Модифицированная функция распределения Вигнера

Примечание. Функция распределения Вигнера здесь сокращенно обозначается как WD, а не как WDF, как используется в функции распределения Вигнера.

Модифицированная функция распределения Вигнера представляет собой вариант функции распределения Вигнера (WD) с уменьшенными или удаленными перекрестными членами.

Распределение Вигнера (WD) было впервые предложено для внесения поправок в классическую статистическую механику в 1932 году Юджином Вигнером . Функция распределения Вигнера или распределение Вигнера – Вилля (WVD) для аналитических сигналов также находит применение в частотно-временном анализе. Распределение Вигнера обеспечивает лучшую автоматическую локализацию терминов по сравнению с размазанной спектрограммой (SP). Однако при применении к сигналу с многочастотными компонентами из-за его квадратичной природы появляются перекрестные члены. Было предложено несколько методов уменьшения перекрестных членов. Например, в 1994 году Любиша Станкович предложила новую технику, сейчас называемую S-методом, которая приводит к сокращению или удалению перекрестных членов. Концепция S-метода представляет собой комбинацию спектрограммы и псевдораспределения Вигнера (PWD), оконной версии WD.

Исходный WD, спектрограмма и модифицированные WD принадлежат к Коэна классу билинейных частотно-временных представлений :

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu \quad =[W_{x}\,\ast \,\Pi ](t,f)$

где $\Pi \left(t,f\right)$ Коэна — это функция ядра , которая часто является функцией нижних частот и обычно служит для маскировки помех в исходном представлении Вигнера.

Математическое определение

• Распределение Вигнера

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau$

Функция ядра Коэна: $\Pi (t,f)=\delta _{(0,0)}(t,f)$

• Спектрограмма

$SP_{x}(t,f)=|ST_{x}(t,f)|^{2}=ST_{x}(t,f)\,ST_{x}^{*}(t,f)$

где $ST_{x}$ – это кратковременное преобразование Фурье $x$.

$ST_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )w^{*}(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau$

Функция ядра Коэна: $\Pi (t,f)=W_{h}(t,f)$ который является WD самой оконной функции. В этом можно убедиться, применив свойство свертки функции распределения Вигнера .

Спектрограмма не может создавать помех, поскольку представляет собой квадратичное распределение с положительным знаком.

• Модифицированная форма I

$W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\tau )x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau$

Невозможно решить перекрестную проблему, однако можно решить проблему разницы во времени двух компонентов, превышающей размер окна B.

• Модифицированная форма II

$W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\eta )X(f+\eta /2)X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\,d\eta$

• Модифицированная форма III (псевдо L-распределение Вигнера)

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(r+\tau /2L){\overline {x^{*L}(t-\tau /2L)}}e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau$

Где L — любое целое число больше 0

Увеличение L может уменьшить влияние перекрестного термина (однако оно не может устранить его полностью).

Например, для L=2 доминирующий третий член делится на 4 (что эквивалентно 12 дБ).

Это дает значительное улучшение по сравнению с распределением Вигнера.

Свойства распределения L-Вигнера:

1. Распределение Л-Вигнера всегда реально.
2. Если сигнал сдвинут во времени $x(t-t0)$, то его LWD также сдвинут во времени, $LWD:W_{x}(t-t0,f)$
3. LWD модулированного сигнала $x(t)\exp(j\omega _{0}t)$сдвинута по частоте $LWD:W_{x}(t,f-f0)$
4. Является ли сигнал $x(t)$ограничено во времени, т.е. $x(t)=0$ $for\left\vert t\right\vert >T,$ тогда распределение Л-Вигнера ограничено по времени, $LWD:W_{x}(t,f)=0$ $for\left\vert t\right\vert >T$
5. Если сигнал $x(t)$ограничена ли полоса $f_{m}$( $F(f)=0$$for\left\vert f\right\vert >f_{m}$), затем $LWD:W_{x}(t,f)$ограничено в частотной области $f_{m}$также.
6. Интеграл от распределения Л-Вигнера по частоте равен обобщенной мощности сигнала: $\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)df=\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}$
7. Интеграл $LWD:W_{x}(t,f)$по времени и частоте равна $2L^{th}$власть $2L^{th}$норма сигнала $x(t)$:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dtdf=\int _{-\infty }^{\infty }\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}dt=\lVert x(t)\rVert _{2L}^{2L}$

1. Интеграл по времени:

$\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dt=\left\vert F_{L}(f)\right\vert ^{2}=\left\vert \underbrace {F(L_{f})*F(L_{f})*\cdots *F(L_{f})} _{Ltimes}\right\vert ^{2}$

1. За большую стоимость $L(L\rightarrow \infty )$Мы можем пренебречь всеми значениями $LWD:W_{x}(t,f)$, сравнивая их с теми, что в точках $(t_{m},f_{m})$, где распределение достигает существенного максимума:

$\lim _{L\to \infty }(W_{x}(t,f)/W_{x}(t_{m},f_{m}))={\begin{cases}0,&{\text{if }}f\neq f_{m}{\text{ or }}t\neq t_{m}{\text{ }}\\1,&{\text{if }}f=f_{m}{\text{ and }}t=t_{m}\end{cases}}$

• Модифицированная форма IV (полиномиальная функция распределения Вигнера)

$W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}[\textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau$

Когда $q=2$ и $d_{l}=d_{-l}=0.5$, она становится исходной функцией распределения Вигнера.

Это позволяет избежать перекрестного члена, когда порядок фазы экспоненциальной функции не превышает $q/2+1$

Однако перекрестный термин между двумя компонентами удалить невозможно.

$d_{l}$следует выбирать правильно так, чтобы

$\textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\big (}j2\pi \textstyle \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau \displaystyle {\big )}$

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl (}-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1})\tau {\Bigr )}d\tau$

$\cong \delta {\bigl (}f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}{\bigr )}$

Если $x(t)=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}a_{n}t^{n}{\bigr )}$

когда $q=2$ , $x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau {\bigr )}$

$a_{2}(t+d_{l}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{l}\tau )-a_{2}(t-d_{-l}\tau )^{2}-a_{1}(t-d_{-l}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau$

$\Longrightarrow d_{l}+d_{-l}=1,d_{l}-d_{-l}=0$

$\Longrightarrow d_{l}=d_{-l}=1/2$

• Псевдо-распределение Вигнера

$PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau$

Функция ядра Коэна: $\Pi (t,f)=\delta _{0}(t)\,W_{h}(t,f)$ которая сосредоточена на оси частот.

Обратите внимание, что псевдоВигнер также может быть записан как преобразование Фурье «спектральной корреляции» STFT.

$PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu$

• Сглаженное псевдораспределение Вигнера :

В псевдо-Вигнере временное окно действует как сглаживание частотного направления. Таким образом, он подавляет компоненты помех распределения Вигнера, которые колеблются в частотном направлении. Сглаживание направления времени может быть реализовано путем временной свертки PWD с функцией нижних частот. $q$ :

$SPW_{x}(t,f)=[q\,\ast \,PW_{x}(.,f)](t)=\int _{-\infty }^{\infty }q(t-u)\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(u+\tau /2)x^{*}(u-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau \,du$

Функция ядра Коэна: $\Pi (t,f)=q(t)\,W(f)$ где $W$ это преобразование Фурье окна $w$.

Таким образом, ядро, соответствующее сглаженному псевдораспределению Вигнера, имеет сепарабельный вид. Обратите внимание, что даже если SPWD и S-метод сглаживают WD во временной области, в целом они не эквивалентны.

• S-метод

$SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)G(\nu )e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu$

Функция ядра Коэна: $\Pi (t,f)=g(t)\,W_{h}(t,f)$

S-метод ограничивает диапазон интеграла PWD с помощью низкочастотной оконной функции. $g(t)$ преобразования Фурье $G(f)$. Это приводит к удалению перекрестных членов без размытия автотермов, которые хорошо сконцентрированы вдоль оси частот.S-метод обеспечивает баланс между псевдораспределением Вигнера. $PW_{x}$ [ $g(t)=1$] и спектрограмма мощности $SP_{x}$ [ $g(t)=\delta _{0}(t)$].

Обратите внимание, что в оригинальной статье 1994 года Станкович определяет S-метод с модулированной версией кратковременного преобразования Фурье:

$SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {ST}}_{x}(t,f+\nu ){\tilde {ST}}_{x}^{*}(t,f-\nu )P(\nu )\,d\nu$

где

${\tilde {ST}}_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )w^{*}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \quad =ST_{x}(t,f)\,e^{j2\pi ft}$

Даже в этом случае у нас все еще есть

$\Pi (t,f)=p(2t)\,W_{h}(t,f)$

См. также

• Частотно-временное представление
• Функция распределения Вигнера
• Билинейное частотно-временное распределение
• Кратковременное преобразование Фурье
• Преобразование Габора

Ссылки

• П. Гонсалвес и Р. Баранюк, «Псевдоаффинные распределения Вигнера: определение и формулировка ядра», IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 46, нет. 6 июня 1998 г.
• Л. Станкович, «Метод частотно-временного анализа», Транзакции IEEE по обработке сигналов, том. 42, нет. 1 января 1994 г.
• Л. Дж. Станкович, С. Станкович и Э. Факультет, «Анализ представления мгновенной частоты с использованием обобщенного распределения Вигнера по частотно-временным распределениям», IEEE Trans. по обработке сигналов, стр. 549-552, вып. 43, нет. 2 февраля 1995 г.