Спектральная оценка максимальной энтропии

Спектральная оценка максимальной энтропии — это метод оценки спектральной плотности . Цель — улучшить спектральное качество на основе принципа максимальной энтропии . Метод основан на выборе спектра, соответствующего наиболее случайному или наиболее непредсказуемому временному ряду, автокорреляционная функция которого согласуется с известными значениями. Это предположение, которое соответствует понятию максимальной энтропии, используемому как в статистической механике , так и в теории информации , является максимально уклончивым по отношению к неизвестным значениям автокорреляционной функции временного ряда. Это просто применение моделирования максимальной энтропии к любому типу спектра, которое используется во всех областях, где данные представлены в спектральной форме. Полезность метода варьируется в зависимости от источника спектральных данных, поскольку она зависит от объема предполагаемых знаний о спектре, которые можно применить к модели.

При моделировании максимальной энтропии распределения вероятностей создаются на основе того, что известно, что приводит к типу статистического вывода о недостающей информации, который называется оценкой максимальной энтропии. Например, при спектральном анализе ожидаемая форма пика часто известна, но в зашумленном спектре центр пика может быть нечетким. В таком случае ввод известной информации позволяет модели максимальной энтропии получить лучшую оценку центра пика, тем самым улучшая спектральную точность.

Описание метода

В периодограммном подходе к вычислению спектров мощности выборочная автокорреляционная функция умножается на некоторую оконную функцию, а затем преобразуется Фурье. Окно применяется для обеспечения статистической стабильности, а также для предотвращения утечки из других частей спектра. Однако окно ограничивает спектральное разрешение.

Метод максимальной энтропии пытается улучшить спектральное разрешение путем экстраполяции корреляционной функции за пределы максимального лага таким образом, чтобы энтропия соответствующей функции плотности вероятности была максимальной на каждом этапе экстраполяции.

Стохастический процесс с максимальной скоростью энтропии, который удовлетворяет заданным эмпирическим ограничениям автокорреляции и дисперсии, представляет собой авторегрессионную модель с независимым и одинаково распределенным гауссовским входным сигналом с нулевым средним значением.

Следовательно, метод максимальной энтропии эквивалентен методу наименьших квадратов, подгоняющему доступные данные временных рядов к авторегрессионной модели.

$X_{t}=\sum _{k=1}^{M}\alpha _{k}X_{t-k}+\epsilon _{k}$

где $\epsilon _{k}$ независимы и одинаково распределены, как $N(0,\sigma ^{2})$. Неизвестные коэффициенты $\alpha _{k}$ находятся методом наименьших квадратов. После определения коэффициентов авторегрессии спектр данных временных рядов оценивается путем оценки функции спектральной плотности мощности подобранной модели авторегрессии.

${\hat {S}}(\omega )={\frac {\sigma ^{2}T_{s}}{\left|1+\sum _{k=1}^{M}\alpha _{k}e^{-ik\omega T_{s}}\right|^{2}}},$

где $T_{s}$ период выборки и $i={\sqrt {-1}}$ является мнимой единицей.

Ссылки

• Ковер Т. и Томас Дж. (1991) Элементы теории информации. Джон Уайли и сыновья, Inc.
• С. Лоуренс Марпл-младший (1987). Цифровой спектральный анализ с приложениями . Прентис-Холл . ISBN  0132141493 .
• Бург Дж. П. (1967). Спектральный анализ максимальной энтропии . Протоколы 37-го собрания Общества разведочной геофизики, Оклахома-Сити.

Внешние ссылки

• Набор инструментов kSpectra для Mac OS X от SpectraWorks.
• memspectum: пакет Python для оценки спектра максимальной энтропии с помощью Python [1]