Матричный карандаш

В линейной алгебре , если $A_{0},A_{1},\dots ,A_{\ell }$ являются $n\times n$ комплексные матрицы для некоторого неотрицательного целого числа $\ell$, и $A_{\ell }\neq 0$ ( нулевая матрица ), то матричный пучок степени $\ell$ - матрица-функция, определенная для комплексных чисел $L(\lambda )=\sum _{i=0}^{\ell }\lambda ^{i}A_{i}.$

Частный случай — линейный матричный пучок $A-\lambda B$ с $\lambda \in \mathbb {C}$ (или $\mathbb {R}$) где $A$ и $B$ сложные (или реальные ) $n\times n$ матрицы. Кратко обозначим его обозначением $(A,B)$.

Карандаш называется правильным, если существует хотя бы одно значение $\lambda$ такой, что $\det(A-\lambda B)\neq 0$. мы называем Собственными значениями матричного пучка $(A,B)$ все комплексные числа $\lambda$ для чего $\det(A-\lambda B)=0$; в частности, собственные значения матричного пучка $(A,I)$ матрицы являются собственными значениями $A$. Набор собственных значений называется спектром пучка и записывается $\sigma (A,B)$.Более того, говорят, что карандаш имеет одно или несколько собственных значений на бесконечности, если $B$ имеет одно или несколько собственных значений 0.

Приложения

Матричные карандаши играют важную роль в числовой линейной алгебре . Задача нахождения собственных значений карандаша называется обобщенной проблемой собственных значений . Самым популярным алгоритмом для этой задачи является алгоритм QZ , который представляет собой неявную версию алгоритма QR для решения связанной с ним проблемы собственных значений. $B^{-1}Ax=\lambda x$ без явного формирования матрицы $B^{-1}A$ (что могло быть невозможным или плохо обусловленным, если $B$ является сингулярным или почти сингулярным)

Карандаш, созданный коммутирующими матрицами

Если $AB=BA$, то карандаш, порожденный $A$ и $B$:

1. состоит только из матриц, подобных , диагональной матрице или
2. не имеет в себе матриц, подобных диагональной матрице, или
3. содержит ровно одну матрицу, подобную диагональной матрице.

См. также

• Обобщенная проблема собственных значений
• Обобщенный метод карандаша функций
• Нелинейная внутренняя проблема
• Квадратичная проблема собственных значений
• Обобщенный коэффициент Рэлея

Ссылки

• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса , ISBN  0-8018-5414-8
• Маркус и Минк (1969), Обзор теории матриц и матричных неравенств , Courier Dover Publications
• Питер Ланкастер и Цянь Е (1991) «Вариационные и численные методы для симметричных матричных карандашей», Бюллетень Австралийского математического общества 43: от 1 до 17.