Сходство матрицы

В линейной алгебре две n размером × n матрицы $A$ и $B$ называются подобными , если существует обратимая размером n × n матрица $P$ такая, что $B=P^{-1}AP.$ Подобные матрицы представляют одну и ту же линейную карту под двумя (возможно) разными базисами , где $P$ — это замена базисной матрицы. ^[1]^[2]

Преобразование $A \mapsto P -1 AP$ называется подобия или сопряжением матрицы $A.$ преобразованием Поэтому в общей линейной группе подобие есть то же самое, что и сопряженность , и подобные матрицы называются также сопряженными ; однако в данной подгруппе $H$ общей линейной группы понятие сопряженности может быть более ограничительным, чем подобие, поскольку оно требует, чтобы $P$ было выбрано так, чтобы оно лежало в $H$ .

Мотивирующий пример

При определении линейного преобразования может случиться так, что изменение базиса может привести к более простой форме того же преобразования. Например, матрица, представляющая вращение в $R 3$ когда ось вращения не совмещена с осью координат, вычисление может быть затруднено. Если бы ось вращения была совмещена с положительной $осью z$ , то это было бы просто $S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},$ где $\theta$ это угол поворота. В новой системе координат преобразование будет записано как $y'=Sx',$ где $x'$ и $y'$ — соответственно исходный и преобразованный векторы в новом базисе, содержащем вектор, параллельный оси вращения. В исходном базисе преобразование будет записано как $y=Tx,$ где векторы $x$ и $y$ и неизвестная матрица преобразования $T$ находятся в исходном базисе. Чтобы записать $T$ в терминах более простой матрицы, мы используем матрицу смены базиса $P$ , которая преобразует $x$ и $y$ как $x'=Px$ и $y'=Py$ : ${\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}$

Таким образом, матрица в исходном базисе $T$ , определяется $T=P^{-1}SP$ . Преобразование в исходном базисе оказывается произведением трех легко выводимых матриц. По сути, преобразование подобия выполняется в три этапа: переход на новый базис ( $P$ ), выполнение простого преобразования ( $S$ ) и возврат к старому базису ( $P -1$ ).

Характеристики

Сходство — это отношение эквивалентности в пространстве квадратных матриц.

Поскольку матрицы схожи тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же линейный оператор относительно (возможно) разных базисов, подобные матрицы разделяют все свойства своего общего базового оператора:

Классифицировать
Характеристический полином и атрибуты, которые можно получить из него:
Геометрические кратности собственных значений (но не собственных пространств, которые преобразуются в соответствии с используемой матрицей изменения базы P ).
Минимальный полином
Нормальная форма Фробениуса
Жорданова нормальная форма с точностью до перестановки жордановых блоков
Индекс нильпотентности
Элементарные делители , образующие полный набор инвариантов подобия матриц в области главного идеала.

По этой причине для данной матрицы A интересно найти простую «нормальную форму» B, подобную A — тогда изучение A сводится к изучению более простой B. матрицы Например, A называется диагонализируемой , если она подобна диагональной матрице . Не все матрицы диагонализуемы, но, по крайней мере, над комплексными числами (или любым алгебраически замкнутым полем ), каждая матрица подобна матрице в жордановой форме . Ни одна из этих форм не является уникальной (диагональные элементы или жордановые блоки могут быть переставлены), поэтому на самом деле они не являются нормальными формами ; более того, их определение зависит от способности факторизовать минимальный или характеристический полином A (что эквивалентно нахождению его собственных значений). Рациональная каноническая форма лишена этих недостатков: она существует над любым полем, действительно уникальна и может быть вычислена с использованием только арифметических операций над полем; A и B подобны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же рациональную каноническую форму. Рациональная каноническая форма определяется элементарными делителями А ; их можно сразу считать из матрицы в жордановой форме, но их также можно определить непосредственно для любой матрицы путем вычисления нормальной формы Смита по кольцу полиномов матрицы (с полиномиальными элементами) $XI n - A$ ( тот же, чей определитель определяет характеристический полином). Обратите внимание, что эта нормальная форма Смита не является нормальной формой самого A ; при этом оно также не похоже на $XI n - A$ , а получается из последнего умножением слева и справа на разные обратимые матрицы (с полиномиальными элементами).

Сходство матриц не зависит от основного поля: если L — поле, содержащее K в качестве подполя , а A и B — две матрицы над K , то A и B подобны как матрицы над K тогда и только тогда, когда они подобны как матрицы над L . Это так, потому что рациональная каноническая форма над K является также рациональной канонической формой над L . Это означает, что можно использовать жордановые формы, существующие только в большем поле, чтобы определить, подобны ли данные матрицы.

В определении подобия, если матрица P может быть выбрана в качестве матрицы перестановок, то A и B подобны по перестановкам; если P можно выбрать в качестве унитарной матрицы, то A и B унитарно эквивалентны . Спектральная теорема гласит, что каждая нормальная матрица унитарно эквивалентна некоторой диагональной матрице. Теорема Шпехта утверждает, что две матрицы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они удовлетворяют определенным равенствам следов.

См. также

Ссылки

Цитаты

^ Борегар, Раймонд А.; Фрели, Джон Б. (1973). Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля . Бостон: Houghton Mifflin Co., стр. 240–243. ISBN 0-395-14017-Х .
^ Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение , Нью-Йорк: Academic Press , стр. 176–178, LCCN 70097490

Общие ссылки

Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38632-2 . (Сходство обсуждается во многих местах, начиная со стр. 44.)

[1] Борегар, Раймонд А.; Фрели, Джон Б. (1973). Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля . Бостон: Houghton Mifflin Co., стр. 240–243. ISBN 0-395-14017-Х .

[2] Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение , Нью-Йорк: Academic Press , стр. 176–178, LCCN 70097490

[1]

[2]