Метод Прони

Анализ Прони сигнала во временной области

Анализ Прони ( метод Прони ) был разработан Гаспаром Ришем де Прони в 1795 году. Однако практическое применение метода ждало появление цифрового компьютера. Подобно преобразованию Фурье , метод Прони извлекает ценную информацию из равномерно дискретизированного сигнала и строит серию затухающих комплексных экспонент или затухающих синусоидов . Это позволяет оценить частоту, амплитуду, фазу и компоненты затухания сигнала.

Метод

Позволять $f(t)$ быть сигналом, состоящим из $N$ равномерно расположенные образцы. Метод Прони соответствует функции

${\hat {f}}(t)=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})$

наблюдаемому $f(t)$. После некоторых манипуляций с использованием формулы Эйлера получается следующий результат, который позволяет более прямо вычислить члены:

${\begin{aligned}{\hat {f}}(t)&=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\tfrac {1}{2}}A_{i}\left(e^{j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{+}t}+e^{-j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{-}t}\right),\end{aligned}}$

где

$\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ являются собственными значениями системы,

$\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ являются демпфирующими компонентами,

$\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ – компоненты угловой частоты,

$\phi _{i}$ – фазовые компоненты,

$A_{i}$ – амплитудные компоненты ряда,

$j$ – мнимая единица ( $j^{2}=-1$).

Представительства

Метод Прони по сути представляет собой разложение сигнала на $M$ комплексные экспоненты с помощью следующего процесса:

Регулярно пробуйте ${\hat {f}}(t)$ так что $n$-th из $N$ образцы могут быть записаны как

$F_{n}={\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}\mathrm {B} _{m}e^{\lambda _{m}\Delta _{t}n},\quad n=0,\dots ,N-1.$

Если ${\hat {f}}(t)$ состоит из затухающих синусоид, то найдутся пары комплексных экспонент таких, что

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j},\\\mathrm {B} _{b}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j},\\\lambda _{a}&=\sigma _{i}+j\omega _{i},\\\lambda _{b}&=\sigma _{i}-j\omega _{i},\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}e^{\lambda _{a}t}+\mathrm {B} _{b}e^{\lambda _{b}t}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}+j\omega _{i})t}+{\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}-j\omega _{i})t}\\&=A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i}).\end{aligned}}$

Поскольку суммирование комплексных экспонент является однородным решением линейного разностного уравнения , будет существовать следующее разностное уравнение:

${\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}{\hat {f}}[\Delta _{t}(n-m)]P_{m},\quad n=M,\dots ,N-1.$

Ключом к методу Прони является то, что коэффициенты в разностном уравнении связаны со следующим полиномом:

$z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}=\prod _{m=1}^{M}\left(z-e^{\lambda _{m}}\right).$

Эти факты приводят к следующим трем шагам метода Прони:

1) Построить и решить матричное уравнение для $P_{m}$ ценности:

${\begin{bmatrix}F_{M}\\\vdots \\F_{N-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{M-1}&\dots &F_{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\F_{N-2}&\dots &F_{N-M-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\\vdots \\P_{M}\end{bmatrix}}.$

Обратите внимание, что если $N\neq 2M$, обобщенная обратная матрица для нахождения значений может потребоваться $P_{m}$.

2) После нахождения $P_{m}$ значений, найдите корни (при необходимости численно) многочлена

$z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}.$

The $m$-й корень этого многочлена будет равен $e^{\lambda _{m}}$.

3) С $e^{\lambda _{m}}$ ценности, $F_{n}$ значения являются частью системы линейных уравнений, которые можно использовать для решения $\mathrm {B} _{m}$ ценности:

${\begin{bmatrix}F_{k_{1}}\\\vdots \\F_{k_{M}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(e^{\lambda _{1}})^{k_{1}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\(e^{\lambda _{1}})^{k_{M}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{M}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathrm {B} _{1}\\\vdots \\\mathrm {B} _{M}\end{bmatrix}},$

где $M$ уникальные ценности $k_{i}$ используются. Можно использовать обобщенную обратную матрицу, если более $M$ используются образцы.

Обратите внимание, что решение для $\lambda _{m}$ приведет к двусмысленности, поскольку только $e^{\lambda _{m}}$ было решено для и $e^{\lambda _{m}}=e^{\lambda _{m}\,+\,q2\pi j}$ для целого числа $q$. Это приводит к тем же критериям выборки Найквиста, которым подчиняются дискретные преобразования Фурье.

$\left|\operatorname {Im} (\lambda _{m})\right|=\left|\omega _{m}\right|<{\frac {\pi }{\Delta _{t}}}.$

См. также

• Обобщенный метод карандаша функций
• Вычисление разложения Прони с использованием авторегрессионного анализа
• Применение разложения Прони в частотно-временном анализе

Ссылки

• Карьер, Р.; Моисей, Р.Л. (1992). «Моделирование радиолокационной цели высокого разрешения с использованием модифицированного оценщика Прони». Транзакции IEEE по антеннам и распространению . 40 : 13–18. дои : 10.1109/8.123348 .
• Слюсарь, В.И. (1998). «Интерпретация метода Прони для решения дальнодействующих задач» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 41 (1): 35–39.