Многомерная спектральная оценка

Многомерная спектральная оценка — это обобщение спектральной оценки , обычно формулируемой для одномерных сигналов , на многомерные сигналы или многомерные данные , такие как волновые векторы .

Мотивация

Многомерная спектральная оценка приобрела популярность благодаря своему применению в таких областях, как медицина, аэрокосмическая промышленность, гидролокация, радар, биоинформатика и геофизика. В недавнем прошлом был предложен ряд методов разработки моделей с конечными параметрами для оценки спектра мощности многомерных сигналов. В этой статье мы рассмотрим основы методов, используемых для оценки спектра мощности многомерных сигналов.

Приложения

Существует множество применений спектральной оценки многомерных сигналов, таких как классификация сигналов на низкочастотные, высокочастотные, полосу пропускания и полосу задерживания. Он также используется для сжатия и кодирования аудио- и видеосигналов, формирования луча и пеленгации в радарах . ^[1] Оценка и обработка сейсмических данных , набор датчиков и антенн и вибрационный анализ. В области радиоастрономии ^[1] он используется для синхронизации выходов массива телескопов.

Основные понятия

В одномерном случае сигнал характеризуется амплитудой и временным масштабом. Основные понятия, используемые в спектральной оценке, включают автокорреляцию , многомерное преобразование Фурье , среднеквадратическую ошибку и энтропию . ^[2] Когда речь идет о многомерных сигналах, существует два основных подхода: использовать банк фильтров или оценить параметры случайного процесса, чтобы оценить спектр мощности.

Методы

Классическая теория оценок

Это метод оценки спектра мощности одномерного или многомерного сигнала, поскольку его невозможно точно рассчитать. Приведены выборки стационарного случайного процесса широкого смысла и его статистика второго порядка (измерения). Оценки получены путем применения многомерного преобразования Фурье автокорреляционной функции случайного сигнала. Оценка начинается с расчета периодограммы, которая получается путем возведения в квадрат величины многомерного преобразования Фурье измерений ri(n). Спектральные оценки, полученные из периодограммы, имеют большую дисперсию амплитуды для последовательных выборок периодограммы или волнового числа. Эта проблема решается с использованием методов, составляющих классическую теорию оценивания. Они заключаются в следующем:1.Бартлетт предложил метод, который усредняет спектральные оценки для расчета спектра мощности. Измерения делятся на равноотстоящие во времени отрезки и берут среднее значение. Это дает лучшую оценку. ^[3]2. На основе волнового числа и индекса приемника/выхода мы можем разделить сегменты. Это увеличивает спектральные оценки и уменьшает дисперсию между последовательными сегментами.3.Уэлч предложил разделить измерения с помощью оконных функций данных, вычислить периодограмму, усреднить их, чтобы получить спектральную оценку, и вычислить спектр мощности с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ). Это увеличивает скорость вычислений. ^[4]4. Окно сглаживания поможет нам сгладить оценку путем умножения периодограммы на сглаживающий спектр. Чем шире основной лепесток спектра сглаживания, тем более гладким он становится за счет разрешения по частоте. ^[2]

P\left(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\ e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt

\varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s^{*}\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]

^[2]

P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\sum _{l}|\sum _{n}\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}

Дело Бартлетта ^[2]

P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}

Модифицированная периодограмма ^[2]

P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\sum _{l}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}

Дело Уэлча ^[2]

Преимущества: Простой метод, включающий преобразования Фурье.

Ограничения

Поскольку некоторые из вышеперечисленных методов производят выборку последовательности во времени, разрешение по частоте снижается (наложение псевдонимов).
Число случаев стационарного случайного процесса в широком смысле меньше, что затрудняет точный расчет оценок.

Спектральные оценки высокого разрешения

Этот метод дает лучшую оценку, частотное разрешение которой выше, чем у классической теории оценки. В методе оценки с высоким разрешением мы используем окно переменных волновых чисел, которое допускает только определенные волновые числа и подавляет другие. Капона ^[5] Работа помогла нам разработать метод оценки с использованием компонентов волнового числа и частоты. Это приводит к оценке с более высоким частотным разрешением. Он аналогичен методу максимального правдоподобия, поскольку используемый инструмент оптимизации аналогичен.

Предположение: Выходные данные, полученные от датчиков, представляют собой стационарный случайный процесс в широком смысле с нулевым средним значением. ^[6]

P_{C}\left(K_{o}x,w_{o}\right)=E\left[|y\left(i,n\right)|^{2}\right]={\frac {1}{\sum _{\alpha =0}^{N-1}\sum _{\beta =0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}\psi _{e}\left(l,\alpha ;m,\beta \right)}}

^[2]

Преимущества

Более высокое частотное разрешение по сравнению с другими существующими методами.
Лучшая оценка частоты, поскольку мы используем окно переменных волновых чисел по сравнению с классическим методом, который использует окно фиксированных волновых чисел.
Более высокая скорость вычислений, поскольку используется БПФ.

Разделимая спектральная оценка

В этом типе оценки мы выбираем многомерный сигнал как сепарабельную функцию. ^[1] Благодаря этому свойству мы сможем последовательно просматривать анализ Фурье в нескольких измерениях. Временная задержка в операции возведения в квадрат величины поможет нам обработать преобразование Фурье в каждом измерении. Многомерное преобразование Фурье с дискретным временем применяется по каждому измерению, и в конце применяется оценщик максимальной энтропии, а величина возводится в квадрат.

Преимущества

Анализ Фурье является гибким, поскольку сигнал разделим.
Он сохраняет фазовые компоненты каждого измерения в отличие от других спектральных оценщиков.

Всеполюсное спектральное моделирование

Этот метод является расширением одномерного метода, называемого авторегрессионной спектральной оценкой. В авторегрессионных моделях выходные переменные линейно зависят от собственных предыдущих значений. В этой модели оценка спектра мощности сводится к оценке коэффициентов из коэффициентов автокорреляции случайного процесса, которые предполагаются известными для конкретной области. Спектр мощности $P_{A}(k_{x},w)$ случайного процесса $r(i,n)$ дается: ^[2]

P_{A}\left(k_{x},w\right)=P_{e}\left(k_{x},w\right)|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|^{2}

Выше, $P_{e}\left(k_{x},w\right)$ - спектр мощности случайного процесса $e(i,n)$ , который задается как входные данные системы с передаточной функцией $|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|$ чтобы получить $r(i,n)$ ^[2] и $A\left(k_{x},w\right)$ является:

A\left(k_{x},w\right)=\sum _{p=o}^{N-1}\sum _{q=0}^{M-1}a(p,q)exp(jk_{x}p-jwq)

Таким образом, оценка мощности сводится к оценке коэффициентов $a\left(p,q\right)$ из функции автокорреляции $\varphi \left(l,m\right)$ случайного процесса. Коэффициенты также можно оценить с использованием формулы линейного прогнозирования , которая занимается минимизацией среднеквадратической ошибки между фактическим случайным сигналом и прогнозируемыми значениями случайного сигнала.

Ограничения

В 1D мы имеем одинаковое количество линейных уравнений с одинаковым количеством неизвестных из-за свойства автокорреляционного соответствия. Но это может быть невозможно в multi-D ^[2] поскольку набор параметров не содержит достаточного количества степеней свободы для соответствия коэффициентам автокорреляции.
Мы предполагаем, что массив коэффициентов ограничен определенной областью.
В одномерной формулировке линейного прогнозирования обратный фильтр имеет свойство минимальной фазы, что доказывает, что фильтр стабилен. Это не всегда верно в случае multi-D.
В одномерной формулировке матрица автокорреляции является положительно определенной, но положительно определенное расширение может не существовать в случае многомерной.

Спектральная оценка максимальной энтропии

В этом методе спектральной оценки мы пытаемся найти спектральную оценку, обратное преобразование Фурье которой соответствует известным коэффициентам автокорреляции. Мы максимизируем энтропию спектральной оценки так, чтобы она соответствовала коэффициентам автокорреляции. ^[2] Уравнение энтропии задается как: ^[1]^[2]

H={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }logP\left(k_{x},w\right)dk_{x}dw

Спектр мощности $P\left(k,w\right)$ может быть выражен как сумма известных коэффициентов автокорреляции и неизвестных коэффициентов автокорреляции. Регулируя значения неограниченных коэффициентов, можно максимизировать энтропию.

Максимальная энтропия имеет вид: ^[2]

P_{ME}={\frac {1}{\sum _{l}\sum _{m}\lambda \left(l,m\right)exp\left(jk_{x}l-jwm\right)}}

^[1]

λ(l,m) необходимо выбирать таким образом, чтобы совпадали известные коэффициенты автокорреляции.

Ограничения

Имеет ограниченную оптимизацию. Преодолеть ее можно, используя метод множителей Лагранжа. ^[2]
Всеполюсная спектральная оценка не является решением проблемы максимальной энтропии в многомерном случае, как в случае 1-D. Это связано с тем, что всеполюсная спектральная модель не содержит достаточной степени свободы, чтобы соответствовать известным коэффициентам автокорреляции.

Преимущества: Ошибки измерения или оценки известных коэффициентов автокорреляции могут быть приняты во внимание, поскольку точное совпадение не требуется.
Недостаток: Требуется слишком много вычислений.

Улучшенный метод максимального правдоподобия (IMLM)

Это относительно новый подход. Улучшенный метод максимального правдоподобия (IMLM) представляет собой комбинацию двух оценок MLM ( максимального правдоподобия ). ^[1]^[7] Улучшенное максимальное правдоподобие двух двумерных массивов A и B с волновым числом k (дает информацию об ориентации массива в пространстве) определяется соотношением: ^[8]

IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}

^[7]

Массив B является подмножеством A. Следовательно, если предположить, что A>B, если существует разница между MLM A и MLM B, то значительная часть оцененной спектральной энергии на этой частоте может быть связана с утечкой мощности из других частот. . Уменьшение акцента на MLM A может улучшить спектральную оценку. Это достигается путем умножения на взвешенную функцию, которая становится меньше, когда существует большая разница между MLA B и MLA A.

IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {MLM\left(k:A\right)MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}

IMLM\left(k:A,B\right)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)

где $W_{AB}\left(k\right)$ является весовой функцией и определяется выражением: ^[7]

W_{AB}\left(k\right)={\frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}

Преимущества

Используется как альтернатива MLM или MEM (метод максимальной энтропии/ принцип максимальной энтропии ).
IMLM имеет лучшее разрешение, чем MLM, и требует меньшего количества вычислений по сравнению с MEM. ^[7]^[8]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Джеймс Х.Макклеллан (1982). «Многомерная спектральная оценка». Труды IEEE . 70 (9): 1029–1039. дои : 10.1109/PROC.1982.12431 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Дэн Э. Даджен, Рассел М. Мерсеро, «Многомерная цифровая обработка сигналов», Серия Prentice-Hall Signal Processing, ISBN 0136049591 , стр. 315-338, 1983.
^ Бартлетт, М.С., «Введение в случайные процессы с особым упором на методы и приложения», Архив CUP, 1978, ISBN 0521215854 , дои : 10.1109/ATC.2010.5672752
^ Дж. Д. Уэлч (1967). «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени по коротким модифицированным периодограммам». Транзакции IEEE по аудио и электроакустике . 15 (2): 70–73. Бибкод : 1967ITAE...15...70W . дои : 10.1109/ТАУ.1967.1161901 .
^ Дж.Капон (1969). «Анализ частотно-волнового спектра высокого разрешения». Труды IEEE . 57 (8): 1408–1418. дои : 10.1109/PROC.1969.7278 .
^ Златоуст Л. Никий; Майсур Р. Рагувир (1983). «Новый класс надежных многомерных алгоритмов спектральной оценки с высоким разрешением». ИКАССП '83. Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . Том. 8. стр. 859–862. дои : 10.1109/ICASSP.1983.1172045 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Довла ФУ; Лим Дж.С. (1985). «Разрешающая способность улучшенного метода максимального правдоподобия». Свойство разрешения улучшенного метода максимального правдоподобия . Том. 10. С. 820–822. дои : 10.1109/ICASSP.1985.1168305 .
^ Jump up to: ^а ^б Довла ФУ; Лим Дж.С. (1985). «Новый алгоритм двумерной спектральной оценки высокого разрешения». Труды IEEE . 71 (2): 284–285. дои : 10.1109/PROC.1983.12576 .

[James-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Джеймс Х.Макклеллан (1982). «Многомерная спектральная оценка». Труды IEEE . 70 (9): 1029–1039. дои : 10.1109/PROC.1982.12431 .

[Dudgeon-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Дэн Э. Даджен, Рассел М. Мерсеро, «Многомерная цифровая обработка сигналов», Серия Prentice-Hall Signal Processing, ISBN 0136049591 , стр. 315-338, 1983.

[3] Бартлетт, М.С., «Введение в случайные процессы с особым упором на методы и приложения», Архив CUP, 1978, ISBN 0521215854 , дои : 10.1109/ATC.2010.5672752

[4] Дж. Д. Уэлч (1967). «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени по коротким модифицированным периодограммам». Транзакции IEEE по аудио и электроакустике . 15 (2): 70–73. Бибкод : 1967ITAE...15...70W . дои : 10.1109/ТАУ.1967.1161901 .

[5] Дж.Капон (1969). «Анализ частотно-волнового спектра высокого разрешения». Труды IEEE . 57 (8): 1408–1418. дои : 10.1109/PROC.1969.7278 .

[6] Златоуст Л. Никий; Майсур Р. Рагувир (1983). «Новый класс надежных многомерных алгоритмов спектральной оценки с высоким разрешением». ИКАССП '83. Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . Том. 8. стр. 859–862. дои : 10.1109/ICASSP.1983.1172045 .

[IMLM-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Довла ФУ; Лим Дж.С. (1985). «Разрешающая способность улучшенного метода максимального правдоподобия». Свойство разрешения улучшенного метода максимального правдоподобия . Том. 10. С. 820–822. дои : 10.1109/ICASSP.1985.1168305 .

[IMLM1-8] Jump up to: ^а ^б Довла ФУ; Лим Дж.С. (1985). «Новый алгоритм двумерной спектральной оценки высокого разрешения». Труды IEEE . 71 (2): 284–285. дои : 10.1109/PROC.1983.12576 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]