Движения в частотно-временном распределении

можно использовать несколько методов Для перемещения сигналов в частотно-временном распределении . Подобно методам компьютерной графики, сигналы могут подвергаться горизонтальному смещению, вертикальному смещению, расширению (масштабированию), сдвигу, вращению и скручиванию. Эти методы могут помочь сэкономить полосу пропускания за счет применения правильных движений к сигналам. Более того, фильтры с правильным преобразованием движения могут сэкономить затраты на оборудование без дополнительных фильтров.

В следующих примерах предполагается зависимость времени по горизонтальной оси от частоты по вертикальной оси. По совпадению, следующие преобразования обладают свойствами движения в частотно-временном распределении.

Переключение

Сдвиг по оси времени подобен горизонтальному сдвигу в частотно-временном распределении. С другой стороны, сдвиг по оси частот будет означать вертикальный сдвиг частотно-временного распределения.

Горизонтальное смещение

Если t ₀ больше 0, мы будем сдвигать сигнал вправо по оси времени. (отрицательный останется)

СТФТ, Габор:

$x(t-t_{0})\rightarrow S_{x}(t-t_{0},f)e^{-j2\pi ft_{0}}$

ВДФ:

$x(t-t_{0})\rightarrow W_{x}(t-t_{0},f)\,$

Вертикальное смещение

Если f ₀ больше 0, мы будем сдвигать сигнал вверх по оси частот. (отрицательное значение будет нисходящим)

СТФТ, Габор:

$e^{j2\pi f_{0}t}x(t)\rightarrow S_{x}(t,f-f_{0})$

ВДФ:

$e^{j2\pi f_{0}t}x(t)\rightarrow W_{x}(t,f-f_{0})$

В результате получается сигнал амплитудной модуляции . Этот вид сдвига также используется в расширителе частоты . Этот тип смещения также используется в большинстве детекторов летучих мышей .

Такой эффект обычно реализуется с помощью гетеродинирования.

Расширение

Расширение похоже на масштабирование по одной из осей, и после процесса площадь остается той же. Когда a > 1, он расширяется по оси времени и сужается по оси частот; наоборот, когда a < 1.

СТФТ, Габор:

${\frac {1}{\sqrt {|a|}}}x({\frac {t}{a}})\rightarrow \approx S_{x}({\frac {t}{a}},af)$

ВДФ:

${\frac {1}{\sqrt {|a|}}}x({\frac {t}{a}})\rightarrow W_{x}({\frac {t}{a}},af)$

Когда такое расширение применяется к звуку, это вызывает эффект бурундука .

Растягивание времени

Основная статья: Растяжение времени звука и масштабирование высоты тона

Растяжение времени масштабирует только по оси времени, оставляя частоты неизменными. Когда $a<1$ (самый распространенный случай) сужается по оси времени, уменьшая площадь.

СТФТ, Габор:

$\approx S_{x}(at,f)$

ВДФ:

$\approx W_{x}(at,f)$

стрижка

Сдвиг по определению означает перемещение стороны сигнала в одном направлении. Здесь представлены вертикальный и горизонтальный сдвиг.

Только по вертикальной оси (частота)

Это сдвиг по оси частот, поскольку при этом меняется только фаза.

$x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)\,$

СТФТ, Габор:

$S_{x}(t,f)\approx S_{y}(t,f-at)\,$

ВДФ:

$W_{x}(t,f)=W_{y}(t,f-at)\,$

Только по горизонтальной оси (время)

Это сдвиг по оси времени, поскольку меняет только время.

$x(t)=e^{j\pi {\frac {t^{2}}{a}}}y(t)\,$

СТФТ, Габор:

$S_{x}(t,f)\approx S_{y}(t-af,f)\,$

ВДФ:

$W_{x}(t,f)=W_{y}(t-af,f)\,$

Обобщенный сдвиг

Преобразование частотно-временного распределения из полосообразного рисунка в изогнутую форму требует использования полиномов третьего порядка или выше по отношению к $\phi (t)$. Это полезно для реализации модуляции более высокого порядка и, кроме того, уменьшает полосу пропускания, позволяя снизить частоту дискретизации и уменьшить белый шум за счет фильтрации.

Только по вертикальной оси (частота)

Это сдвиг по оси частот, поскольку при этом меняется только фаза.

$x(t)=e^{j\phi (t)}y(t)\,$

$\phi (t)=\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}t^{k}\,$

СТФТ, Габор:

$S_{x}(t,f)\approx S_{y}(t,f-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {ka_{k}}{2\pi }}t^{k-1})\,$

ВДФ:

$W_{x}(t,f)\approx W_{y}(t,f-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {ka_{k}}{2\pi }}t^{k-1})\,$

Только по горизонтальной оси (время)

Это сдвиг по оси времени, поскольку меняет только время.

$x(t)=h(t)*y(t)\,$

$h(t)=IFT(exp(j\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}f^{k}))\,$

СТФТ, Габор:

$S_{x}(t,f)\approx S_{y}(t+\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {ka_{k}}{2\pi }}f^{k-1},f)\,$

ВДФ:

$W_{x}(t,f)\approx W_{y}(t+\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {ka_{k}}{2\pi }}f^{k-1},f)\,$

Вращение

Многие преобразования обладают свойством вращения, например Габора-Вигнера, функция неоднозначности (против часовой стрелки), модифицированное Вигнера, распределение классов Коэна .

STFT , Gabor и WDF Здесь представлены .

Поворот по часовой стрелке на 90 градусов

Переключение времени и отрицательной частоты на частоту и время будет действовать как вращение на 90 градусов по часовой стрелке.

$X(f)=FT(x(t))\,$

СТФТ:

$|S_{X}(t,f)|\approx |S_{x}(-f,t)|\,$

Габор:

$G_{X}(t,f)=G_{x}(-f,t)e^{-j2\pi ft}\,$

ВДФ:

$W_{X}(t,f)=W_{x}(-f,t)\,$

Вращение против часовой стрелки на 90 градусов

Переключение отрицательных времени и частоты на частоту и время будет действовать как вращение на 90 градусов против часовой стрелки.

Если $X(f)=IFT[x(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{j2\pi ft}\,dt$, затем

$W_{X}(t,f)=W_{x}(f,-t)\,$

$G_{X}(t,f)=G_{x}(f,-t)e^{j2\pi tf}\,$

Поворот на 180 градусов

Изменение знака времени и частоты будет похоже на двойной поворот по обеим осям, а в конечном итоге это будет похоже на поворот на 180 градусов.

Если $X(f)=x(-t)\,$, затем

$W_{X}(t,f)=W_{x}(-t,-f)\,$

$G_{X}(t,f)=G_{x}(-t,-f)\,$

Вращение: дробное преобразование Фурье (FRFT)

Поворот частотно-временного распределения на угол, отличный от $\pi /2,\pi ,3\pi /2$ и $2\pi$. По сравнению с преобразованием Фурье, он преобразует сигнал из временной области в дробную область, область между временем и частотой.

$X_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}e^{j\pi cot\phi u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi csc\phi ut}e^{j\pi cot\phi \ t^{2}}x(t)dt,\quad \phi =0.5a\pi$

Для преобразования Фурье $a=1,\,\phi =0.5\pi$ и $csc\phi =1,\,cot\phi =0$

Это эквивалентно операции вращения по часовой стрелке с углом $\phi$. для функции распределения Вигнера и преобразования Габора.

Габор:

$|G_{X_{\phi }}(u,v)|=|G_{x}(ucos\phi -vsin\phi ,usin\phi +vcos\phi )|\,$

ВДФ:

$W_{X_{\phi }}(u,v)=W_{x}(ucos\phi -vsin\phi ,usin\phi +vcos\phi )\,$

Скручивание: линейное каноническое преобразование (LCT)

Линейное каноническое преобразование выполняет произвольное линейное и интегральное преобразование частотно-временного распределения.

$F_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {\frac {1}{jb}}}e^{j\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{-j\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)dt,\quad b\neq 0$

$F_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}e^{j\pi cdu^{2}}x(du),\quad b=0$

Ограничение:

$ab-bc=1$

Тип трансформации

а. дробное преобразование Фурье

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}cos\phi &sin\phi \\-sin\phi &cos\phi \end{bmatrix}}$

• Преобразование Фурье: $\phi =\pi /2$
• операция идентификации: $\phi =0$
• обратное преобразование Фурье: $\phi =-\pi /2$

б. Преобразование Френеля (свертка с чирпом)

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}$

в. умножение щебета

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}$

д. масштабирование

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sigma }}&0\\0&\sigma \end{bmatrix}}$

Пример

Если мы хотим, чтобы левое изображение стало правым, мы можем использовать описанные выше методы для достижения этого требования.

Есть несколько способов решения данной проблемы, это один из возможных вариантов решения.

Сначала мы применяем поворот по часовой стрелке на 90 градусов, используя одно из преобразований.

СТФТ:

$|S_{X}(t,f)|\approx |S_{x}(-f,t)|\,$

Габор:

$G_{X}(t,f)=G_{x}(-f,t)e^{-j2\pi ft}\,$

ВДФ:

$W_{X}(t,f)=W_{x}(-f,t)\,$

Во-вторых, мы устанавливаем a = 1/3 и выполняем горизонтальный сдвиг по оси t.

СТФТ, Габор:

$S_{x}(t,f)\approx S_{y}(t-{\frac {1}{3}}f,f)\,$

ВДФ:

$W_{x}(t,f)=W_{y}(t-{\frac {1}{3}}f,f)\,$

В-третьих, мы сдвигаем сигнал 2 вправо по оси t, установив t ₀ = 2.

СТФТ, Габор:

$x(t-t_{0})\rightarrow S_{x}(t-2,f)e^{-j2\pi ft_{0}}$

ВДФ:

$x(t-t_{0})\rightarrow W_{x}(t-2,f)\,$

Наконец, мы сдвигаем сигнал 1 влево по оси f, установив f ₀ = -1.

СТФТ, Габор:

$e^{j2\pi f_{0}t}x(t)\rightarrow S_{x}(t,f+1)$

ВДФ:

$e^{j2\pi f_{0}t}x(t)\rightarrow W_{x}(t,f+1)$

Приложения

Эффективная выборка

Как упоминалось во введении, вышеуказанные методы можно использовать для экономии полосы пропускания или стоимости фильтра.

Предположим, что сигнал выглядит следующим образом.

.

Пунктирный прямоугольник — это фильтр, а площадь пунктирного прямоугольника — требуемая полоса пропускания.

После некоторых операций, подобных приведенному выше примеру, сигнал принимает такое положение.

В результате пропускная способность была сохранена, так как площадь стала меньше. Более того, для восстановления сигнала требуется только фильтр нижних частот вместо полосового фильтра.

Разложение сигнала и проектирование фильтра

Сигнал разлагается на несколько компонентов, и фильтр удаляет нежелательную составляющую сигнала. Преобразование Фурье подходит для фильтрации шума, который представляет собой комбинацию синусоидальных функций. Если сигнал неразделим ни во временной, ни в частотной области, использование дробного преобразования Фурье (FRFT) подходит для фильтрации шума, который представляет собой комбинацию экспоненциальных функций более высокого порядка.

Фитер, рассчитанный с помощью дробного преобразования Фурье:

$x_{o}(t)=O_{F}^{-\phi }{O_{F}^{\phi }[x_{i}{t}]H(u)}$

$O_{F}^{\phi }(x(t))={\sqrt {1-jcot\phi }}e^{j\pi cot\phi u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi csc\phi ut}e^{j\pi cot\phi \ t^{2}}x(t)dt\quad (FRFTs)$

(1) Если $H(u)=S(-u+u_{0}),\quad H(u)={\begin{cases}1\ \ \ u<u_{0}\\0\ \ \ u>u_{0}\ \ \ \end{cases}}$

$S(u)$: Функция шага

(2) $\phi$ определяется углом линии среза и оси f.

(3) $u_{0}$ равно расстоянию от начала координат до линии среза.

См. также

Другие частотно-временные преобразования:

• Кратковременное преобразование Фурье
• Функция распределения Вигнера
• Функция неоднозначности
• Функция распределения классов Коэна

Ссылки

• Джей Джей Дин, «Конспект курса частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования», факультет электротехники, Национальный тайваньский университет (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.
• Джей Джей Дин, «Частотно-временной анализ и домашнее задание по вейвлет-преобразованию 3», факультет электротехники, Национальный тайваньский университет (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.