Алгебраическая группа

В математике алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие, наделенное групповой структурой, совместимой с ее структурой как алгебраического многообразия. Таким образом, изучение алгебраических групп относится как к алгебраической геометрии , так и к теории групп .

Многие группы геометрических преобразований являются алгебраическими группами; например, ортогональные группы , общие линейные группы , проективные группы , евклидовы группы и т. д. Многие матричные группы также являются алгебраическими. Другие алгебраические группы естественным образом встречаются в алгебраической геометрии, например эллиптические кривые и многообразия Якобиана .

Важный класс алгебраических групп составляют аффинные алгебраические группы , те, основное алгебраическое многообразие которых является аффинным многообразием ; они в точности являются алгебраическими подгруппами общей линейной группы и поэтому также называются линейными алгебраическими группами . ^[1] Другой класс образуют абелевы многообразия — алгебраические группы, базовым многообразием которых является проективное многообразие . Структурная теорема Шевалле утверждает, что каждая алгебраическая группа может быть составлена из групп этих двух семейств.

Определения

Формально алгебраическая группа над полем $k$ является алгебраическим многообразием $\mathrm {G}$ над $k$ , вместе с выделенным элементом $e\in \mathrm {G} (k)$ ( нейтральный элемент ) и обычные карты $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G}$ (операция умножения) и $\mathrm {G} \to \mathrm {G}$ (операция инверсии), удовлетворяющие аксиомам группы. ^[2]

Примеры

Аддитивная группа : аффинная линия $\mathbb {A} ^{1}$ наделенная сложением и противоположностью групповых операций, является алгебраической группой. Она называется аддитивной группой (поскольку ее $k$ -точки как группа изоморфны аддитивной группе $k$ ), и обычно обозначается $\mathrm {G} _{a}$ .
Мультипликативная группа : Пусть $\mathrm {G} _{m}$ — аффинное многообразие, определяемое уравнением $xy=1$ в аффинной плоскости $\mathbb {A} ^{2}$ . Функции $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ и $(x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})$ регулярно включаются $\mathrm {G} _{m}$ , и они удовлетворяют аксиомам группы (с нейтральным элементом $(1,1)$ ). Алгебраическая группа $\mathrm {G} _{m}$ называется мультипликативной группой, поскольку ее $k$ -точки изоморфны мультипликативной группе поля $k$ (изоморфизм задается формулой $x\mapsto (x,x^{-1})$ ; отметим, что подмножество обратимых элементов не определяет алгебраическое подмногообразие в $\mathbb {A} ^{1}$ ).
Специальная линейная группа $\mathrm {SL} _{n}$ является алгебраической группой: она задается алгебраическим уравнением $\det(g)=1$ в аффинном пространстве $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ (отождествляется с пространством $n$ -к- $n$ матриц) умножение матриц регулярно, а формула обратного преобразования через сопряженную матрицу показывает, что инверсия регулярна и на матрицах с определителем 1.
Общая линейная группа $\mathrm {GL} _{n}$ обратимых матриц над полем $k$ является алгебраической группой. Его можно реализовать как подмногообразие в $\mathbb {A} ^{n^{2}+1}$ почти так же, как и мультипликативная группа в предыдущем примере. ^[3]
Неособая кубическая кривая на проективной плоскости $\mathbb {P} ^{2}$ может быть наделен геометрически определенным групповым законом, превращающим его в алгебраическую группу (см. эллиптическую кривую ).

Связанные определения

Алгебраическая подгруппа алгебраической группы $\mathrm {G}$ это подразновидность $\mathrm {H}$ из $\mathrm {G}$ это тоже подгруппа $\mathrm {G}$ (то есть карты $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G}$ и $\mathrm {G} \to \mathrm {G}$ определение карты структуры группы $\mathrm {H} \times \mathrm {H}$ и $\mathrm {H}$ соответственно в $\mathrm {H}$ ).

Морфизм группами между двумя алгебраическими $\mathrm {G} ,\mathrm {G} '$ это обычная карта $\mathrm {G} \to \mathrm {G} '$ это также групповой гомоморфизм. Его ядро является алгебраической подгруппой группы $\mathrm {G}$ , ее образ является алгебраической подгруппой группы $\mathrm {G} '$ . ^[4]

С факторами в категории алгебраических групп иметь дело более деликатно. Алгебраическая подгруппа называется нормальной, если она устойчива относительно любого внутреннего автоморфизма (который является регулярным отображением). Если $\mathrm {H}$ является нормальной алгебраической подгруппой группы $\mathrm {G}$ тогда существует алгебраическая группа $\mathrm {G} /\mathrm {H}$ и сюръективный морфизм $\pi :\mathrm {G} \to \mathrm {G} /\mathrm {H}$ такой, что $\mathrm {H}$ является ядром $\pi$ . ^[5] Обратите внимание: если поле $k$ не является алгебраически замкнутым, морфизм групп $\mathrm {G} (k)\to \mathrm {G} (k)/\mathrm {H} (k)$ не может быть сюръективным (по умолчанию сюръективность измеряется когомологиями Галуа ).

Алгебра Ли алгебраической группы

Аналогично соответствию группа Ли–алгебра Ли , алгебраической группе над полем $k$ является ассоциированной алгеброй Ли над $k$ . Как векторное пространство алгебра Ли изоморфна касательному пространству в единичном элементе. Скобка Ли может быть построена на основе ее интерпретации как пространства дифференцирований. ^[6]

Альтернативные определения

Более сложное определение алгебраической группы над полем. $k$ заключается в том, что это групповая схема над $k$ (групповые схемы в более общем смысле можно определить над коммутативными кольцами ).

Еще одно определение этой концепции состоит в том, чтобы сказать, что алгебраическая группа над $k$ является групповым объектом в категории алгебраических многообразий над $k$ .

Аффинные алгебраические группы

Алгебраическая группа называется аффинной, если ее основное алгебраическое многообразие является аффинным многообразием. Среди приведенных выше примеров аффинными являются аддитивные, мультипликативные группы, а также общие и специальные линейные группы. Используя действие аффинной алгебраической группы на ее координатное кольцо, можно показать, что каждая аффинная алгебраическая группа является линейной (или матричной группой), то есть она изоморфна алгебраической подгруппе общей линейной группы.

Например, аддитивную группу можно внедрить в $\mathrm {GL} _{2}$ по морфизму $x\mapsto \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ .

Помимо приведенных ранее, существует множество примеров таких групп:

ортогональные и симплектические группы являются аффинными алгебраическими группами.
унипотентные группы .
алгебраические торы .
некоторые полупрямые продукты , ^[7] например, группы Джет или некоторые разрешимые группы, такие как группа обратимых треугольных матриц .

Линейные алгебраические группы можно в определенной степени классифицировать. Теорема Леви утверждает, что каждая такая группа (по существу) является полупрямым произведением унипотентной группы (ее унипотентного радикала ) с редуктивной группой . В свою очередь редуктивные группы разлагаются как (опять же по существу) произведение их центра (алгебраического тора) на полупростую группу . Последние классифицируются над алгебраически замкнутыми полями через их алгебру Ли . ^[8] Классификация по произвольным полям более сложна, но все же хорошо понятна. ^[9] В некоторых случаях if можно сделать очень явным, например, для вещественных или p-адических полей и, следовательно, для числовых полей с помощью локально-глобальных принципов .

Абелевы многообразия

Абелевы многообразия — это связные проективные алгебраические группы, например эллиптические кривые. Они всегда коммутативны. Они естественным образом возникают в различных ситуациях алгебраической геометрии и теории чисел, например, как якобиан многообразия кривой.

Структурная теорема для общих алгебраических групп

Не все алгебраические группы являются линейными группами или абелевыми многообразиями, например, некоторые групповые схемы, естественным образом встречающиеся в арифметической геометрии, не являются ни тем, ни другим. ^[10] Структурная теорема Шевалле утверждает, что каждая связная алгебраическая группа является расширением абелева многообразия с помощью линейной алгебраической группы . Точнее, если K — совершенное поле , а G — связная алгебраическая группа над K , то существует единственная нормальная замкнутая подгруппа H в G , такая, что H — связная линейная алгебраическая группа, а G / H — абелево многообразие.

Связность

Как алгебраическое многообразие $\mathrm {G}$ несет топологию Зариского . В общем, это не групповая топология , т. е. групповые операции не могут быть непрерывными для этой топологии (поскольку топология Зарисского на произведении не является произведением топологий Зарисского на факторах ^[11]).

Алгебраическая группа называется связной, если лежащее в ее основе алгебраическое многообразие связно для топологии Зарисского. Для алгебраической группы это означает, что она не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств. ^[12]

Примеры несвязных групп дает алгебраическая подгруппа группы $n$ корни из единицы в мультипликативной группе $\mathrm {G} _{m}$ (каждая точка представляет собой замкнутое по Зарискому подмножество, поэтому оно не связно для $n\geq 1$ ). Эту группу обычно обозначают $\mu _{n}$ . Другая несвязная группа - это ортогональная группа четной размерности (определитель придает сюръективный морфизм $\mu _{2}$ ).

В более общем смысле каждая конечная группа является алгебраической группой (она может быть реализована как конечная, следовательно, замкнутая по Зарискому, подгруппа некоторой $\mathrm {GL} _{n}$ по теореме Кэли ). Кроме того, оно одновременно аффинно и проективно. Таким образом, в частности, для целей классификации естественно ограничить утверждения связной алгебраической группой.

Алгебраические группы над локальными полями и группы Ли

Если поле $k$ является локальным полем (например, действительные или комплексные числа или p-адическое поле) и $\mathrm {G}$ это $k$ -группа, затем группа $\mathrm {G} (k)$ наделен аналитической топологией, возникающей в результате любого вложения в проективное пространство $\mathbb {P} ^{n}(k)$ как квазипроективное многообразие. Это групповая топология, и она делает $\mathrm {G} (k)$ в топологическую группу. Такие группы являются важными примерами общей теории топологических групп.

Если $k=\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ тогда это делает $\mathrm {G} (k)$ в группу Ли . Не все группы Ли могут быть получены с помощью этой процедуры, например, универсальное накрытие группы SL ₂ ( R ) или факторгруппа Гейзенберга по бесконечной нормальной дискретной подгруппе. ^[13] Алгебраическая группа над действительными или комплексными числами может иметь замкнутые подгруппы (в аналитической топологии), которые не имеют того же связного компонента единицы, что и любая алгебраическая подгруппа.

Группы Кокстера и алгебраические группы

Существует ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и группами Кокстера - например, число элементов симметрической группы равно $n!$ , а число элементов полной линейной группы над конечным полем равно (с точностью до некоторого множителя) q -факториалу $[n]_{q}!$ ; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализуется полем с одним элементом , которое рассматривает группы Кокстера как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.

См. также

Ссылки

^ Борель 1991 , стр.54.
^ Борель 1991 , с. 46.
^ Борель 1991 , 1.6(2), с. 49.
^ Борель 1991 , следствие 1.4, с. 47.
^ Борель 1991 , Теорема 6.8, с. 98.
^ Борель 1991 , 3.5, с. 65.
^ Борель 1991 , стр. 55-56.
^ Борель 1991 , 24.1.
^ Борель 1991 , 24.2.
^ Конрад, Брайан (2002). «Современное доказательство теоремы Шевалле об алгебраических группах». Дж. Рамануджан Математика. Соц . 17 (1): 1–18. Збл 1007.14005 .
^ Борель 1991 , с. 16.
^ Борель 1991 , с. 47.
^ «Нелинейная группа Ли» . MathOverflow . Проверено 13 мая 2022 г.

Шевалле, Клод, изд. (1958), Семинар К. Шевалле, 1956–1958. Классификация алгебраических групп Ли , 2 тома, Париж: Secrétariat Mathématique, MR 0106966 , перепечатано как том 3 собрания сочинений Шевалле., заархивировано из оригинала 04 ноября 2014 г. , получено 25 июня 2012 г.
Борель, Арманд (1991). Линейные алгебраические группы. 2-е расширенное изд . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер-Верлаг. стр. х+288. Збл 0726.20030 .
Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике , том. 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4 , МР 0396773
Ланг, Серж (1983), Абелевы сорта , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90875-5
Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483 , МР 3729270
Милн, Дж. С., Схемы аффинных групп; Алгебры Ли; Группы лжи; редуктивные группы; Арифметические подгруппы
Мамфорд, Дэвид (1970), абелевы разновидности , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0 , OCLC 138290
Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7 , МР 1642713
Уотерхаус, Уильям К. (1979), Введение в схемы аффинных групп , Тексты для выпускников по математике, том. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90421-4
Вейль, Андре (1971), Алгебраические кривые и абелевы многообразия , Париж: Hermann, OCLC 322901

Дальнейшее чтение

Алгебраические группы и их алгебры Ли Дэниел Миллер

[FOOTNOTEBorel1991p.54-1] Борель 1991 , стр.54.

[FOOTNOTEBorel1991p._46-2] Борель 1991 , с. 46.

[FOOTNOTEBorel19911.6(2),_p._49-3] Борель 1991 , 1.6(2), с. 49.

[FOOTNOTEBorel1991Corollary_1.4,_p._47-4] Борель 1991 , следствие 1.4, с. 47.

[FOOTNOTEBorel1991Theorem_6.8,_p._98-5] Борель 1991 , Теорема 6.8, с. 98.

[FOOTNOTEBorel19913.5,_p._65-6] Борель 1991 , 3.5, с. 65.

[FOOTNOTEBorel1991pp._55-56-7] Борель 1991 , стр. 55-56.

[FOOTNOTEBorel199124.1-8] Борель 1991 , 24.1.

[FOOTNOTEBorel199124.2-9] Борель 1991 , 24.2.

[10] Конрад, Брайан (2002). «Современное доказательство теоремы Шевалле об алгебраических группах». Дж. Рамануджан Математика. Соц . 17 (1): 1–18. Збл 1007.14005 .

[FOOTNOTEBorel1991p._16-11] Борель 1991 , с. 16.

[FOOTNOTEBorel1991p._47-12] Борель 1991 , с. 47.

[13] «Нелинейная группа Ли» . MathOverflow . Проверено 13 мая 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]