Псевдодетерминант

В линейной и статистике псевдоопределитель алгебре ^[1] является произведением всех ненулевых собственных значений квадратной матрицы . Он совпадает с регулярным определителем , когда матрица неособа .

Определение

Псевдоопределитель квадратной размером n × n матрицы A может быть определен как:

|\mathbf {A} |_{+}=\lim _{\alpha \to 0}{\frac {|\mathbf {A} +\alpha \mathbf {I} |}{\alpha ^{n-\operatorname {rank} (\mathbf {A} )}}}

где | А | обозначает обычный определитель , I обозначает единичную матрицу а Rank( A ) обозначает ранг матрицы A , . ^[2]

Определение псевдодетерминанта с использованием матрицы Валена

Матрица Валена конформного преобразования, преобразования Мёбиуса (т.е. $(ax+b)(cx+d)^{-1}$ для $a,b,c,d\in {\mathcal {G}}(p,q)$ ), определяется как $[f]={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ . Под псевдоопределителем матрицы Валена конформного преобразования будем понимать

\operatorname {pdet} {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad^{\dagger }-bc^{\dagger }.

Если $\operatorname {pdet} [f]>0$ , преобразование сохраняет смысл (вращение), тогда как если $\operatorname {pdet} [f]<0$ , преобразование является сохраняющим смысл (рефлексией).

Вычисление для положительного полуопределенного случая

Если $A$ является положительно полуопределенным , то сингулярные значения и собственные значения $A$ совпадают. В этом случае, если сингулярное разложение (SVD), то доступно $|\mathbf {A} |_{+}$ может быть вычислено как произведение ненулевых сингулярных значений. Если все сингулярные значения равны нулю, то псевдоопределитель равен 1.

Предположим $\operatorname {rank} (A)=k$ , так что k — количество ненулевых сингулярных значений, мы можем написать $A=PP^{\dagger }$ где $P$ — некоторая n матрица размера на k , а кинжал — сопряженная транспонирование . Сингулярные значения $A$ являются квадратами сингулярных значений $P$ и таким образом мы имеем $|A|_{+}=\left|P^{\dagger }P\right|$ , где $\left|P^{\dagger }P\right|$ — обычный определитель в k измерениях. Далее, если $P$ записывается как столбец блока $P=\left({\begin{smallmatrix}C\\D\end{smallmatrix}}\right)$ , то оно справедливо для любых высот блоков $C$ и $D$ , что $|A|_{+}=\left|C^{\dagger }C+D^{\dagger }D\right|$ .

Применение в статистике

Если статистическая процедура обычно сравнивает распределения с точки зрения определителей дисперсионно-ковариационных матриц, то в случае сингулярных матриц это сравнение можно провести, используя комбинацию рангов матриц и их псевдодетерминантов с матрицей более высокий ранг считается «наибольшим», а псевдодетерминанты используются только в том случае, если ранги равны. ^[3] Таким образом, псевдодетерминанты иногда представлены в результатах статистических программ в тех случаях, когда ковариационные матрицы сингулярны. ^[4] В частности, нормализацию многомерного нормального распределения с ковариационной матрицей $Σ$ , которая не обязательно является невырожденной, можно записать как ${\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{\operatorname {rank} (\mathbf {\Sigma } )}|\mathbf {\Sigma } |_{+}}}}={\frac {1}{\sqrt {|2\pi \mathbf {\Sigma } |_{+}}}}\,.$

См. также

Определитель матрицы
Псевдообратная функция Мура-Пенроуза , которую также можно получить в терминах ненулевых сингулярных значений.

Ссылки

^ Минка, Т.П. (2001). «Вывод о распределении Гаусса» . PDF
^ Флореску, Ионут (2014). Вероятность и случайные процессы . Уайли. п. 529.
^ Документация SAS по «Надежному расстоянию»
^ Болинг, Джеффри К. (1997) «Программы в стиле GSLIB для дискриминантного анализа и региональной классификации», Computers & Geosciences , 23 (7), 739–761 два : 10.1016/S0098-3004(97)00050-2

[minka-1] Минка, Т.П. (2001). «Вывод о распределении Гаусса» . PDF

[2] Флореску, Ионут (2014). Вероятность и случайные процессы . Уайли. п. 529.

[3] Документация SAS по «Надежному расстоянию»

[4] Болинг, Джеффри К. (1997) «Программы в стиле GSLIB для дискриминантного анализа и региональной классификации», Computers & Geosciences , 23 (7), 739–761 два : 10.1016/S0098-3004(97)00050-2

[1]

[2]

[3]

[4]