Обобщенный метод карандаша функций

Извлечение двух синусоид из зашумленных данных с помощью метода GPOF.

Обобщенный метод карандаша функций ( GPOF ), также известный как метод матричного карандаша , представляет собой метод обработки сигналов для оценки сигнала или извлечения информации с помощью комплексных экспонент . Будучи похожим на методы Прони и оригинальные методы «карандаш функций», его обычно предпочитают из-за его надежности и вычислительной эффективности.

Первоначально метод был разработан Инбо Хуа и Тапаном Саркаром для оценки поведения электромагнитных систем по их переходному отклику, основываясь на прошлой работе Саркара над оригинальным методом карандаша функций. Метод имеет множество применений в электротехнике , особенно связанных с проблемами вычислительной электромагнетики , микроволновой техники и теории антенн .

Метод

Математическая основа

Переходный электромагнитный сигнал можно представить как:

$y(t)=x(t)+n(t)\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}e^{s_{i}t}+n(t);0\leq t\leq T,$

где

$y(t)$ наблюдаемый сигнал во временной области,

$n(t)$ это шум сигнала ,

$x(t)$ это действительный сигнал,

$R_{i}$ остатки ​ ( $R_{i}$),

$s_{i}$ являются полюсами системы, определяемыми как $s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}$,

$z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ тождествами Z-преобразования ,

$\alpha _{i}$ являются коэффициентами демпфирования и

$\omega _{i}$ - угловые частоты .

Та же последовательность, выбранная за период $T_{s}$, можно записать следующим образом:

$y[kT_{s}]=x[kT_{s}]+n[kT_{s}]\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}z_{i}^{k}+n[kT_{s}];k=0,...,N-1;i=1,2,...,M$,

Обобщенный пучок функций оценивает оптимальную $M$ и $z_{i}$х.

Бесшумный анализ

Для бесшумного случая два $(N-L)\times L$ матрицы, $Y_{1}$ и $Y_{2}$, производятся:

$[Y_{1}]={\begin{bmatrix}x(0)&x(1)&\cdots &x(L-1)\\x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L-1)&x(N-L)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L};$ $[Y_{2}]={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\x(2)&x(3)&\cdots &x(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L)&x(N-L+1)&\cdots &x(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L}$

где $L$ определяется как параметр карандаша . $Y_{1}$ и $Y_{2}$ можно разложить на следующие матрицы:

$[Y_{1}]=[Z_{1}][B][Z_{2}]$

$[Y_{2}]=[Z_{1}][B][Z_{0}][Z_{2}]$

где

$[Z_{1}]={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{(N-L-1)}&z_{2}^{(N-L-1)}&\cdots &z_{M}^{(N-L-1)}\end{bmatrix}}_{(N-L)\times M};$ $[Z_{2}]={\begin{bmatrix}1&z_{1}&\cdots &z_{1}^{L-1}\\1&z_{2}&\cdots &z_{2}^{L-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{bmatrix}}_{M\times L}$

${\textstyle [Z_{0}]}$ и ${\textstyle [B]}$ являются ${\textstyle M\times M}$ диагональные матрицы с последовательно расположенными ${\textstyle z_{i}}$ и ${\textstyle R_{i}}$ значения соответственно.

Если ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$, обобщенные собственные значения матричного пучка

$[Y_{2}]-\lambda [Y_{1}]=[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]$

дают полюса системы, которые $\lambda =z_{i}$. Тогда обобщенные собственные векторы $p_{i}$ можно получить с помощью следующих тождеств:

$[Y_{1}]^{+}[Y_{1}]p_{i}=p_{i};$    $i=1,...,M$

$[Y_{1}]^{+}[Y_{2}]p_{i}=z_{i}p_{i};$    $i=1,...,M$

где $^{+}$ обозначает инверсию Мура-Пенроуза , также известную как псевдоинверсия. Разложение по сингулярным значениям можно использовать для вычисления псевдообратного значения.

Фильтрация шума

Если в системе присутствует шум, ${\textstyle [Y_{1}]}$ и ${\textstyle [Y_{2}]}$ объединяются в общую матрицу данных, ${\textstyle [Y]}$:

$[Y]={\begin{bmatrix}y(0)&y(1)&\cdots &y(L)\\y(1)&y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(N-L-1)&y(N-L)&\cdots &y(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times (L+1)}$

где $y$ это зашумленные данные. Для эффективной фильтрации L выбирается между ${\textstyle {\frac {N}{3}}}$ и ${\textstyle {\frac {N}{2}}}$. Разложение по сингулярным значениям на ${\textstyle [Y]}$ дает:

$[Y]=[U][\Sigma ][V]^{H}$

В этом разложении ${\textstyle [U]}$ и ${\textstyle [V]}$ являются унитарными матрицами с соответствующими собственными векторами ${\textstyle [Y][Y]^{H}}$ и ${\textstyle [Y]^{H}[Y]}$ и ${\textstyle [\Sigma ]}$ представляет собой диагональную матрицу с сингулярными значениями ${\textstyle [Y]}$. Надстрочный индекс ${\textstyle H}$ обозначает сопряженное транспонирование .

Тогда параметр ${\textstyle M}$ выбран для фильтрации. Сингулярные значения после ${\textstyle M}$, которые ниже порога фильтрации, устанавливаются равными нулю; для произвольного сингулярного значения ${\textstyle \sigma _{c}}$, порог обозначается следующей формулой:

${\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}$,

${\textstyle \sigma _{max}}$ и p — максимальное единственное число и значащие десятичные цифры соответственно. Для данных со значащими цифрами с точностью до p сингулярные значения ниже ${\textstyle 10^{-p}}$ считаются шумом.

${\textstyle [V_{1}']}$ и ${\textstyle [V_{2}']}$ получаются путем удаления последней и первой строки и столбца отфильтрованной матрицы ${\textstyle [V']}$, соответственно; ${\textstyle M}$ столбцы ${\textstyle [\Sigma ]}$ представлять ${\textstyle [\Sigma ']}$. Отфильтровано ${\textstyle [Y_{1}]}$ и ${\textstyle [Y_{2}]}$ матрицы получаются как:

$[Y_{1}]=[U][\Sigma '][V_{1}']^{H}$

$[Y_{2}]=[U][\Sigma '][V_{2}']^{H}$

Предварительную фильтрацию можно использовать для борьбы с шумом и улучшения отношения сигнал/шум (SNR). Метод полосового матричного карандаша (BPMP) представляет собой модификацию метода GPOF с использованием FIR или IIR полосовых фильтров .

GPOF может обрабатывать сигнал/шум до 25 дБ. Для GPOF, как и для BPMP, дисперсия оценок примерно достигает границы Крамера–Рао .

Расчет остатков

Остатки комплексных полюсов получаются с помощью задачи наименьших квадратов :

${\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\\vdots \\y(N-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_{2}^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\R_{M}\end{bmatrix}}$

Приложения

Этот метод обычно используется для вычисления интегралов Зоммерфельда в замкнутой форме в методе дискретных комплексных изображений для приложений метода моментов , где спектральная функция Грина аппроксимируется как сумма комплексных экспонент. Кроме того, метод используется при анализе антенн , оценке S-параметров в интегральных схемах СВЧ , анализе распространения волн, индикации движущихся целей , обработке радиолокационных сигналов , и последовательное ускорение в задачах электромагнетизма.

См. также

• Оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности
• Обобщенная проблема собственных значений
• Матричный карандаш
• МУЗЫКА (алгоритм)
• Метод Прони