Массовая матрица

В аналитической механике матрица масс — это симметричная матрица $М$ , выражающая связь между производной по времени $\mathbf {\dot {q}}$ обобщенного координатного вектора $q$ системы и кинетической энергии $T$ этой системы уравнением

T={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}\mathbf {M} \mathbf {\dot {q}}

где $\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}$ обозначает транспонирование вектора $\mathbf {\dot {q}}$ . ^[1] Это уравнение аналогично формуле для кинетической энергии частицы массы $m$ и скорости $v$ , а именно

T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {v} \cdot m\mathbf {v}

и может быть получено из него, выражая положение каждой частицы системы через $q$ .

В общем, массовая матрица $M$ зависит от состояния $q$ и, следовательно, меняется со временем.

Лагранжева механика дает обыкновенное дифференциальное уравнение (фактически систему связанных дифференциальных уравнений), описывающее эволюцию системы в терминах произвольного вектора обобщенных координат, полностью определяющего положение каждой частицы в системе. Приведенная выше формула кинетической энергии является одним из членов этого уравнения, которое представляет собой полную кинетическую энергию всех частиц.

Примеры

Двухчастичная одномерная система

Система масс в одном пространственном измерении.

Например, рассмотрим систему, состоящую из двух точечных масс, ограниченных прямой траекторией. Состояние этих систем можно описать вектором $q$ двух обобщенных координат, а именно положениями двух частиц на треке.

\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}

Если предположить, что частицы имеют массы $m 1, m 2$ , то кинетическая энергия системы равна

T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}

Эту формулу можно также записать как

T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}

где

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}

Система N-тел

В более общем смысле, рассмотрим систему из $N$ частиц, помеченных индексом $i = 1, 2, \dots, N$ , где положение частицы с номером $i$ определяется $n i$ свободными декартовыми координатами (где $n i = 1, 2, 3$ ). Пусть $q$ будет вектор-столбцом, содержащим все эти координаты. Матрица масс $M$ представляет собой диагональную блочную матрицу , где в каждом блоке диагональные элементы представляют собой массу соответствующей частицы: ^[2]

\mathbf {M} =\operatorname {diag} \left[m_{1}\mathbf {I} _{n_{1}},\,m_{2}\mathbf {I} _{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}\mathbf {I} _{n_{N}}\right]

где $I n i$ — $, или более полно n i \times ni$ единичная матрица размера :

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}

Вращающаяся гантель

В качестве менее тривиального примера рассмотрим два точечных объекта с массами $m 1, m 2$ , прикрепленных к концам жесткого невесомого стержня длиной $2 R$ , причем этот узел может свободно вращаться и скользить по фиксированной плоскости. Состояние системы можно описать обобщенным координатным вектором

\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}

где $x, y$ — декартовы координаты средней точки стержня, а $α$ — угол стержня относительно некоторого произвольного исходного направления. Положения и скорости двух частиц равны

{\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}

а их полная кинетическая энергия равна

2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}

где $m=m_{1}+m_{2}$ и $d=m_{1}-m_{2}$ . Эту формулу можно записать в матричной форме как

T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}

где

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}

Обратите внимание, что матрица зависит от текущего угла $α$ стержня.

Механика сплошной среды

Для дискретных аппроксимаций механики сплошной среды, таких как метод конечных элементов , может существовать более одного способа построения матрицы масс, в зависимости от желаемой точности и производительности вычислений. Например, метод сосредоточенной массы, в котором игнорируется деформация каждого элемента, создает диагональную матрицу масс и устраняет необходимость интегрирования массы по деформированному элементу.

См. также

Ссылки

^ Математические методы в физике и технике, К. Ф. Райли, М. П. Хобсон, С. Дж. Бенс, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN 978-0-521-86153-3
^ Аналитическая механика, Л. Н. Хэнд, Дж. Д. Финч, издательство Кембриджского университета, 2008 г., ISBN 978 0 521 57572 0

[Riley-1] Математические методы в физике и технике, К. Ф. Райли, М. П. Хобсон, С. Дж. Бенс, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN 978-0-521-86153-3

[Hand-2] Аналитическая механика, Л. Н. Хэнд, Дж. Д. Финч, издательство Кембриджского университета, 2008 г., ISBN 978 0 521 57572 0

[1]

[2]