Разложение Шура

В математической дисциплине линейной алгебры или разложение Шура триангуляция Шура , названная в честь Иссая Шура , является матричным разложением . Это позволяет записать произвольную комплексную квадратную матрицу как унитарно эквивалентную верхней треугольной матрице , диагональные элементы которой являются собственными значениями исходной матрицы.

Заявление

Разложение Шура выглядит следующим образом: если A представляет собой размера n × n квадратную матрицу с комплексными элементами, то A можно выразить как $$A=QUQ^{-1}$$для некоторой унитарной матрицы Q (так что обратная Q ⁻¹ также является сопряженной транспонированной Q * матрицы Q ) и некоторой верхней треугольной U. матрицей называется формой Шура A Это . Поскольку U подобен , и A собственные , он имеет тот же спектр поскольку он треугольный, его значения являются диагональными U. элементами

Из разложения Шура следует, что существует вложенная последовательность A -инвариантных подпространств {0} = V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ⋯ ⊂ V _n = C ^н и что существует упорядоченный ортонормированный базис (для стандартной эрмитовой формы C ^н ) такие, что первые i базисных векторов охватывают Vi _{встречающегося} для каждого i, во вложенной последовательности. Несколько иначе говоря, первая часть говорит, что линейный оператор J в комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует полный флаг ( V ₁ , ..., V _n ) .

Доказательство

Конструктивное доказательство разложения Шура состоит в следующем: каждый оператор A в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение λ , соответствующее некоторому собственному пространству V _λ . Пусть V _λ ^⊥ быть его ортогональным дополнением. Ясно, что относительно этого ортогонального разложения A имеет матричное представление (здесь можно выбрать любые ортонормированные базисы Z ₁ и Z _2, охватывающие V _λ и V _λ ^⊥ соответственно) $${\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}$$где I _λ — тождественный оператор на V _λ . Вышеупомянутая матрица будет верхнетреугольной, за исключением блока А ₂₂ . Но точно такую ​​же процедуру можно применить и к подматрице A ₂₂ , рассматриваемой как оператор на V _λ ^⊥ , и его подматрицы. Продолжайте таким же образом, пока результирующая матрица не станет верхней треугольной. Поскольку каждое сопряжение увеличивает размерность верхнетреугольного блока как минимум на единицу, этот процесс занимает не более n шагов. Таким образом, пространство C ^н будет исчерпана и процедура дала желаемый результат.

Приведенный выше аргумент можно немного переформулировать следующим образом: пусть λ — собственное значение A , соответствующее некоторому собственному пространству V _λ . A индуцирует оператор T в фактор-пространстве C ^н / V _λ . Этот оператор представляет собой в точности подматрицу A22 _, указанную выше. Как и раньше, T будет иметь собственное пространство, скажем, W _µ ⊂ C ^н по модулю V _λ . Обратите внимание, что прообраз W _µ под фактор-отображением является инвариантным подпространством A , содержащим V _λ . Продолжайте таким образом до тех пор, пока полученное фактор-пространство не станет иметь размерность 0. Тогда последовательные прообразы собственных пространств, найденные на каждом шаге, образуют флаг, который A стабилизирует.

Примечания

Хотя каждая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае это разложение не уникально. Например, собственное пространство V _λ может иметь размерность > 1, и в этом случае любой ортонормированный базис для V _λ приведет к желаемому результату.

Запишите треугольную матрицу U как U = D + N , где D — диагональ, а N — строго верхняя треугольная матрица (и, следовательно, нильпотентная матрица ). Диагональная матрица D содержит собственные значения матрицы A в произвольном порядке (следовательно, ее норма Фробениуса в квадрате представляет собой сумму квадратов модулей собственных значений матрицы A , а норма Фробениуса A в квадрате есть сумма квадратов сингулярных значений A ) . Нильпотентная часть N , вообще говоря, также не единственна, но ее норма Фробениуса однозначно определяется A (просто потому, что норма Фробениуса A равна норме Фробениуса U = D + N ).

Ясно, что если A — нормальная матрица , то U из ее разложения Шура должна быть матрицей а векторы-столбцы Q — собственными векторами A. диагональной , Следовательно, разложение Шура расширяет спектральное разложение . В частности, если A , положительно определена разложение Шура A , его спектральное разложение и его сингулярное разложение совпадают.

семейство Коммутирующее матриц { A _i } может быть одновременно треугольным, т. е. существует унитарная матрица Q такая, что для каждого A _i в данном семействе QA _i Q* является верхнетреугольной. Это легко вывести из приведенного выше доказательства. Возьмите элемент A из { Ai _} и снова рассмотрим собственное V _A. пространство Тогда V _A инвариантен относительно всех матриц из { A _i }. Следовательно, все матрицы в { A _i } должны иметь один общий собственный вектор VA _в . Тогда индукция доказывает утверждение. Как следствие, мы получаем, что каждое коммутирующее семейство нормальных матриц можно одновременно диагонализовать .

В бесконечномерной ситуации не каждый ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако верхняя триангуляризация произвольной квадратной матрицы обобщается на компактные операторы . Каждый компактный оператор в комплексном банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

Вычисление

Разложение Шура данной матрицы численно вычисляется с помощью алгоритма QR или его вариантов. Другими словами, корни характеристического полинома, соответствующего матрице, не обязательно вычисляются заранее, чтобы получить ее разложение Шура. И наоборот, алгоритм QR можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического полинома путем нахождения разложения Шура сопутствующей матрицы . Аналогичным образом алгоритм QR используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Хотя алгоритм QR формально представляет собой бесконечную последовательность операций, сходимость к машинной точности практически достигается за ${\mathcal {O}}(n^{3})$ операции. См. раздел «Несимметричные собственные задачи» в LAPACK . Руководстве пользователя

Приложения

Приложения теории лжи включают:

• Каждый обратимый оператор содержится в борелевской группе .
• Каждый оператор фиксирует точку многообразия флагов .

Обобщенное разложение Шура

Учитывая квадратные матрицы A и B , обобщенное разложение Шура факторизует обе матрицы как $A=QSZ^{*}$ и $B=QTZ^{*}$ где Q и Z унитарные и , S , T верхнетреугольные . а Обобщенное разложение Шура также иногда называют QZ-разложением .

Обобщенные собственные значения $\lambda$ которые решают обобщенную проблему собственных значений $A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x}$ (где x — неизвестный ненулевой вектор) можно рассчитать как отношение диагональных элементов S к диагональным элементам T . То есть, используя индексы для обозначения элементов матрицы, i- е обобщенное собственное значение $\lambda _{i}$ удовлетворяет $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$.