Подгруппа Бореля

В теории алгебраических групп борелевская подгруппа алгебраической группы G — это максимальная замкнутая по Зарискому связная разрешимая алгебраическая подгруппа . Например, в общей линейной группе GL _n ( nxn обратимые матрицы) подгруппа обратимых верхнетреугольных матриц является борелевской подгруппой.

Для групп, реализованных над алгебраически замкнутыми полями , существует единственный класс сопряженности борелевских подгрупп.

Подгруппы Бореля являются одним из двух ключевых ингредиентов в понимании структуры простых (в более общем смысле, редуктивных ) алгебраических групп в Жака Титса теории групп с парой ( B , N ) . Здесь группа B — борелевская подгруппа, а N — нормализатор максимального тора, содержащегося в B .

Понятие было введено Арманом Борелем , сыгравшим ведущую роль в развитии теории алгебраических групп.

Параболические подгруппы

Подгруппы между борелевской подгруппой B и объемлющей группой G называются параболическими подгруппами . Параболические подгруппы P среди алгебраических подгрупп характеризуются также тем, что G / P — полное многообразие . Работая над алгебраически замкнутыми полями, борелевские подгруппы оказываются минимальными параболическими подгруппами в этом смысле . Таким образом, B является борелевской подгруппой, когда однородное пространство G/B является полным многообразием, «настолько большим, насколько это возможно».

Для простой алгебраической группы G множество классов сопряженности параболических подгрупп находится в биекции с множеством всех подмножеств узлов соответствующей диаграммы Дынкина ; подгруппа Бореля соответствует пустому множеству, а сама G соответствует множеству всех узлов. (В общем, каждый узел диаграммы Дынкина определяет простой отрицательный корень и, следовательно, одномерную «корневую группу» G . Таким образом, подмножество узлов дает параболическую подгруппу, порожденную B и соответствующими группами отрицательных корней. Более того, , любая параболическая подгруппа сопряжена с такой параболической подгруппой.) Соответствующие подгруппы группы Вейля группы G также называются параболическими подгруппами, см. Параболическая подгруппа группы отражений .

Пример

Позволять $G=GL_{4}(\mathbb {C} )$ . Подгруппа Бореля $B$ из $G$ – набор верхних треугольных матриц

$\left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}$

и максимальные собственные параболические подгруппы группы $G$ содержащий $B$ являются

$\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}$

Кроме того, максимальный тор в $B$ является

$\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}$

Это изоморфно алгебраическому тору $(\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])$ . ^[1]

Алгебра Ли

Для частного случая алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ с подалгеброй Картана ${\mathfrak {h}}$ , порядок учитывая ${\mathfrak {h}}$ , борелевская подалгебра является прямой суммой ${\mathfrak {h}}$ и пространства весовые ${\mathfrak {g}}$ с положительным весом. Подалгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ содержащая борелевскую подалгебру, называется параболической алгеброй Ли .

См. также

Ссылки

А. Борель (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп . Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN 0-8218-0288-7 .
Дж. Хамфрис (1972). Линейные алгебраические группы . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90108-6 .
Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483 , МР 3729270
Гэри Зейтц (1991). «Алгебраические группы». В Б. Хартли; и др. (ред.). Конечные и локально конечные группы . стр. 45–70.

Специфический

^ Брайон, Мишель. «Лекции по геометрии разновидностей флагов» (PDF) .

Внешние ссылки

Попов, В.Л. (2001) [1994], «Параболическая подгруппа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Платонов, В.П. (2001) [1994], «Подгруппа Бореля» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1] Брайон, Мишель. «Лекции по геометрии разновидностей флагов» (PDF) .

[1]