Квадратичная проблема собственных значений

В математике квадратичная проблема собственных значений (QEP) — ​​найти скалярные собственные значения $\lambda$, левые собственные векторы $y$ и правые собственные векторы $x$ такой, что

$Q(\lambda )x=0~{\text{ and }}~y^{\ast }Q(\lambda )=0,$

где $Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K$, с матричными коэффициентами $M,\,C,K\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ и мы требуем этого $M\,\neq 0$, (так что у нас есть ненулевой старший коэффициент). Есть $2n$ собственные значения, которые могут быть бесконечными или конечными и, возможно, нулевыми. Это частный случай нелинейной задачи о собственных силах . $Q(\lambda )$ также известна как квадратичная полиномиальная матрица .

Спектральная теория

QEP называется регулярным, если ${\text{det}}(Q(\lambda ))\not \equiv 0$ одинаково. Коэффициент $\lambda ^{2n}$ срок в ${\text{det}}(Q(\lambda ))$ является ${\text{det}}(M)$, подразумевая, что QEP является регулярным, если $M$ является неособым.

Собственные значения на бесконечности и собственные значения на нуле можно поменять местами, рассмотрев обратный полином: $\lambda ^{2}Q(\lambda ^{-1})=\lambda ^{2}K+\lambda C+M$. Как есть $2n$ собственные векторы в $n$ В многомерном пространстве собственные векторы не могут быть ортогональными. Можно присвоить один и тот же собственный вектор разным собственным значениям.

Приложения

Системы дифференциальных уравнений

Квадратичные задачи на собственные значения естественным образом возникают при решении систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка без принуждения:

$Mq''(t)+Cq'(t)+Kq(t)=0$

Где $q(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, и $M,C,K\in \mathbb {R} ^{n\times n}$. Если все квадратичные собственные значения $Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K$ различны, то решение можно записать через квадратичные собственные значения и правоквадратичные собственные векторы как

$q(t)=\sum _{j=1}^{2n}\alpha _{j}x_{j}e^{\lambda _{j}t}=Xe^{\Lambda t}\alpha$

Где $\Lambda ={\text{Diag}}([\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2n}])\in \mathbb {R} ^{2n\times 2n}$ являются квадратичными собственными значениями, $X=[x_{1},\ldots ,x_{2n}]\in \mathbb {R} ^{n\times 2n}$ являются $2n$ правые квадратичные собственные векторы и $\alpha =[\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{2n}]^{\top }\in \mathbb {R} ^{2n}$ – вектор параметров, определяемый из начальных условий на $q$ и $q'$. Теперь можно применять теорию устойчивости для линейных систем, поскольку поведение решения явно зависит от (квадратичных) собственных значений.

Методы конечных элементов

QEP может привести к части динамического анализа структур, дискретизированных методом конечных элементов . В этом случае квадратичное $Q(\lambda )$ имеет форму $Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K$, где $M$ это массовая матрица , $C$ – матрица демпфирования и $K$ – матрица жесткости .Другие приложения включают виброакустику и гидродинамику.

Методы решения

Прямые методы решения стандартных или обобщенных задач на собственные значения. $Ax=\lambda x$ и $Ax=\lambda Bx$основаны на преобразовании задачи к форме Шура или обобщенной форме Шура . Однако для квадратичных матричных многочленов аналогичной формы не существует.Один из подходов состоит в преобразовании квадратичного матричного многочлена в линейный матричный пучок ( $A-\lambda B$) и решить обобщенную задачу проблема собственных значений. После определения собственных значений и собственных векторов линейной задачи можно определить собственные векторы и собственные значения квадратичной задачи.

Наиболее распространенной линеаризацией является первая сопутствующая линеаризация.

$L1(\lambda )={\begin{bmatrix}0&N\\-K&-C\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}},$

с соответствующим собственным вектором

$z={\begin{bmatrix}x\\\lambda x\end{bmatrix}}.$

Для удобства часто берут $N$ быть $n\times n$ идентификационная матрица . Мы решаем $L(\lambda )z=0$ для $\lambda$ и $z$, например, путем вычисления обобщенной формы Шура. Тогда мы сможем возьми первый $n$ компоненты $z$ как собственный вектор $x$ исходного квадратичного $Q(\lambda )$.

Другая распространенная линеаризация дается выражением

$L2(\lambda )={\begin{bmatrix}-K&0\\0&N\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}C&M\\N&0\end{bmatrix}}.$

В случае, когда либо $A$ или $B$ является гамильтоновой матрицей , а другая является косо-гамильтоновой матрицей , можно использовать следующие линеаризации.

$L3(\lambda )={\begin{bmatrix}K&0\\C&K\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}0&K\\-M&0\end{bmatrix}}.$

$L4(\lambda )={\begin{bmatrix}0&-K\\M&0\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}M&C\\0&M\end{bmatrix}}.$