Линейное предсказание

Линейное предсказание — это математическая операция, при которой будущие значения сигнала времени дискретного оцениваются как линейная функция предыдущих выборок.

В цифровой обработке сигналов линейное предсказание часто называют кодированием с линейным предсказанием (LPC) и, таким образом, можно рассматривать как подмножество теории фильтров . В системном анализе , подобласти математики , линейное предсказание можно рассматривать как часть математического моделирования или оптимизации .

Модель прогнозирования

Наиболее распространенным представлением является

{\widehat {x}}(n)=\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(n-i)\,

где ${\widehat {x}}(n)$ прогнозируемое значение сигнала, $x(n-i)$ предыдущие наблюдаемые значения, при этом $p\leq n$ , и $a_{i}$ коэффициенты предиктора. Ошибка, вызванная этой оценкой, равна

e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)\,

где $x(n)$ — истинное значение сигнала.

Эти уравнения действительны для всех типов (одномерного) линейного прогнозирования. Различия заключаются в том, как коэффициенты предикторов $a_{i}$ выбраны.

Для многомерных сигналов метрика ошибки часто определяется как

e(n)=\|x(n)-{\widehat {x}}(n)\|\,

где $\|\cdot \|$ — подходящая выбранная векторная норма . Такие прогнозы, как ${\widehat {x}}(n)$ обычно используются в фильтрах Калмана и сглаживателях для оценки текущих и прошлых значений сигнала соответственно на основе зашумленных измерений. ^[1]

Оценка параметров

Самый распространенный выбор при оптимизации параметров $a_{i}$ – среднеквадратический критерий, который также называют критерием автокорреляции . В этом методе мы минимизируем ожидаемое значение квадрата ошибки. $E[e^{2}(n)]$ , что дает уравнение

\sum _{i=1}^{p}a_{i}R(j-i)=R(j),

для 1 ≤ j ≤ p , где R — автокорреляция сигнала x _n , определяемая как

\ R(i)=E\{x(n)x(n-i)\}\,

,

и E — ожидаемое значение . В многомерном случае это соответствует L2 _нормы минимизации .

Приведенные выше уравнения называются нормальными уравнениями или уравнениями Юла-Уокера . В матричной форме уравнения можно эквивалентно записать как

\mathbf {RA} =\mathbf {r}

где матрица автокорреляции $\mathbf {R}$ является симметричным, $p\times p$ Матрица Теплица с элементами $r_{ij}=R(i-j),0\leq i,j<p$ , вектор $\mathbf {r}$ вектор автокорреляции $r_{j}=R(j),0<j\leq p$ , и $\mathbf {A} =[a_{1},a_{2},\,\cdots \,,a_{p-1},a_{p}]$ , вектор параметров.

Другой, более общий подход заключается в минимизации суммы квадратов ошибок, определенных в виде

e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)=x(n)-\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(n-i)=-\sum _{i=0}^{p}a_{i}x(n-i)

где проблема оптимизации поиска по всем $a_{i}$ теперь необходимо ограничить $a_{0}=-1$ .

С другой стороны, если среднеквадратическая ошибка прогнозирования ограничена единицей и уравнение ошибки прогнозирования включено поверх обычных уравнений, расширенный набор уравнений получается как

\ \mathbf {RA} =[1,0,...,0]^{\mathrm {T} }

где индекс $i$ колеблется от 0 до $p$ , и $\mathbf {R}$ это $(p+1)\times (p+1)$ матрица.

Спецификация параметров линейного предиктора — обширная тема, и было предложено большое количество других подходов. Фактически, метод автокорреляции является наиболее распространенным. ^[2] и он используется, например, для кодирования речи в стандарте GSM .

Решение матричного уравнения $\mathbf {RA} =\mathbf {r}$ является относительно дорогостоящим процессом в вычислительном отношении. Исключение Гаусса для обращения матрицы, вероятно, является самым старым решением, но этот подход не эффективно использует симметрию $\mathbf {R}$ . Более быстрый алгоритм — это рекурсия Левинсона, предложенная Норманом Левинсоном в 1947 году, которая рекурсивно вычисляет решение. ^{[ нужна ссылка ]} В частности, приведенные выше уравнения автокорреляции могут быть более эффективно решены с помощью алгоритма Дурбина. ^[3]

В 1986 году Филипп Дельсарт и Ю.В. Генен предложили улучшение этого алгоритма, названное расщепленной рекурсией Левинсона, которое требует примерно вдвое меньшего количества умножений и делений. ^[4] Он использует специальное свойство симметричности векторов параметров на последующих уровнях рекурсии. То есть расчеты оптимального предиктора, содержащего $p$ термины используют аналогичные вычисления для оптимального предиктора, содержащего $p-1$ условия.

Другой способ идентификации параметров модели — итеративное вычисление оценок состояния с использованием фильтров Калмана и получение максимального правдоподобия оценок в рамках алгоритмов максимизации ожидания .

Для равноотстоящих друг от друга значений полиномиальная интерполяция представляет собой линейную комбинацию известных значений. Если оценивается, что сигнал дискретного времени подчиняется полиному степени $p-1,$ тогда коэффициенты предиктора $a_{i}$ задаются соответствующей строкой треугольника коэффициентов биномиального преобразования. Эта оценка может быть подходящей для медленно меняющегося сигнала с низким уровнем шума. Прогнозы для первых нескольких значений $p$ являются

{\begin{array}{lcl}p=1&:&{\widehat {x}}(n)=1x(n-1)\\p=2&:&{\widehat {x}}(n)=2x(n-1)-1x(n-2)\\p=3&:&{\widehat {x}}(n)=3x(n-1)-3x(n-2)+1x(n-3)\\p=4&:&{\widehat {x}}(n)=4x(n-1)-6x(n-2)+4x(n-3)-1x(n-4)\\\end{array}}

См. также

Ссылки

^ «Фильтр Калмана — обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 24 июня 2022 г.
^ «Линейное предсказание — обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 24 июня 2022 г.
^ Рамирес, Массачусетс (2008). «Алгоритм Левинсона, основанный на изометрическом преобразовании Дурбина» (PDF) . Письма об обработке сигналов IEEE . 15 : 99–102. дои : 10.1109/ЛСП.2007.910319 . S2CID 18906207 .
^ Дельсарт, П. и Генин, Ю.В. (1986), Алгоритм разделения Левинсона , Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов , v. ASSP-34 (3), стр. 470–478

Дальнейшее чтение

Хейс, Миннесота (1996). Статистическая цифровая обработка сигналов и моделирование . Нью-Йорк: Дж. Уайли и сыновья. ISBN 978-0471594314 .
Левинсон, Н. (1947). «Критерий ошибки Винера RMS (среднеквадратичное значение) при проектировании и прогнозировании фильтров». Журнал математики и физики . 25 (4): 261–278. дои : 10.1002/sapm1946251261 .
Махул, Дж. (1975). «Линейное предсказание: обзор учебного пособия». Труды IEEE . 63 (5): 561–580. дои : 10.1109/PROC.1975.9792 .
Юле, ГУ (1927). «О методе исследования периодичности в возмущенных рядах с особым упором на числа солнечных пятен Вольфера» . Фил. Пер. Рой. Соц. А. 226 (636–646): 267–298. дои : 10.1098/rsta.1927.0007 . JSTOR 91170 .

Внешние ссылки

PLP и RASTA (и MFCC, и инверсия) в Matlab

[1] «Фильтр Калмана — обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 24 июня 2022 г.

[2] «Линейное предсказание — обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 24 июня 2022 г.

[3] Рамирес, Массачусетс (2008). «Алгоритм Левинсона, основанный на изометрическом преобразовании Дурбина» (PDF) . Письма об обработке сигналов IEEE . 15 : 99–102. дои : 10.1109/ЛСП.2007.910319 . S2CID 18906207 .

[4] Дельсарт, П. и Генин, Ю.В. (1986), Алгоритм разделения Левинсона , Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов , v. ASSP-34 (3), стр. 470–478

[1]

[2]

[3]

[4]