Нелинейная внутренняя проблема

В математике , нелинейная проблема собственных значений иногда нелинейная проблема собственных значений , является обобщением (обычной) проблемы собственных значений зависят на уравнения, которые нелинейно от собственного значения. В частности, это относится к уравнениям вида

M(\lambda )x=0,

где $x\neq 0$ является вектором , и $M$ является матричной функцией числа $\lambda$ . Число $\lambda$ известно как (нелинейное) собственное значение , вектор $x$ как (нелинейный) собственный вектор и $(\lambda ,x)$ как собственная пара . Матрица $M(\lambda )$ сингулярно по собственному значению $\lambda$ .

Определение

В дисциплине числовой линейной алгебры обычно используется следующее определение. ^[1]^[2]^[3]^[4]

Позволять $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ , и пусть $M:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n\times n}$ быть функцией, которая отображает скаляры в матрицы. Скаляр $\lambda \in \mathbb {C}$ называется собственным значением , а ненулевой вектор $x\in \mathbb {C} ^{n}$ называется правым собственным вектором, если $M(\lambda )x=0$ . Более того, ненулевой вектор $y\in \mathbb {C} ^{n}$ называется левым собственным вектором, если $y^{H}M(\lambda )=0^{H}$ , где верхний индекс $^{H}$ обозначает эрмитово транспонирование . Определение собственного значения эквивалентно $\det(M(\lambda ))=0$ , где $\det()$ обозначает определитель . ^[1]

Функция $M$ обычно требуется, чтобы это была голоморфная функция $\lambda$ (в каком-то домене $\Omega$ ).

В общем, $M(\lambda )$ может быть линейной картой , но чаще всего это конечномерная, обычно квадратная, матрица.

Определение: Задача называется регулярной, если существует $z\in \Omega$ такой, что $\det(M(z))\neq 0$ . В противном случае говорят, что оно единично . ^[1]^[4]

Определение: собственное значение. $\lambda$ говорят, что он имеет алгебраическую кратность $k$ если $k$ — наименьшее целое число такое, что $k$ -я производная от $\det(M(z))$ относительно $z$ , в $\lambda$ ненулевое значение. В формулах, которые $\left.{\frac {d^{k}\det(M(z))}{dz^{k}}}\right|_{z=\lambda }\neq 0$ но $\left.{\frac {d^{\ell }\det(M(z))}{dz^{\ell }}}\right|_{z=\lambda }=0$ для $\ell =0,1,2,\dots ,k-1$ . ^[1]^[4]

Определение: геометрическая кратность собственного значения. $\lambda$ - это размерность нулевого пространства $M(\lambda )$ . ^[1]^[4]

Особые случаи

Следующие примеры представляют собой частные случаи нелинейной задачи о собственных силах.

(Обычная) проблема собственных значений : $M(\lambda )=A-\lambda I.$
Обобщенная проблема собственных значений : $M(\lambda )=A-\lambda B.$
Квадратичная проблема собственных значений : $M(\lambda )=A_{0}+\lambda A_{1}+\lambda ^{2}A_{2}.$
Полиномиальная проблема собственных значений: $M(\lambda )=\sum _{i=0}^{m}\lambda ^{i}A_{i}.$
Рациональная проблема собственных значений: $M(\lambda )=\sum _{i=0}^{m_{1}}A_{i}\lambda ^{i}+\sum _{i=1}^{m_{2}}B_{i}r_{i}(\lambda ),$ где $r_{i}(\lambda )$ являются рациональными функциями .
Проблема собственных значений задержки : $M(\lambda )=-I\lambda +A_{0}+\sum _{i=1}^{m}A_{i}e^{-\tau _{i}\lambda },$ где $\tau _{1},\tau _{2},\dots ,\tau _{m}$ даны скаляры, известные как задержки.

Иорданские цепи

Определение: Пусть $(\lambda _{0},x_{0})$ быть собственной парой. Кортеж векторов $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}$ называется жордановой цепью, если $\sum _{k=0}^{\ell }M^{(k)}(\lambda _{0})x_{\ell -k}=0,$ для $\ell =0,1,\dots ,r-1$ , где $M^{(k)}(\lambda _{0})$ обозначает $k$ -я производная от $M$ относительно $\lambda$ и оценивается в $\lambda =\lambda _{0}$ . Векторы $x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1}$ называются обобщенными собственными векторами , $r$ называется длиной жордановой цепочки, а максимальной длиной жордановой цепочки, начинающейся с $x_{0}$ называется рангом $x_{0}$ . ^[1]^[4]

Теорема: ^[1] Кортеж векторов $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}$ является жордановой цепью тогда и только тогда, когда функция $M(\lambda )\chi _{\ell }(\lambda )$ имеет корень в $\lambda =\lambda _{0}$ и корень имеет кратность не менее $\ell$ для $\ell =0,1,\dots ,r-1$ , где векторная функция $\chi _{\ell }(\lambda )$ определяется как $\chi _{\ell }(\lambda )=\sum _{k=0}^{\ell }x_{k}(\lambda -\lambda _{0})^{k}.$

Математическое программное обеспечение

Пакет решателя собственных значений SLEPc содержит C-реализации многих численных методов для решения нелинейных задач на собственные значения. ^[5]
Коллекция NLEVP нелинейных задач на собственные значения представляет собой пакет MATLAB , содержащий множество нелинейных задач на собственные значения с различными свойствами. ^[6]
Решатель собственных значений FEAST — это пакет программного обеспечения для решения стандартных задач на собственные значения, а также нелинейных задач на собственные значения, разработанный на основе представления матрицы плотности в квантовой механике в сочетании с методами контурного интегрирования. ^[7]
Набор MATLAB инструментов NLEIGS содержит реализацию полностью рационального метода Крылова с динамически построенным рациональным интерполянтом. ^[8]
Набор MATLAB инструментов CORK содержит реализацию компактного рационального алгоритма Крылова, который использует структуру Кронекера пучков линеаризации. ^[9]
Набор MATLAB инструментов AAA-EIGS содержит реализацию CORK с рациональной аппроксимацией многозначным AAA. ^[10]
Набор MATLAB инструментов RKToolbox (Rational Krylov Toolbox) содержит реализации рационального метода Крылова для нелинейных задач на собственные значения, а также функции рациональной аппроксимации. ^[11]
Пакет Julia содержит множество реализаций различных численных NEP-PACK методов для решения нелинейных задач на собственные значения, а также множество эталонных задач. ^[12]
Обзорная статья Güttel & Tisseur ^[1] содержит фрагменты кода MATLAB, реализующие основные методы типа Ньютона и методы контурного интегрирования для нелинейных собственных задач.

Нелинейность собственного вектора

Нелинейность собственных векторов — это родственная, но другая форма нелинейности, которую иногда изучают. В этом случае функция $M$ сопоставляет векторы с матрицами или иногда эрмитовыми матрицами с эрмитовыми матрицами. ^[13]^[14]

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Гюттель, Стефан; Тиссёр, Франсуаза (2017). «Нелинейная проблема собственных значений» (PDF) . Акта Нумерика . 26 : 1–94. дои : 10.1017/S0962492917000034 . ISSN 0962-4929 . S2CID 46749298 .
^ Руэ, Аксель (1973). «Алгоритмы решения нелинейной задачи собственных значений» . SIAM Journal по численному анализу . 10 (4): 674–689. Бибкод : 1973SJNA...10..674R . дои : 10.1137/0710059 . ISSN 0036-1429 . JSTOR 2156278 .
^ Мерманн, Фолькер ; Восс, Генрих (2004). «Нелинейные проблемы собственных значений: проблема для современных методов собственных значений» . Объявления ГАММ . 27 (2): 121–152. дои : 10.1002/гамм.201490007 . ISSN 1522-2608 . S2CID 14493456 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Восс, Генрих (2014). «Нелинейные задачи собственных значений» (PDF) . В Хогбене, Лесли (ред.). Справочник по линейной алгебре (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл/CRC. ISBN 9781466507289 .
^ Эрнандес, Висенте; Роман, Хосе Э.; Видаль, Висенте (сентябрь 2005 г.). «SLEPc: масштабируемый и гибкий набор инструментов для решения проблем собственных значений». Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 31 (3): 351–362. дои : 10.1145/1089014.1089019 . S2CID 14305707 .
^ Бетке, Тимо; Хайэм, Николас Дж.; Мерманн, Волкер; Шредер, Кристиан; Тиссёр, Франсуаза (февраль 2013 г.). «NLEVP: сборник нелинейных задач на собственные значения». Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 39 (2): 1–28. дои : 10.1145/2427023.2427024 . S2CID 4271705 .
^ Полицци, Эрик (2020). «Руководство пользователя FEAST Eigenvalue Solver v4.0». arXiv : 2002.04807 [ cs.MS ].
^ Гюттель, Стефан; Ван Беумен, Роэл; Меерберген, Карл; Михилс, Вим (1 января 2014 г.). «NLEIGS: класс полностью рациональных методов Крылова для решения нелинейных задач собственных значений». SIAM Журнал по научным вычислениям . 36 (6): А2842–А2864. Бибкод : 2014ГАК...36А2842Г . дои : 10.1137/130935045 .
^ Ван Беумен, Роэл; Меерберген, Карл; Михилс, Вим (2015). «Компактные рациональные методы Крылова для нелинейных задач на собственные значения» . Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 36 (2): 820–838. дои : 10.1137/140976698 . S2CID 18893623 .
^ Литарт, Питер; Меерберген, Карл; Перес, Хавьер; Вандерейкен, Барт (13 апреля 2022 г.). «Автоматическая рациональная аппроксимация и линеаризация нелинейных задач на собственные значения». Журнал IMA численного анализа . 42 (2): 1087–1115. arXiv : 1801.08622 . дои : 10.1093/imanum/draa098 .
^ Берляфа, Марио; Стивен, Элсворт; Гюттель, Стефан (15 июля 2020 г.). «Обзор коллекции примеров» . индекс.м . Проверено 31 мая 2022 г.
^ Ярлебринг, Элиас; Беннедич, Макс; Меле, Джампаоло; Ринг, Эмиль; Упадхьяя, Парикшит (23 ноября 2018 г.). «NEP-PACK: пакет Джулии для нелинейных собственных задач». arXiv : 1811.09592 [ мат.NA ].
^ Ярлебринг, Элиас; Квааль, Симен; Михилс, Вим (1 января 2014 г.). «Метод обратной итерации для решения задач на собственные значения с нелинейностями собственных векторов» . SIAM Журнал по научным вычислениям . 36 (4): А1978–А2001. arXiv : 1212.0417 . Бибкод : 2014SJSC...36A1978J . дои : 10.1137/130910014 . ISSN 1064-8275 . S2CID 16959079 .
^ Упадхьяя, Парикшит; Ярлебринг, Элиас; Рубенссон, Эмануэль Х. (2021). «Подход матрицы плотности к сходимости итерации самосогласованного поля» . Численная алгебра, управление и оптимизация . 11 (1): 99. arXiv : 1809.02183 . дои : 10.3934/naco.2020018 . ISSN 2155-3297 .

Дальнейшее чтение

Франсуаза Тиссёр и Карл Меерберген, «Квадратичная проблема собственных значений», SIAM Review 43 (2), 235–286 (2001) ( ссылка ).
Джин Х. Голуб и Хенк А. ван дер Ворст, «Вычисление собственных значений в 20 веке», Журнал вычислительной и прикладной математики 123 , 35–65 (2000).
Филипп Гийом, «Нелинейные собственные проблемы», SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) ( ссылка ).
Седрик Эффенбергер, « Надежные методы решения нелинейных задач на собственные значения », докторская диссертация EPFL (2013) ( ссылка )
Роэл Ван Беумен, « Рациональные методы Крылова для нелинейных задач собственных значений », кандидатская диссертация К. У. Левена (2015) ( ссылка )

[:0-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Гюттель, Стефан; Тиссёр, Франсуаза (2017). «Нелинейная проблема собственных значений» (PDF) . Акта Нумерика . 26 : 1–94. дои : 10.1017/S0962492917000034 . ISSN 0962-4929 . S2CID 46749298 .

[2] Руэ, Аксель (1973). «Алгоритмы решения нелинейной задачи собственных значений» . SIAM Journal по численному анализу . 10 (4): 674–689. Бибкод : 1973SJNA...10..674R . дои : 10.1137/0710059 . ISSN 0036-1429 . JSTOR 2156278 .

[3] Мерманн, Фолькер ; Восс, Генрих (2004). «Нелинейные проблемы собственных значений: проблема для современных методов собственных значений» . Объявления ГАММ . 27 (2): 121–152. дои : 10.1002/гамм.201490007 . ISSN 1522-2608 . S2CID 14493456 .

[:1-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Восс, Генрих (2014). «Нелинейные задачи собственных значений» (PDF) . В Хогбене, Лесли (ред.). Справочник по линейной алгебре (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл/CRC. ISBN 9781466507289 .

[5] Эрнандес, Висенте; Роман, Хосе Э.; Видаль, Висенте (сентябрь 2005 г.). «SLEPc: масштабируемый и гибкий набор инструментов для решения проблем собственных значений». Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 31 (3): 351–362. дои : 10.1145/1089014.1089019 . S2CID 14305707 .

[6] Бетке, Тимо; Хайэм, Николас Дж.; Мерманн, Волкер; Шредер, Кристиан; Тиссёр, Франсуаза (февраль 2013 г.). «NLEVP: сборник нелинейных задач на собственные значения». Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 39 (2): 1–28. дои : 10.1145/2427023.2427024 . S2CID 4271705 .

[7] Полицци, Эрик (2020). «Руководство пользователя FEAST Eigenvalue Solver v4.0». arXiv : 2002.04807 [ cs.MS ].

[8] Гюттель, Стефан; Ван Беумен, Роэл; Меерберген, Карл; Михилс, Вим (1 января 2014 г.). «NLEIGS: класс полностью рациональных методов Крылова для решения нелинейных задач собственных значений». SIAM Журнал по научным вычислениям . 36 (6): А2842–А2864. Бибкод : 2014ГАК...36А2842Г . дои : 10.1137/130935045 .

[9] Ван Беумен, Роэл; Меерберген, Карл; Михилс, Вим (2015). «Компактные рациональные методы Крылова для нелинейных задач на собственные значения» . Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 36 (2): 820–838. дои : 10.1137/140976698 . S2CID 18893623 .

[10] Литарт, Питер; Меерберген, Карл; Перес, Хавьер; Вандерейкен, Барт (13 апреля 2022 г.). «Автоматическая рациональная аппроксимация и линеаризация нелинейных задач на собственные значения». Журнал IMA численного анализа . 42 (2): 1087–1115. arXiv : 1801.08622 . дои : 10.1093/imanum/draa098 .

[11] Берляфа, Марио; Стивен, Элсворт; Гюттель, Стефан (15 июля 2020 г.). «Обзор коллекции примеров» . индекс.м . Проверено 31 мая 2022 г.

[12] Ярлебринг, Элиас; Беннедич, Макс; Меле, Джампаоло; Ринг, Эмиль; Упадхьяя, Парикшит (23 ноября 2018 г.). «NEP-PACK: пакет Джулии для нелинейных собственных задач». arXiv : 1811.09592 [ мат.NA ].

[13] Ярлебринг, Элиас; Квааль, Симен; Михилс, Вим (1 января 2014 г.). «Метод обратной итерации для решения задач на собственные значения с нелинейностями собственных векторов» . SIAM Журнал по научным вычислениям . 36 (4): А1978–А2001. arXiv : 1212.0417 . Бибкод : 2014SJSC...36A1978J . дои : 10.1137/130910014 . ISSN 1064-8275 . S2CID 16959079 .

[14] Упадхьяя, Парикшит; Ярлебринг, Элиас; Рубенссон, Эмануэль Х. (2021). «Подход матрицы плотности к сходимости итерации самосогласованного поля» . Численная алгебра, управление и оптимизация . 11 (1): 99. arXiv : 1809.02183 . дои : 10.3934/naco.2020018 . ISSN 2155-3297 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]