Оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности

Пример разделения на подмассивы (2D ESPRIT)

Оценка параметров сигнала с помощью методов вращательного инварианта (ESPRIT) — это метод определения параметров смеси синусоид в фоновом шуме. Этот метод был впервые предложен для оценки частоты. Однако с появлением систем фазированных решеток в повседневной технике они также используются для угла прихода . оценки

Одномерный ESPRIT

Например ${\textstyle t}$, ${\textstyle M}$ (комплексные) выходные сигналы (измерения) ${\textstyle y_{m}[t]}$, ${\textstyle m=1,\ldots ,M}$системы связаны с ${\textstyle K}$ (комплексные) входные сигналы ${\textstyle x_{k}[t]}$, ${\textstyle k=1,\ldots ,K}$, как $$y_{m}[t]=\sum _{k=1}^{K}a_{m,k}x_{k}[t]+n_{m}[t],$$где ${\textstyle n_{m}[t]}$ обозначает шум, добавляемый системой. Одномерную форму ESPRIT можно применять, если веса имеют вид ${\textstyle a_{m,k}=e^{-j(m-1)\omega _{k}}}$, фазы которого являются целыми кратными некоторой радиальной частоты $\omega _{k}$. Эта частота зависит только от индекса входа системы, т.е. ${\textstyle k}$. Целью ESPRIT является оценка $\omega _{k}$s, учитывая результаты ${\textstyle y_{m}[t]}$ и количество входных сигналов, ${\textstyle K}$. Поскольку радиальные частоты являются фактическими целями, ${\textstyle a_{m,k}}$ обозначается как ${\textstyle a_{m}(\omega _{k})}$.

Сопоставление весов ${\textstyle a_{m}(\omega _{k})}$ как $\mathbf {a} (\omega _{k})=[\,1\,\ e^{-j\omega _{k}}\,\ e^{-j2\omega _{k}}\,\ ...\,\ e^{-j(M-1)\omega _{k}}\,]^{\top }$ и ${\textstyle M}$ выходные сигналы, например ${\textstyle t}$ как $\mathbf {y} [t]=[\,y_{1}[t]\,\ y_{2}[t]\,\ ...\,\ y_{M}[t]\,]^{\top }$, $$\mathbf {y} [t]=\sum _{k=1}^{K}\mathbf {a} (\omega _{k})x_{k}[t]+\mathbf {n} [t],$$где $\mathbf {n} [t]=[\,n_{1}[t]\,\ n_{2}[t]\,\ ...\,\ n_{M}[t]\,]^{\top }$. Далее, когда весовые векторы $\mathbf {a} (\omega _{1}),\ \mathbf {a} (\omega _{2}),\ ...,\ \mathbf {a} (\omega _{K})$ помещаются в матрицу Вандермонда $\mathbf {A} =[\,\mathbf {a} (\omega _{1})\,\ \mathbf {a} (\omega _{2})\,\ ...\,\ \mathbf {a} (\omega _{K})\,]$и $K$ входы, например ${\textstyle t}$ в вектор $\mathbf {x} [t]=[\,x_{1}[t]\,\ ...\,\ x_{k}[t]\,]^{\top }$, мы можем написать $$\mathbf {y} [t]=\mathbf {A} \,\mathbf {x} [t]+\mathbf {n} [t].$$С несколькими измерениями в экземплярах ${\textstyle t=1,2,\dots ,T}$ и обозначения ${\textstyle \mathbf {Y} =[\,\mathbf {y} [1]\,\ \mathbf {y} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {y} [T]\,]}$, ${\textstyle \mathbf {X} =[\,\mathbf {x} [1]\,\ \mathbf {x} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {x} [T]\,]}$ и ${\textstyle \mathbf {N} =[\,\mathbf {n} [1]\,\ \mathbf {n} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {n} [T]\,]}$, уравнение модели принимает вид $$\mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +\mathbf {N} .$$

Разделение на виртуальные подмассивы

Максимальное перекрытие двух подмассивов ( N обозначает количество датчиков в массиве, m — количество датчиков в каждом подмассиве, а $J_{1}$ и $J_{2}$ являются матрицами выбора)

Вектор веса ${\textstyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$ имеет свойство, заключающееся в том, что соседние записи связаны. $$[\mathbf {a} (\omega _{k})]_{m+1}=e^{-j\omega _{k}}[\mathbf {a} (\omega _{k})]_{m}$$Для всего вектора $\mathbf {a} (\omega _{k})$, уравнение вводит две матрицы выбора $\mathbf {J} _{1}$и $\mathbf {J} _{2}$: $\mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}$ и $\mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]$. Здесь, $\mathbf {I} _{M-1}$ представляет собой единичную матрицу размера ${\textstyle (M-1)}$ и $\mathbf {0}$ является вектором нуля.

Векторы $\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})$ $[\mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})]$ содержит все элементы $\mathbf {a} (\omega _{k})$ кроме последнего [первого] ​​одного. Таким образом, $\mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})$ и $$\mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} ,\quad {\text{where}}\quad {\mathbf {H} }:={\begin{bmatrix}e^{-j\omega _{1}}&\\&e^{-j\omega _{2}}\\&&\ddots \\&&&e^{-j\omega _{K}}\end{bmatrix}}.$$Вышеупомянутое соотношение является первым важным наблюдением, необходимым для ESPRIT. Второе важное наблюдение касается подпространства сигналов, которое можно вычислить на основе выходных сигналов.

Сигнальное подпространство

Сингулярное разложение (SVD) ${\textstyle \mathbf {Y} }$ дается как $$\mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }$$где ${\textstyle \mathbf {U} \in \mathbb {C} ^{M\times M}}$ и ${\textstyle \mathbf {V} \in \mathbb {C} ^{T\times T}}$ являются унитарными матрицами и ${\textstyle \mathbf {\Sigma } }$ представляет собой диагональную матрицу размера ${\textstyle M\times T}$, который содержит сингулярные значения, начиная с самого большого (вверху слева) в порядке убывания. Оператор ${\textstyle \dagger }$ обозначает комплексно-сопряженное транспонирование (эрмитово транспонирование).

Предположим, что ${\textstyle T\geq M}$. Обратите внимание, что у нас есть ${\textstyle K}$ входные сигналы. Если бы не было шума, был бы только ${\textstyle K}$ ненулевые сингулярные значения. Мы предполагаем, что ${\textstyle K}$ Наибольшие сингулярные значения возникают из-за этих входных сигналов, а другие сингулярные значения, как предполагается, возникают из-за шума. Матрицы в СВД ${\textstyle \mathbf {Y} }$ могут быть разделены на подматрицы, где некоторые подматрицы соответствуют подпространству сигнала, а некоторые соответствуют подпространству шума. $${\begin{aligned}\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }&\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\end{bmatrix}},&&\mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }&\mathbf {0} \end{bmatrix}},&&\mathbf {V} ={\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{\mathrm {S} }&\mathbf {V} _{\mathrm {N} }&\mathbf {V} _{\mathrm {0} }\end{bmatrix}}\end{aligned}},$$где ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}$ и ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{N\times K}}$ содержать первый ${\textstyle K}$ столбцы ${\textstyle \mathbf {U} }$ и ${\textstyle \mathbf {V} }$соответственно и ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{K\times K}}$представляет собой диагональную матрицу, состоящую из ${\textstyle K}$ наибольшие сингулярные значения.

Таким образом, SVD можно записать как $$\mathbf {Y} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger },$$где ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$, ⁣ ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }}$, и ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }}$ представляют вклад входного сигнала ${\textstyle x_{k}[t]}$ к ${\textstyle \mathbf {Y} }$. Мы называем ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ сигнальное подпространство. В отличие, ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {N} }}$, ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {N} }}$, и ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }}$ представляют вклад шума ${\textstyle n_{m}[t]}$ к ${\textstyle \mathbf {Y} }$.

Следовательно, из модели системы мы можем написать ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }}$ и ${\textstyle \mathbf {N} =\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger }}$. Кроме того, из первого мы можем написать $$\mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} ,$$где ${\mathbf {F} }=\mathbf {X} \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{-1}$. В дальнейшем важно лишь то, что существует такая обратимая матрица ${\textstyle \mathbf {F} }$ и его фактическое содержание не будет иметь значения.

Примечание. Подпространство сигнала также можно извлечь из спектрального разложения матрицы автокорреляции измерений, которое оценивается как $$\mathbf {R} _{\mathrm {YY} }={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}\mathbf {y} [t]\mathbf {y} [t]^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {Y} \mathbf {Y} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} {\mathbf {\Sigma } \mathbf {\Sigma } ^{\dagger }}\mathbf {U} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+{\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }^{\dagger }.$$

Оценка радиальных частот

На данный момент мы установили два выражения: ${\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} }$ и ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} }$. Сейчас, $${\begin{aligned}\mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} \implies \mathbf {J} _{2}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})=\mathbf {J} _{1}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})\mathbf {H} \implies \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} ,\end{aligned}}$$где $\mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }$ и $\mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }$ обозначают усеченные сигнальные подпространства, и $$\mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} .$$Приведенное выше уравнение имеет вид разложения по собственным значениям , а фазы собственных значений в диагональной матрице $\mathbf {H}$ используются для оценки радиальных частот.

Таким образом, после решения $\mathbf {P}$ в отношении $\mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P}$, мы найдем собственные значения ${\textstyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{K}}$ из $\mathbf {P}$, где $\lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}$, а радиальные частоты $\omega _{1},\ \omega _{2},\ \ldots ,\ \omega _{K}$ оцениваются как фазы (аргументы) собственных значений.

Примечание: В общем, $\mathbf {S} _{1}$ не является обратимым. Можно использовать наименьших квадратов оценку ${\mathbf {P} }=(\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{1}})^{-1}\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{2}}$. Альтернативой может быть общая оценка методом наименьших квадратов .

Краткое описание алгоритма

Входные данные: измерения ${\textstyle \mathbf {Y} :=[\,\mathbf {y} [1]\,\ \mathbf {y} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {y} [T]\,]}$, количество входных сигналов ${\textstyle K}$ (оценка, если еще не известна).

1. Вычислите разложение по сингулярным значениям (SVD) ${\textstyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}$ и извлекаем подпространство сигнала ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}$ как первый ${\textstyle K}$ столбцы ${\textstyle \mathbf {U} }$.
2. Вычислить ${\textstyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ и ${\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$, где $\mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]$ и $\mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]$.
3. Решите для ${\textstyle \mathbf {P} }$ в ${\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }$ (см. замечание выше).
4. Вычислите собственные значения ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{K}}$ из ${\textstyle \mathbf {P} }$.
5. Фазы собственных значений ${\textstyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}$ обеспечить радиальные частоты ${\textstyle \omega _{k}}$, то есть, ${\textstyle \omega _{k}=\arg \lambda _{k}}$

Примечания

Выбор матриц выбора

В приведенном выше выводе матрицы выбора $\mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]$ и $\mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]$ были использованы. Однако любые подходящие матрицы ${\textstyle \mathbf {J} _{1}}$ и $\mathbf {J} _{2}$ может использоваться до тех пор, пока сохраняется вращательная инвариантность ${\textstyle (}$то есть, $\mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})$${\textstyle )}$, или имеет место некоторое его обобщение (см. ниже); соответственно, матрицы ${\textstyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {A} }$ и ${\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} }$ может содержать любые строки ${\textstyle \mathbf {A} }$.

Обобщенная вращательная инвариантность

Вращательную инвариантность, использованную при выводе, можно обобщить. До сих пор матрица $\mathbf {H}$ была определена как диагональная матрица, которая хранит искомые комплексные экспоненты на своей главной диагонали. Однако, $\mathbf {H}$ может иметь и другую структуру. Например, это может быть верхняя треугольная матрица. В этом случае, ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} }$ собой триангуляризацию представляет $\mathbf {P}$.

См. также

• Множественная классификация сигналов
• Обобщенный метод карандаша функций
• Независимый анализ компонентов

Дальнейшее чтение

• Паульраж, А.; Рой, Р.; Кайлат, Т. (1985), «Оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности - Esprit», Девятнадцатая конференция Asilomar по схемам, системам и компьютерам , стр. 83–89, doi : 10.1109/ACSSC.1985.671426 , ISBN  978-0-8186-0729-5 , S2CID   2293566 .
• Рой, Р.; Кайлат, Т. (1989). «Esprit — оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности» (PDF) . Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 37 (7): 984–995. дои : 10.1109/29.32276 . S2CID   14254482 . Архивировано из оригинала (PDF) 26 сентября 2020 г. Проверено 25 июля 2011 г. .
• Ибрагим, AM; Марей, Мичиган; Мехамер, Сан-Франциско; Мансур, ММ (2011). «Подход защиты на основе искусственных нейронных сетей с использованием полной оценки параметров сигнала методом наименьших квадратов с помощью метода вращательной инвариантности для компенсированных линий передачи гибкой системы передачи переменного тока». Электроэнергетические компоненты и системы . 39 (1): 64–79. дои : 10.1080/15325008.2010.513363 . S2CID   109581436 .
• Хаардт М., Золтовски, доктор медицинских наук, Мэтьюз, К.П., и Носсек, Дж. (1995, май). 2D унитарный ESPRIT для эффективной оценки 2D параметров. В икаспе (стр. 2096-2099). IEEE.