Спектр матрицы
В математике спектром матрицы называется множество значений ее собственных . [1] [2] [3] В более общем смысле, если — линейный оператор в любом конечномерном векторном пространстве , его спектр — множество скаляров такой, что не является обратимым . Определитель . матрицы равен произведению ее собственных значений Аналогично, след матрицы равен сумме ее собственных значений. [4] [5] [6] С этой точки зрения мы можем определить псевдоопределитель сингулярной матрицы как произведение ее ненулевых собственных значений ( для плотности многомерного нормального распределения эта величина понадобится ).
Во многих приложениях, таких как PageRank , нас интересует доминирующее собственное значение, то есть то, которое является наибольшим по абсолютной величине . В других приложениях важно наименьшее собственное значение, но в целом весь спектр предоставляет ценную информацию о матрице.
Определение [ править ]
Пусть V — конечномерное векторное пространство над некоторым полем K и предположим, что T : V → V — линейное отображение. Спектр T σ T является мультимножеством корней , характеристического многочлена T. , обозначенный Таким образом, элементы спектра являются в точности собственными значениями T , а кратность собственного значения λ спектре равна размерности обобщенного собственного пространства T для λ ( также называемого алгебраической кратностью λ в ).
Теперь зафиксируем базис B группы V над K и предположим, что M ∈ Mat K ( V ) — матрица. Определите линейное отображение T : V → V поточечно как Tx = Mx , где в правой части x интерпретируется как вектор-столбец, а M действует на x путем умножения матриц . Теперь мы говорим, что x ∈ V является собственным вектором M , если x является собственным вектором T . Аналогично, λ ∈ K является собственным значением M , если оно является собственным значением T и с той же кратностью, а спектр M , записанный σ M , является мультимножеством всех таких собственных значений.
Связанные понятия [ править ]
Собственное разложение (или спектральное разложение) диагонализуемой матрицы — это разложение диагонализуемой матрицы в определенную каноническую форму, при которой матрица представляется через ее собственные значения и собственные векторы.
Спектральный радиус — квадратной матрицы это наибольшее абсолютное значение ее собственных значений. В спектральной теории спектральный радиус ограниченного линейного оператора представляет собой верхнюю границу абсолютных значений элементов спектра этого оператора.
Примечания [ править ]
- ^ Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 310)
- ^ Крейциг (1972 , стр. 273)
- ^ Неринг (1970 , стр. 270)
- ^ Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 310)
- ^ Херштейн (1964 , стр. 271–272)
- ^ Неринг (1970 , стр. 115–116)
Ссылки [ править ]
- Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса , ISBN 0-8018-5414-8
- Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
- Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN 76091646
 | Эта линейной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |