Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе

В области частотно-временного анализа используется несколько формулировок сигнала для представления сигнала в совместной частотно-временной области. ^{[ 1 ]}

Существует несколько методов и преобразований, называемых «частотно-временными распределениями» (TFD), взаимосвязи которых были организованы Леоном Коэном. ^{[ 2 ]} ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Наиболее полезные и популярные методы образуют класс, называемый «квадратичными» или билинейными частотно-временными распределениями . Основным членом этого класса является распределение Вигнера-Вилля (WVD), поскольку все остальные TFD могут быть записаны как сглаженные или свернутые версии WVD. Другим популярным членом этого класса является спектрограмма , которая представляет собой квадрат величины кратковременного преобразования Фурье (STFT). Преимущество спектрограммы состоит в том, что она положительна и ее легко интерпретировать, но у нее есть и недостатки, например, она необратима, что означает, что после расчета спектрограммы сигнала исходный сигнал невозможно извлечь из спектрограммы. Теория и методология определения TFD, проверяющего определенные желаемые свойства, приведены в «Теории квадратичных TFD». ^{[ 6 ]}

Целью этой статьи является иллюстрация некоторых элементов процедуры преобразования одного дистрибутива в другой. Метод, используемый для преобразования распределения, заимствован из фазовом пространстве в формулировки квантовой механики , хотя предметом этой статьи является «обработка сигналов». Отмечая, что сигнал может быть восстановлен из конкретного распределения при определенных условиях, учитывая определенный TFD ρ ₁ ( t , f ), представляющий сигнал в совместной частотно-временной области, другой, отличный, TFD ρ ₂ ( t , f ) тот же сигнал можно получить для расчета любого другого распределения путем простого сглаживания или фильтрации; некоторые из этих отношений показаны ниже. Полное рассмотрение этого вопроса можно дать в книге Коэна.

Общий класс

Если мы используем переменную $ω = 2 πf$ , то, заимствовав обозначения, используемые в области квантовой механики, мы можем показать, что частотно-временное представление, такое как функция распределения Вигнера (WDF) и другие билинейные частотно-временные распределения , может быть выражается как

C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta ,

( 1 )

где $\phi (\theta ,\tau )$ представляет собой двумерную функцию, называемую ядром, которая определяет распределение и его свойства (для терминологии обработки сигналов и рассмотрения этого вопроса читатель отсылается к уже упомянутым во введении ссылкам).

Ядро функции распределения Вигнера (ФРВ) одно. Однако этому не следует придавать особого значения, поскольку можно записать общий вид так, что ядро любого распределения будет одним, и в этом случае ядро функции распределения Вигнера (ФРВ) будет чем-то другим.

Формулировка характеристической функции

Характеристической функцией является двойное преобразование Фурье распределения. При проверке уравнения. ( 1 ), мы можем получить, что

C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint M(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau

( 2 )

где

{\begin{alignedat}{2}M(\theta ,\tau )&=\phi (\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du\\&=\phi (\theta ,\tau )A(\theta ,\tau )\\\end{alignedat}}

( 3 )

и где $A(\theta ,\tau )$ – симметричная функция неоднозначности. Характеристическую функцию можно назвать обобщенной функцией неоднозначности.

Преобразование между дистрибутивами

Чтобы получить это соотношение, предположим, что существует два распределения: $C_{1}$ и $C_{2}$ , с соответствующими ядрами, $\phi _{1}$ и $\phi _{2}$ . Их характерные функции:

M_{1}(\phi ,\tau )=\phi _{1}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)s\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j\theta u}\,du

( 4 )

M_{2}(\phi ,\tau )=\phi _{2}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)s\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j\theta u}\,du

( 5 )

Разделив одно уравнение на другое, получим

M_{1}(\phi ,\tau )={\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\phi ,\tau )

( 6 )

Это важное соотношение, поскольку оно связывает характеристические функции. Чтобы деление было правильным, ядро не может быть равно нулю в конечной области.

Чтобы получить связь между распределениями, возьмите двойное преобразование Фурье с обеих сторон и используйте уравнение. ( 2 )

C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau

( 7 )

Теперь выразить $M_{2}$ с точки зрения $C_{2}$ чтобы получить

C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiiint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}C_{2}(t,\omega ')e^{j\theta (t'-t)+j\tau (\omega '-\omega )}\,d\theta \,d\tau \,dt'\,d\omega '

( 8 )

Это соотношение можно записать как

C_{1}(t,\omega )=\iint g_{12}(t'-t,\omega '-\omega )C_{2}(t,\omega ')\,dt'\,d\omega '

( 9 )

с

g_{12}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau

( 10 )

Связь спектрограммы с другими билинейными представлениями

Теперь мы специализируемся на случае преобразования произвольного представления в спектрограмму. В уравнении ( 9 ), оба $C_{1}$ быть спектрограммой и $C_{2}$ быть произвольными. Кроме того, для упрощения обозначений $\phi _{SP}=\phi _{1},\phi =\phi _{2}$ , и $g_{SP}=g_{12}$ задаются и записываются как

C_{SP}(t,\omega )=\iint g_{SP}\left(t'-t,\omega '-\omega \right)C\left(t,\omega '\right)\,dt'\,d\omega '

( 11 )

Ядро для спектрограммы с окном, $h(t)$ , является $A_{h}(-\theta ,\tau )$ и поэтому

${\begin{aligned}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}}){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{aligned}}$

Если рассматривать только ядра, для которых $\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1$ тогда держится $g_{SP}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta =C_{h}(t,-\omega )$ и поэтому $C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t'-t,\omega '-\omega )\,dt'\,d\omega '$

Это показал Янссен. ^{[ 4 ]} Когда $\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )$ не равно единице, то $C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t'',\omega '')C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t''+t'-t,-\omega ''+\omega -\omega ')\,dt'\,dt''\,d\omega '\,d\omega ''$ где $G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau$

Ссылки

^ Л. Коэн, «Частотно-временной анализ», Прентис-Холл , Нью-Йорк, 1995. ISBN 978-0135945322
^ Л. Коэн, «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве», J. Math. Физ. , 7 (1966), стр. 781–786, doi: 10.1063/1.1931206.
^ Л. Коэн, «Проблема квантования и вариационный принцип в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве», J. Math. Физ. , 7 стр. 1863–1866, 1976.
^ Jump up to: ^а ^б АДЖЕМ Янссен, «О местоположении и распространении функций псевдоплотности в частотно-временной плоскости», Philips Journal of Research , vol. 37, стр. 79–110, 1982.
^ Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153–183, январь 2009 г.
^ Б. Боашаш, «Теория квадратичных TFD», глава 3, стр. 59–82, в Б. Боашаше, редакторе, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: полный справочник, Elsevier, Оксфорд, 2003; ISBN 0-08-044335-4 .

[1] Л. Коэн, «Частотно-временной анализ», Прентис-Холл , Нью-Йорк, 1995. ISBN 978-0135945322

[2] Л. Коэн, «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве», J. Math. Физ. , 7 (1966), стр. 781–786, doi: 10.1063/1.1931206.

[3] Л. Коэн, «Проблема квантования и вариационный принцип в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве», J. Math. Физ. , 7 стр. 1863–1866, 1976.

[Janssen-4] Jump up to: ^а ^б АДЖЕМ Янссен, «О местоположении и распространении функций псевдоплотности в частотно-временной плоскости», Philips Journal of Research , vol. 37, стр. 79–110, 1982.

[5] Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153–183, январь 2009 г.

[6] Б. Боашаш, «Теория квадратичных TFD», глава 3, стр. 59–82, в Б. Боашаше, редакторе, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: полный справочник, Elsevier, Оксфорд, 2003; ISBN 0-08-044335-4 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]