Метод Прони

Проведенный анализ сигнала временной области

Анализ Prony ( метод Prony ) был разработан Gaspard Riche De Prony в 1795 году. Однако практическое использование метода, ожидающего цифрового компьютера. Подобно преобразованию Фурье , метод Prony извлекает ценную информацию из равномерно отобранного сигнала и создает серию демпфированных сложных экспоненциальных экспонент или демпфированных синусоидов . Это позволяет оценить частоту, амплитуду, фазу и демпфирующие компоненты сигнала.

Метод

Позволять $f(t)$ быть сигналом, состоящим из $N$ Равномерно расположенные образцы. Метод Prony соответствует функции

${\hat {f}}(t)=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})$

Наблюдаемому $f(t)$Полем После некоторых манипуляций, использующих формулу Эйлера , получен следующий результат, который позволяет более прямой вычисление терминов:

${\begin{aligned}{\hat {f}}(t)&=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\tfrac {1}{2}}A_{i}\left(e^{j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{+}t}+e^{-j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{-}t}\right),\end{aligned}}$

где

$\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ собственные значения системы,

$\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ являются демпфирующими компонентами,

$\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ являются угловаренными компонентами,

$\phi _{i}$ фазовые компоненты,

$A_{i}$ являются амплитудными компонентами серии,

$j$ воображаемая единица ( $j^{2}=-1$).

Представления

Метод Прони, по сути, разложение сигнала с $M$ Сложные экспоненциальные средства с помощью следующего процесса:

Регулярно образец ${\hat {f}}(t)$ так что $n$-Т $N$ образцы могут быть написаны как

$F_{n}={\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}\mathrm {B} _{m}e^{\lambda _{m}\Delta _{t}n},\quad n=0,\dots ,N-1.$

Если ${\hat {f}}(t)$ случается, что состоит из затухающих синусоидов, тогда будут пары сложных экспоненциал, такие как то, что

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j},\\\mathrm {B} _{b}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j},\\\lambda _{a}&=\sigma _{i}+j\omega _{i},\\\lambda _{b}&=\sigma _{i}-j\omega _{i},\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}e^{\lambda _{a}t}+\mathrm {B} _{b}e^{\lambda _{b}t}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}+j\omega _{i})t}+{\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}-j\omega _{i})t}\\&=A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i}).\end{aligned}}$

Поскольку суммирование сложных экспонент является гомогенным решением линейного разницу уравнения , будет существовать следующее разничное уравнение:

${\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}{\hat {f}}[\Delta _{t}(n-m)]P_{m},\quad n=M,\dots ,N-1.$

Ключ к методу Прони заключается в том, что коэффициенты в разнице связаны со следующим полиномом:

$z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}=\prod _{m=1}^{M}\left(z-e^{\lambda _{m}}\right).$

Эти факты приводят к следующим трем шагам в рамках метода Прони:

1) Построить и решить уравнение матрицы для $P_{m}$ ценности:

${\begin{bmatrix}F_{M}\\\vdots \\F_{N-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{M-1}&\dots &F_{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\F_{N-2}&\dots &F_{N-M-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\\vdots \\P_{M}\end{bmatrix}}.$

Обратите внимание, что если $N\neq 2M$, обобщенная матрица обратная для поиска значений может потребоваться $P_{m}$.

2) После поиска $P_{m}$ значения, найдите корни (численно при необходимости) полинома

$z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}.$

А $m$-новый корень этого полинома будет равен $e^{\lambda _{m}}$.

3) с $e^{\lambda _{m}}$ ценности, $F_{n}$ Значения являются частью системы линейных уравнений, которые могут использоваться для решения для $\mathrm {B} _{m}$ ценности:

${\begin{bmatrix}F_{k_{1}}\\\vdots \\F_{k_{M}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(e^{\lambda _{1}})^{k_{1}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\(e^{\lambda _{1}})^{k_{M}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{M}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathrm {B} _{1}\\\vdots \\\mathrm {B} _{M}\end{bmatrix}},$

где $M$ уникальные значения $k_{i}$ используются. Можно использовать обобщенную матрицу обратную, если больше, чем $M$ Образцы используются.

Обратите внимание, что решение для $\lambda _{m}$ принесет неоднозначности, поскольку только $e^{\lambda _{m}}$ был решен для, и $e^{\lambda _{m}}=e^{\lambda _{m}\,+\,q2\pi j}$ для целого числа $q$Полем Это приводит к тем же критериям отбора проб Nyquist, что и дискретные преобразования Фурье подчиняются

$\left|\operatorname {Im} (\lambda _{m})\right|=\left|\omega _{m}\right|<{\frac {\pi }{\Delta _{t}}}.$

Смотрите также

• Обобщенный метод карандаша функции
• Вычисление прони -разложения с использованием анализа авторегрессии
• Применение прони-разложения в зависимости от времени анализа

Ссылки

• Carriere, R.; Моисей, Р.Л. (1992). «Целевое моделирование с высоким разрешением с использованием модифицированной оценки прони». IEEE транзакции по антеннам и распространению . 40 : 13–18. doi : 10.1109/8.123348 .
• Slyusar, VI (1998). «Интерпретация метода PRONI для решения проблем дальнего расстояния» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 41 (1): 35–39.