Билинейное частотно-временное распределение

Билинейные частотно-временные распределения или квадратичные частотно-временные распределения возникают в подобласти анализа и обработки сигналов, называемой частотно-временной обработкой сигналов , а также при статистическом анализе данных временных рядов . Такие методы используются там, где необходимо иметь дело с ситуацией, когда частотный состав сигнала может меняться с течением времени; раньше эта подобласть называлась частотно-временным анализом сигналов, а теперь чаще называется частотно-временной обработкой сигналов из-за прогресса в использовании этих методов для решения широкого круга задач обработки сигналов.

Фон

Методы анализа временных рядов, как при анализе сигналов, так и при анализе временных рядов , были разработаны как по существу отдельные методологии, применимые и основанные либо на временной, либо на частотной области . Смешанный подход необходим для методов частотно-временного анализа , которые особенно эффективны при анализе нестационарных сигналов, частотное распределение и величина которых меняются со временем. Примерами таких сигналов являются акустические сигналы. Классы «квадратичных частотно-временных распределений» (или билинейных частотно-временных распределений) используются для частотно-временного анализа сигналов. Этот класс по формулировке аналогичен функции распределения классов Коэна, которая использовалась в 1966 году в контексте квантовой механики. Эта функция распределения математически аналогична обобщенному частотно-временному представлению , в котором используются билинейные преобразования. По сравнению с другими методами частотно-временного анализа , такими как кратковременное преобразование Фурье (STFT), Билинейное преобразование (или квадратичное частотно-временное распределение) может и не иметь большей ясности для большинства практических сигналов, но оно обеспечивает альтернативную основу для исследования новых определений и новых методов. компонентные сигналы, используя тщательно выбранный оконную функцию (и), помехи можно значительно уменьшить за счет разрешения. Все эти билинейные распределения взаимно конвертируемы друг в друга, ср. преобразование между распределениями в частотно-временном анализе .

Распределение Вигнера – Вилле

Основная статья: Функция распределения Вигнера

Распределение Вигнера – Вилля представляет собой квадратичную форму, которая измеряет локальную частотно-временную энергию, определяемую формулой:

$P_{V}f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)f^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }\,d\tau$

Распределение Вигнера-Вилля остается реальным, поскольку оно представляет собой преобразование Фурье функции f ( u + τ /2)· f *( u − τ /2), которое обладает эрмитовой симметрией относительно τ . Его также можно записать как интегрирование по частоте, применив формулу Парсеваля:

$P_{V}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}\left(\xi +{\tfrac {\gamma }{2}}\right){\hat {f}}^{*}\left(\xi -{\tfrac {\gamma }{2}}\right)e^{i\gamma u}\,d\gamma$

Предложение 1. для любой f из L ² (Р)

$\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}$

$\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2}$

Теорема Мойала. Для f и g в L ² (Р),

$2\pi \left|\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g^{*}(t)\,dt\right|^{2}=\iint {P_{V}f(u,\xi )}P_{V}g(u,\xi )\,du\,d\xi$

Предложение 2 (частотно-временная поддержка). Если f имеет компактный носитель, то для всех ξ носитель $P_{V}f(u,\xi )$ вдоль u равен носителю f . Аналогично, если ${\hat {f}}$ имеет компактный носитель, то для всех u носитель $P_{V}f(u,\xi )$ вдоль ξ равна носителю ${\hat {f}}$.

Предложение 3 (мгновенная частота). Если $f_{a}(t)=a(t)e^{i\phi (t)}$ затем

$\phi '(u)={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }\xi P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }{\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }}$

Помехи

Позволять $f=f_{1}+f_{2}$ быть составным сигналом. Затем мы можем написать:

$P_{V}f=P_{V}f_{1}+P_{V}f_{2}+P_{V}\left[f_{1},f_{2}\right]+P_{V}\left[f_{2},f_{1}\right]$

где

$P_{V}[h,g](u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }h\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)g^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }d\tau$

представляет собой перекрестное распределение Вигнера – Вилля двух сигналов. Интерференционный член

$I[f_{1},f_{2}]=P_{V}[f_{1},f_{2}]+P_{V}[f_{2},f_{1}]$

— это реальная функция, которая создает ненулевые значения в неожиданных местах (близко к началу координат) в $(u,\xi )$ самолет. Помехи, присутствующие в реальном сигнале, можно избежать, вычислив аналитическую часть. $f_{a}(t)$.

Позитивность и сглаживающее ядро

Интерференционные члены являются осциллирующими, поскольку маргинальные интегралы исчезают и могут быть частично устранены путем сглаживания. $P_{V}f$ с ядром θ

$P_{\theta }f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }{\int _{-\infty }^{\infty }{P_{V}f(u',\xi ')}}\theta (u,u',\xi ,\xi ')\,du'\,d\xi '$

Частотно-временное разрешение этого распределения зависит от разброса ядра θ в окрестности $(u,\xi )$. Поскольку помехи принимают отрицательные значения, можно гарантировать, что все помехи будут устранены, если предположить, что

$P_{\theta }f(u,\xi )\geq 0,\qquad \forall (u,\xi )\in {{\mathbf {R} }^{2}}$

Спектрограмма и скалограмма являются примерами положительного частотно-временного распределения энергии. Пусть линейное преобразование $Tf(\gamma )=\left\langle f,\phi _{\gamma }\right\rangle$ быть определен над семейством частотно-временных атомов $\left\{\phi _{\gamma }\right\}_{\gamma \in \Gamma }$. Для любого $(u,\xi )$ существует уникальный атом $\phi _{\gamma (u,\xi )}$ с центром по частоте времени в $(u,\xi )$. Результирующая плотность частотно-временной энергии равна

$P_{T}f(u,\xi )=\left|\left\langle f,\phi _{\gamma (u,\xi )}\right\rangle \right|^{2}$

По формуле Мойала

$P_{T}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u',\xi ')P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')\,du'\,d\xi '$

что представляет собой усреднение частоты по времени распределения Вигнера – Вилля. Таким образом, ядро ​​сглаживания можно записать как

$\theta (u,u',\xi ,\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')$

Потеря частотно-временного разрешения зависит от разброса распределения $P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')$ в окрестностях $(u,\xi )$.

Пример 1

Спектрограмма, рассчитанная с оконными атомами Фурье,

$\phi _{\gamma (u,\xi )}(t)=g(t-u)e^{i\xi t}$

$\theta (u,u',\xi ,\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}g(u'-u,\xi '-\xi )$

Таким образом, для спектрограммы усреднение Вигнера – Вилля представляет собой двумерную свертку с $P_{V}g$. Если g - окно Гаусса, $P_{V}g$ является двумерной гауссианой. Это доказывает, что усреднение $P_{V}f$ с достаточно широкой гауссианой определяет положительную плотность энергии. Общий класс частотно-временных распределений, полученных путем свертки $P_{V}f$ с произвольным ядром θ называется классом Коэна, который обсуждается ниже.

Теорема Вигнера. Не существует положительного квадратичного распределения энергии Pf , которое удовлетворяло бы следующим предельным интегралам по времени и частоте:

$\int _{-\infty }^{\infty }Pf(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2}$

$\int _{-\infty }^{\infty }Pf(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}$

Математическое определение

Определение класса Коэна билинейных (или квадратичных) частотно-временных распределений выглядит следующим образом:

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,$

где $A_{x}(\eta ,\tau )$ – функция неоднозначности (AF), о которой речь пойдет позже; и $\Phi (\eta ,\tau )$ Коэна — это функция ядра , которая часто является функцией нижних частот и обычно служит для маскировки помех. В исходном представлении Вигнера $\Phi \equiv 1$.

Эквивалентное определение основано на свертке функции распределения Вигнера (WD) вместо AF:

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu =[W_{x}\ast \Pi ](t,f)$

где функция ядра $\Pi (t,f)$ определяется в частотно-временной области, а не в области неоднозначности. В исходном представлении Вигнера $\Pi =\delta _{(0,0)}$. Связь между двумя ядрами такая же, как между WD и AF, а именно два последовательных преобразования Фурье (см. диаграмму).

$\Phi ={\mathcal {F}}_{t}{\mathcal {F}}_{f}^{-1}\Pi$

то есть

$\Phi (\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Pi (t,f)\exp(-j2\pi (t\eta -f\tau ))\,dt\,df,$

или эквивалентно

$\Pi (t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau .$

Функция неоднозначности

Основная статья: Функция неоднозначности

Класс билинейных (или квадратичных) частотно-временных распределений легче всего понять в терминах функции неоднозначности , объяснение которой следует.

Рассмотрим хорошо известную спектральную плотность мощности $P_{x}(f)$ сигнала автокорреляции и функция $R_{x}(\tau )$ в случае стационарного процесса. Связь между этими функциями следующая:

$P_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,$

$R_{x}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\,dt.$

Для нестационарного сигнала $x(t)$, эти отношения можно обобщить, используя зависящую от времени спектральную плотность мощности или, что то же самое, знаменитую распределения Вигнера функцию $x(t)$ следующее:

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,$

$R_{x}(t,\tau )=x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right).$

Если преобразование Фурье автокорреляционной функции берется относительно t вместо τ , мы получаем функцию неоднозначности следующим образом:

$A_{x}(\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j2\pi t\eta }\,dt.$

Взаимосвязь между функцией распределения Вигнера, функцией автокорреляции и функцией неоднозначности можно проиллюстрировать следующим рисунком.

Сравнивая определение билинейного (или квадратичного) частотно-временного распределения с определением функции распределения Вигнера, легко обнаружить, что последнее является частным случаем первого с $\Phi (\eta ,\tau )=1$. Альтернативно, билинейное (или квадратичное) частотно-временное распределение можно рассматривать как замаскированную версию функции распределения Вигнера, если функция ядра $\Phi (\eta ,\tau )\neq 1$ выбран. Правильно выбранная функция ядра может значительно уменьшить нежелательный перекрестный член функции распределения Вигнера.

В чем преимущество дополнительной функции ядра? На следующем рисунке показано распределение автоматического термина и перекрестного члена многокомпонентного сигнала как в неоднозначности, так и в функции распределения Вигнера.

Для многокомпонентных сигналов в целом распределение авточлена и перекрестного члена внутри функции распределения Вигнера обычно непредсказуемо, и, следовательно, перекрестный член невозможно легко удалить. Однако, как показано на рисунке, для функции неоднозначности авточлен многокомпонентного сигнала по своей сути будет стремиться закрыть начало координат в плоскости ητ , а перекрестный член будет стремиться отойти от начала координат. Благодаря этому свойству перекрестный член можно легко отфильтровать, если в ητ -области применить подходящую функцию ядра нижних частот. Ниже приведен пример, демонстрирующий, как отфильтровывается перекрестный термин.

Свойства ядра

Преобразование Фурье $\theta (u,\xi )$ является

${\hat {\theta }}(\tau ,\gamma )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\theta (u,\xi )e^{-i(u\gamma +\xi \tau )}\,du\,d\xi$

Следующее предложение дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы $P_{\theta }$ удовлетворяет предельным энергетическим свойствам, подобным свойствам распределения Вигнера – Вилля.

Предложение: предельные энергетические свойства.

$\int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }f(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2},$

$\int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }f(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}$

довольны всем $f\in L^{2}(\mathbf {R} )$ тогда и только тогда, когда

$\forall (\tau ,\gamma )\in \mathbf {R} ^{2}:\qquad {\hat {\theta }}(\tau ,0)={\hat {\theta }}(0,\gamma )=1$

Некоторые частотно-временные распределения

Функция распределения Вигнера

Вышеупомянутая функция распределения Вигнера является членом класса квадратичных частотно-временных распределений (QTFD) с функцией ядра $\Phi (\eta ,\tau )=1$. Определение распределения Вигнера выглядит следующим образом:

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .$

Модифицированные функции распределения Вигнера

Основная статья: Модифицированная функция распределения Вигнера

Аффинная инвариантность

Мы можем спроектировать частотно-временные распределения энергии, которые удовлетворяют свойству масштабирования.

${\frac {1}{\sqrt {s}}}f\left({\tfrac {t}{s}}\right)\longleftrightarrow P_{V}f\left({\tfrac {u}{s}},s\xi \right)$

как и распределение Вигнера – Вилля. Если

$g(t)={\frac {1}{\sqrt {s}}}f\left({\tfrac {t}{s}}\right)$

затем

$P_{\theta }g(u,\xi )=P_{\theta }f\left({\tfrac {u}{s}},s\xi \right).$

Это равносильно навязыванию этого

$\forall s\in \mathbf {R} ^{+}:\qquad \theta \left(su,{\tfrac {\xi }{s}}\right)=\theta (u,\xi ),$

и, следовательно,

$\theta (u,\xi )=\theta (u\xi ,1)=\beta (u\xi )$

Распределения Рихачека и Чоя-Вильямса являются примерами распределений аффинных инвариантных классов Коэна.

Функция распределения Чоя – Вильямса

Ядро распределения Чоя–Вильямса определяется следующим образом:

$\Phi (\eta ,\tau )=\exp(-\alpha (\eta \tau )^{2}),$

где α — регулируемый параметр.

Функция распределения Рихачека

Ядро распределения Рихачека определяется следующим образом:

$\Phi (\eta ,\tau )=\exp \left(-i2\pi {\frac {\eta \tau }{2}}\right),$

Для этого конкретного ядра простой расчет доказывает, что

$C_{x}(t,f)=x(t){\hat {x}}^{*}(f)e^{i2\pi tf}$

Функция распределения конической формы

Основная статья: Функция распределения конической формы

Ядро конусной функции распределения определяется следующим образом:

$\Phi (\eta ,\tau )={\frac {\sin(\pi \eta \tau )}{\pi \eta \tau }}\exp \left(-2\pi \alpha \tau ^{2}\right),$

где α — регулируемый параметр. См. Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе . Больше таких QTFD и полный список можно найти, например, в цитируемом тексте Коэна.

Спектр нестационарных процессов

Изменяющийся во времени спектр нестационарных процессов определяется на основе ожидаемого распределения Вигнера – Вилля. Локально стационарные процессы возникают во многих физических системах, где случайные флуктуации возникают по механизму, медленно меняющемуся во времени. Такие процессы можно локально аппроксимировать стационарным процессом. Позволять $X(t)$ быть действительным процессом с нулевым средним с ковариацией

$R(t,s)=E[X(t)X(s)]$

Ковариационный оператор K определен для любого детерминированного сигнала $f\in L^{2}(\mathbf {R} )$ к

$Kf(t)=\int _{-\infty }^{\infty }R(t,s)f(s)\,ds$

Для локально стационарных процессов собственные векторы K хорошо аппроксимируются спектром Вигнера–Вилля.

Спектр Вигнера – Вилля

Свойства ковариации $R(t,s)$ изучаются как функция $\tau =t-s$ и $u={\frac {t+s}{2}}$:

$R(t,s)=R\left(u+{\tfrac {\tau }{2}},u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)=C(u,\tau )$

Процесс является стационарным в широком смысле , если ковариация зависит только от $\tau =t-s$:

$Kf(t)=\int _{-\infty }^{\infty }C(t-s)f(s)\,ds=C*f(t)$

Собственные векторы представляют собой комплексные экспоненты. $e^{i\omega t}$ а соответствующие собственные значения определяются спектром мощности

$P_{X}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }C(\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau$

Для нестационарных процессов Мартин и Фландрин ввели изменяющийся во времени спектр.

$P_{X}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }C(u,\tau )e^{-i\xi \tau }\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }E\left[X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right]e^{-i\xi \tau }\,d\tau$

Чтобы избежать проблем сходимости, мы предполагаем, что X имеет компактный носитель, так что $C(u,\tau )$ имеет компактную поддержку в $\tau$. Сверху мы можем написать

$P_{X}(u,\xi )=E[P_{V}X(u,\xi )]$

что доказывает, что изменяющийся во времени спектр является ожидаемым значением преобразования Вигнера – Вилле процесса X . Здесь стохастический интеграл Вигнера–Вилля интерпретируется как среднеквадратический интеграл:

$P_{V}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right\}e^{-i\xi \tau }\,d\tau$

Ссылки

• Л. Коэн, Частотно-временной анализ, Прентис-Холл, Нью-Йорк, 1995. ISBN   978-0135945322
• Б. Боашаш, редактор, «Анализ и обработка частотно-временных сигналов – полный справочник», Elsevier Science, Оксфорд, 2003.
• Л. Коэн, «Частотно-временные распределения — обзор», Proceedings of IEEE, vol. 77, нет. 7, стр. 941–981, 1989.
• С. Цянь и Д. Чен, Совместный частотно-временной анализ: методы и приложения, гл. 5, Прентис-Холл, Нью-Джерси, 1996 г.
• Х. Чой и У. Дж. Уильямс, «Улучшенное частотно-временное представление многокомпонентных сигналов с использованием экспоненциальных ядер», IEEE. Пер. Акустика, речь, обработка сигналов, вып. 37, нет. 6, стр. 862–871, июнь 1989 г.
• Ю. Чжао, Л. Е. Атлас и Р. Дж. Маркс, «Использование ядер конической формы для обобщенных частотно-временных представлений нестационарных сигналов», IEEE Trans. Акустика, речь, обработка сигналов, вып. 38, нет. 7, стр. 1084–1091, июль 1990 г.
• Б. Боашаш, «Эвристическая формулировка частотно-временных распределений», глава 2, стр. 29–58, в книге Б. Боашаша, редактора, «Анализ и обработка частотно-временных сигналов: полный справочник», Elsevier Science, Оксфорд, 2003.
• Б. Боашаш, «Теория квадратичных TFD», глава 3, стр. 59–82, в книге Б. Боашаша, редактора, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: полный справочник, Elsevier, Оксфорд, 2003.