо представлены с помощью анализа одной частотной компоненты, охватывающей всю их длительность.

Поскольку акустические сигналы используются в качестве речи при общении между человеком-отправителем и получателем, их безотлагательная передача в технических системах связи имеет решающее значение, что делает использование более простых TFD, таких как преобразование Габора, подходящим для анализа этих сигналов в реальных условиях. время за счет снижения вычислительной сложности.

Если скорость частотного анализа не является ограничением, перед выбором конкретного TFD следует провести детальное сравнение характеристик с четко определенными критериями. Другой подход заключается в определении зависящего от сигнала TFD, который адаптируется к данным. В биомедицине можно использовать частотно-временное распределение для анализа электромиографии (ЭМГ), электроэнцефалографии (ЭЭГ), электрокардиограммы (ЭКГ) или отоакустической эмиссии (ОАЭ).

История

Смотрите также: История вейвлетов

Ранние работы в области частотно-временного анализа можно увидеть в вейвлетах Хаара (1909) Альфреда Хаара , хотя они не нашли существенного применения для обработки сигналов. Более существенные работы были предприняты Деннисом Габором , такие как атомы Габора (1947), ранняя форма вейвлетов , и преобразование Габора , модифицированное кратковременное преобразование Фурье . Распределение Вигнера -Вилля (Ville 1948, в контексте обработки сигналов) стало еще одним основополагающим шагом.

В частности, в 1930-х и 1940-х годах ранний время-частотный анализ развивался совместно с квантовой механикой (Вигнер разработал распределение Вигнера-Вилля в 1932 году в квантовой механике, а Габор находился под влиянием квантовой механики - см. Атом Габора ); это отражено в общей математике плоскости положения-импульса и плоскости время-частота - как в принципе неопределенности Гейзенберга (квантовая механика) и пределе Габора (анализ времени-частоты), которые в конечном итоге оба отражают симплектическую структуру.

Ранней практической мотивацией для частотно-временного анализа стала разработка радара – см. функцию неоднозначности .

См. также

• Движения в частотно-временном распределении
• Мультиразрешительный анализ
• Оценка спектральной плотности
• Частотно-временной анализ музыкальных сигналов
• Вейвлет-анализ