Синусоидальная модель

В статистике , обработке сигналов и анализе временных рядов синусоидальная модель используется для аппроксимации последовательности Y _i к синусоидальной функции:

$Y_{i}=C+\alpha \sin(\omega T_{i}+\phi )+E_{i}$

где C определяющая средний уровень, α — амплитуда синуса — константа , , ω — угловая частота , T _i — временная переменная, φ — фазовый сдвиг , а E _i — последовательность ошибок.

Эту синусоидальную модель можно аппроксимировать с помощью нелинейного метода наименьших квадратов ; Чтобы получить хорошее соответствие, подпрограммам могут потребоваться хорошие начальные значения для неизвестных параметров.Подбор модели с одной синусоидой является частным случаем оценки спектральной плотности и спектрального анализа методом наименьших квадратов .

Хорошие стартовые значения

Хорошее стартовое значение для среднего

Хорошее начальное значение C можно получить, вычислив среднее значение данных. Если данные показывают тенденцию , т. е. предположение о постоянном местоположении нарушается, можно заменить C на линейную или квадратичную аппроксимацию методом наименьших квадратов . То есть модель становится

$Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}$

или

$Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i}+B_{2}T_{i}^{2})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}$

Хорошее стартовое значение частоты

Начальное значение частоты можно получить из доминирующей частоты в периодограмме . демодуляции . Для уточнения этой первоначальной оценки частоты можно использовать сложный фазовый график

Хорошие стартовые значения амплитуды

Среднеквадратичное значение удаленных данных можно масштабировать на квадратный корень из двух, чтобы получить оценку амплитуды синусоиды. Сложный график амплитуды демодуляции можно использовать, чтобы найти хорошее начальное значение амплитуды. Кроме того, этот график может указать, является ли амплитуда постоянной во всем диапазоне данных или она меняется. Если график по существу плоский, т. е. имеет нулевой наклон, то разумно предположить постоянную амплитуду в нелинейной модели. Однако, если наклон варьируется в пределах диапазона графика, может потребоваться корректировка модели следующим образом:

$Y_{i}=C+(B_{0}+B_{1}T_{i})\sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}$

То есть можно заменить α функцией времени. В приведенной выше модели указана линейная подгонка, но при необходимости ее можно заменить более сложной функцией.

Проверка модели

Как и в случае с любой статистической моделью , ее соответствие должно быть подвергнуто графическим и количественным методам проверки модели . Например, график последовательности запуска для проверки значительных изменений в местоположении, масштабе, эффектах запуска и выбросах . График задержки можно использовать для проверки остатков независимости . Выбросы также появляются на графике задержки, а также на гистограмме и графике нормальной вероятности для проверки асимметрии или других отклонений от нормы в остатках.

Расширения

Другой метод заключается в преобразовании нелинейной регрессии в линейную благодаря удобному интегральному уравнению. Тогда нет необходимости в первоначальном предположении и нет необходимости в итеративном процессе: подгонка получается напрямую.

См. также

• Алгоритм определения высоты тона
• Оценка спектральной плотности § Одиночный тон

Внешние ссылки

• Пример отклонения балки

Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.