Мультиконусность

В сигналов обработке многоконусный анализ представляет собой метод оценки спектральной плотности, разработанный Дэвидом Дж. Томсоном . ^[1] ^[2] Он может оценить спектр мощности S _X стационарного эргодического с конечной дисперсией случайного процесса X , учитывая конечную непрерывную реализацию X в качестве данных.

Мотивация

Метод мультиконуса преодолевает некоторые ограничения непараметрического анализа Фурье . Применяя преобразование Фурье для извлечения спектральной информации из сигнала, мы предполагаем, что каждый коэффициент Фурье является надежным представлением амплитуды и относительной фазы соответствующей составляющей частоты. Однако это предположение в целом не справедливо для эмпирических данных. Например, одно испытание представляет собой только одну шумную реализацию основного интересующего процесса. Аналогичная ситуация возникает в статистике при оценке показателей центральной тенденции , т.е. оценка качества популяции с использованием отдельных лиц или очень маленьких выборок является плохой практикой. Аналогично, один образец процесса не обязательно обеспечивает надежную оценку его спектральных свойств. Более того, наивная спектральная плотность мощности , полученная из необработанного преобразования Фурье сигнала, является смещенной оценкой истинного спектрального содержания.

Важность усреднения при оценке (кросс)спектральной плотности. ^[3] (а) Синтетически сгенерированный шумный сигнал с двумя когерентными частотами: 0,03 и 0,6 Гц. (б) Оценки спектральной плотности мультиконусности (МТ). (c) Оценки квадратов когерентности с использованием анализа многоконусности Слепиана (толстая линия, незаштрихованная линия) и анализа перекрывающихся сегментов Уэлча (WOSA) (тонкая линия, заштрихованная область). (d) Оценка фазы оценки кросс-спектральной плотности с использованием MT (сплошная линия) и WOSA (пунктирная линия). При 0,03 Гц сигналы синфазны, а при 0,6 Гц — $-\pi /4$ не в фазе.

Эти проблемы часто решаются путем усреднения по множеству реализаций одного и того же события после применения постепенного снижения к каждому испытанию. Однако этот метод ненадежен при работе с небольшими наборами данных и нежелателен, если нежелательно ослаблять компоненты сигнала, которые различаются в разных исследованиях. Более того, даже когда доступно множество испытаний, неконусная периодограмма обычно смещена (за исключением белого шума), и смещение зависит от длины каждой реализации, а не от количества зарегистрированных реализаций. Применение одного сужения уменьшает смещение, но за счет увеличения дисперсии оценки из-за затухания активности в начале и конце каждого записанного сегмента сигнала.

Метод мультиконусности частично устраняет эти проблемы за счет получения нескольких независимых оценок из одной и той же выборки. Каждое снижение данных поэлементно умножается на сигнал, чтобы обеспечить оконное испытание, на основе которого оценивается мощность на каждой составляющей частоты. Поскольку каждый конус попарно ортогонален всем остальным конусам, оконные функции не коррелируют друг с другом. Окончательный спектр получается путем усреднения по всем суженным спектрам, восстанавливая таким образом часть информации, потерянной из-за частичного ослабления сигнала, возникающего в результате применения отдельных сужений.

Этот метод особенно полезен, когда доступно небольшое количество испытаний, поскольку он уменьшает дисперсию оценки сверх того, что возможно при использовании методов с одним конусом. Более того, даже когда доступно множество исследований, подход с несколькими ограничениями полезен, поскольку он позволяет более строго контролировать компромисс между систематической ошибкой и дисперсией, чем это возможно в случае с одним снижением.

Томсон выбрал функции Слепа. ^[4] или дискретные вытянутые сфероидальные последовательности в виде конусов, поскольку эти векторы взаимно ортогональны и обладают желаемыми свойствами спектральной концентрации (см. раздел о последовательностях Слепиана). На практике средневзвешенное значение часто используется для компенсации увеличенных потерь энергии при конусах более высокого порядка. ^[5]

Формулировка

Рассмотрим p-мерный стационарный случайный процесс с нулевым средним.

\mathbf {X} (t)={\lbrack X(1,t),X(2,t),\dots ,X(p,t)\rbrack }^{T}

Здесь T обозначает транспонирование матрицы. в нейрофизиологии Например, p относится к общему количеству каналов, аследовательно $\mathbf {X} (t)$ может представлять собой одновременное измерениеэлектрическая активность этих p- каналов. Пусть интервал выборкимежду наблюдениями быть $\Delta t$ , так что частота Найквиста равна $f_{N}=1/(2\Delta t)$ .

Многоступенчатый спектральный оценщик использует несколько различных уклонов данных, которые ортогональны друг другу. Многоступенчатая кросс-спектральная оценка между каналами l и m представляет собой среднее значение K прямых кросс-спектральных оценок между одной и той же парой каналов ( l и m ) и, следовательно, принимает форму

{\hat {S}}^{lm}(f)={\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}{\hat {S}}_{k}^{lm}(f).

Здесь, ${\hat {S}}_{k}^{lm}(f)$ (для $0\leq k\leq K-1$ ) — это к ^й прямая перекрестная спектральная оценка между каналами l и m и определяется выражением

{\hat {S}}_{k}^{lm}(f)={\frac {1}{N\Delta t}}{\lbrack J_{k}^{l}(f)\rbrack }^{*}{\lbrack J_{k}^{m}(f)\rbrack },

где

J_{k}^{l}(f)=\sum _{t=1}^{N}h_{t,k}X(l,t)e^{-i2\pi ft\Delta t}.

Слепианские последовательности

Последовательность $\lbrace h_{t,k}\rbrace$ является конусом данных для к ^й прямой кросс-спектральный оценщик ${\hat {S}}_{k}^{lm}(f)$ и выбирается следующим образом:

Мы выбираем набор K ортогональных конусов данных так, чтобы каждый из них обеспечивал хорошую защиту от утечки. Они задаются последовательностями Слепиана, ^[6] в честь Дэвида Слепиана (также известного в литературе как дискретные вытянутые сфероидальные последовательности или сокращенно DPSS) с параметром W и порядками от k = 0 до K - 1. Максимальный порядок K выбирается меньше числа Шеннона. $2NW\Delta t$ . Величина 2 Вт определяет полосу разрешения задачи спектральной концентрации , а $W\in (0,f_{N})$ . Когда l = m , мы получаем многоступенчатую оценку автоспектра l ^й канал. В последние годы словарь, основанный на модулированном DPSS, был предложен как полная альтернатива DPSS. ^[7]

См. также Функция окна: DPSS или окно Слепиана.

Приложения

Не ограничиваясь временными рядами, метод мультиконуса легко расширяется до нескольких декартовых измерений с использованием пользовательских функций Слепиана. ^[8] и может быть переформулирован для спектральной оценки на сфере с использованием функций Слепиана, построенных на основе сферических гармоник. ^[9] для приложений в геофизике и космологии ^[10]^[11] среди других. Подробное описание применения этого метода для анализа многоканальных данных, полученных в результате многократных испытаний в нейробиологии , биомедицинской инженерии и других областях, можно найти здесь . Этот метод в настоящее время используется в спектрального анализа наборе инструментов Chronux .

См. также

Периодограмма

Ссылки

^ Томсон, DJ (1982) Оценка спектра и гармонический анализ . Труды IEEE , 70, 1055–1096.
^ * Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 13.4.3. Многоконусные методы и функции Слепа », Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
^ Саймонс, Ф.Дж.; Коренага, Дж.; Зубер, МТ (2000). «Изостатическая реакция австралийской литосферы: оценка эффективной упругой толщины и анизотропии с использованием многоконусного анализа». 105 (Б8): 19163-19184. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Саймонс, Ф.Дж.; Платтнер, А. (2015). «Скалярные и векторные функции Слепиана, сферическая оценка сигнала и спектральный анализ». Справочник по геоматематике . стр. 2563–2608. дои : 10.1007/978-3-642-54551-1_30 . ISBN 978-3-642-54550-4 .
^ Персиваль, Д.Б. и А.Т. Уолден. Спектральный анализ для физических приложений: многомерные и традиционные одномерные методы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1993.
^ Слепян, Д. (1978) «Вытянутые сфероидальные волновые функции, анализ Фурье и неопределенность - V: Дискретный случай». Технический журнал Bell System , 57, 1371–1430 гг.
^ Э. Сейдич, М. Луччини, С. Примак, К. Баддур, Т. Виллинк, «Оценка канала с использованием модулированных дискретных вытянутых сфероидальных последовательностей на основе кадров», в Proc. Международной конференции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP 2008) , Лас-Вегас, Невада, США, 31 марта – 4 апреля 2008 г., стр. 2849–2852.
^ Саймонс, Ф.Дж.; Ван, Д.В. (2011). «Пространственно-спектральная концентрация в декартовой плоскости». GEM: Международный журнал по геоматематике . 2 :1–36. дои : 10.1007/s13137-011-0016-z . .
^ Саймонс, Ф.Дж.; Дален, ФА; Вечорек, Массачусетс (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». Обзор СИАМ . 48 (3): 504–536. arXiv : math/0408424 . Бибкод : 2006SIAMR..48..504S . дои : 10.1137/S0036144504445765 .
^ Вечорек, Массачусетс; Саймонс, Ф.Дж. (2007). «Многоконусная спектральная оценка с минимальной дисперсией на сфере». Журнал анализа и приложений Фурье . 13 (6): 665. doi : 10.1007/s00041-006-6904-1 .
^ Дален, ФА; Саймонс, Ф.Дж. (2008). "Спектральная оценка на сфере в геофизике и космологии" . Международный геофизический журнал . 174 (3): 774. arXiv : 0705.3083 . Бибкод : 2008GeoJI.174..774D . дои : 10.1111/j.1365-246X.2008.03854.x .

Внешние ссылки

[1] Библиотеки C++/Octave для многоконусного метода, включая адаптивное взвешивание (размещено на GitHub).
[2] Документация по многоконусному методу из реализации SSA-MTM Toolkit.
[3] Библиотека Fortran 90 с дополнительными многовариантными приложениями.
[4] База кода MATLAB для генерации сферических скалярных функций Слепова.
[5] База кода MATLAB для выполнения сферического многоконусного анализа.
[6] База кода MATLAB для генерации декартовых функций Слепова.
[7] База кода MATLAB для генерации сферических векторных функций Слепова.
[8] Модуль Python
[9] R (язык программирования) Многоконусный пакет
[10] Скрипт S-Plus для генерации последовательностей Слепиана (dpss)

[1] Томсон, DJ (1982) Оценка спектра и гармонический анализ . Труды IEEE , 70, 1055–1096.

[2] * Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 13.4.3. Многоконусные методы и функции Слепа », Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

[3] Саймонс, Ф.Дж.; Коренага, Дж.; Зубер, МТ (2000). «Изостатическая реакция австралийской литосферы: оценка эффективной упругой толщины и анизотропии с использованием многоконусного анализа». 105 (Б8): 19163-19184. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[4] Саймонс, Ф.Дж.; Платтнер, А. (2015). «Скалярные и векторные функции Слепиана, сферическая оценка сигнала и спектральный анализ». Справочник по геоматематике . стр. 2563–2608. дои : 10.1007/978-3-642-54551-1_30 . ISBN 978-3-642-54550-4 .

[5] Персиваль, Д.Б. и А.Т. Уолден. Спектральный анализ для физических приложений: многомерные и традиционные одномерные методы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1993.

[6] Слепян, Д. (1978) «Вытянутые сфероидальные волновые функции, анализ Фурье и неопределенность - V: Дискретный случай». Технический журнал Bell System , 57, 1371–1430 гг.

[7] Э. Сейдич, М. Луччини, С. Примак, К. Баддур, Т. Виллинк, «Оценка канала с использованием модулированных дискретных вытянутых сфероидальных последовательностей на основе кадров», в Proc. Международной конференции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP 2008) , Лас-Вегас, Невада, США, 31 марта – 4 апреля 2008 г., стр. 2849–2852.

[8] Саймонс, Ф.Дж.; Ван, Д.В. (2011). «Пространственно-спектральная концентрация в декартовой плоскости». GEM: Международный журнал по геоматематике . 2 :1–36. дои : 10.1007/s13137-011-0016-z . .

[9] Саймонс, Ф.Дж.; Дален, ФА; Вечорек, Массачусетс (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». Обзор СИАМ . 48 (3): 504–536. arXiv : math/0408424 . Бибкод : 2006SIAMR..48..504S . дои : 10.1137/S0036144504445765 .

[10] Вечорек, Массачусетс; Саймонс, Ф.Дж. (2007). «Многоконусная спектральная оценка с минимальной дисперсией на сфере». Журнал анализа и приложений Фурье . 13 (6): 665. doi : 10.1007/s00041-006-6904-1 .

[11] Дален, ФА; Саймонс, Ф.Дж. (2008). "Спектральная оценка на сфере в геофизике и космологии" . Международный геофизический журнал . 174 (3): 774. arXiv : 0705.3083 . Бибкод : 2008GeoJI.174..774D . дои : 10.1111/j.1365-246X.2008.03854.x .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]