Спектр матрицы

В математике спектром ​ матрицы называется множество значений ее собственных . В более общем смысле, если $T\colon V\to V$ — линейный оператор в любом конечномерном векторном пространстве , его спектр — множество скаляров $\lambda$ такой, что $T-\lambda I$не является обратимым . Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений. Аналогично, след матрицы равен сумме ее собственных значений. С этой точки зрения мы можем определить псевдоопределитель сингулярной матрицы как произведение ее ненулевых собственных значений ( плотности многомерного нормального распределения эта величина понадобится для ).

Во многих приложениях, таких как PageRank , нас интересует доминирующее собственное значение, то есть то, которое является наибольшим по абсолютной величине . В других приложениях важно наименьшее собственное значение, но в целом весь спектр предоставляет ценную информацию о матрице.

Определение

Пусть V — конечномерное векторное пространство над некоторым полем K и предположим, что T : V → V — линейное отображение. Спектр ​ T ​ обозначаемый _T является мультимножеством корней многочлена характеристического σ T. , , элементы спектра являются в точности собственными значениями T , а кратность собственного значения λ в спектре равна размерности обобщенного собственного пространства T Таким образом , для λ (также называемого алгебраической кратностью λ ) .

Теперь зафиксируем базис B группы V над K и предположим, что M ∈ Mat _K ( V ) — матрица. Определите линейное отображение T : V → V поточечно как Tx = Mx , где в правой части x интерпретируется как вектор-столбец, а M действует на x путем умножения матриц . Теперь мы говорим, что x ∈ V является вектором собственным M , если x является собственным вектором T . Аналогично, λ ∈ K является собственным значением M, если оно является собственным значением T и с той же кратностью, а спектр M , записанный σ _M , является мультимножеством всех таких собственных значений.

Связанные понятия

Собственное разложение (или спектральное разложение) диагонализуемой матрицы — это разложение диагонализуемой матрицы в определенную каноническую форму, при которой матрица представляется через ее собственные значения и собственные векторы.

Спектральный радиус квадратной матрицы — это наибольшее абсолютное значение ее собственных значений. В спектральной теории спектральный радиус ограниченного линейного оператора представляет собой верхнюю границу абсолютных значений элементов спектра этого оператора.

Ссылки

• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса , ISBN  0-8018-5414-8
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN  978-1114541016
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-50728-8
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN   76091646