2D Z-преобразование

Двумерное Z-преобразование , аналогичное Z-преобразованию , используется при обработке многомерных сигналов для связи двумерного сигнала дискретного времени двумерная поверхность в четырехмерном пространстве, на которой лежит преобразование Фурье. с комплексной частотной областью, в которой известна как единичная поверхность или единичный бицикл. 2D Z-преобразование определяется формулой

$X_{z}(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }x(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}$

где $n_{1},n_{2}$ являются целыми числами и $z_{1},z_{2}$ представлены комплексными числами:

$z_{1}=Ae^{j\phi _{1}}=A(\cos {\phi _{1}}+j\sin {\phi _{1}})\,$

$z_{2}=Be^{j\phi _{2}}=B(\cos {\phi _{2}}+j\sin {\phi _{2}})\,$

2D Z-преобразование — это обобщенная версия 2D преобразования Фурье . Он сходится для гораздо более широкого класса последовательностей и является полезным инструментом, позволяющим сделать выводы о характеристиках системы, таких как стабильность BIBO . Он также используется для определения связи между входом и выходом линейной инвариантной к сдвигу системы системы , например, для управления разностным уравнением для определения передаточной функции .

Регион конвергенции (РПЦ)

Область конвергенции — это набор точек в комплексном пространстве, где:

$ROC=|X_{z}(z_{1},z_{2})|<\infty$

В 1D случае это представлено кольцом , а 2D представление кольца известно как область Рейнхардта . Отсюда можно заключить, что только величина, а не фаза точки в точке $(z_{1},z_{2})$ определит, находится ли он в пределах РПЦ. Чтобы двумерное Z-преобразование полностью определяло систему, в которой оно предназначено для описания, также необходимо знать связанный с ним ROC. Выводы можно сделать об области конвергенции на основе области поддержки исходной последовательности. $(n_{1},n_{2})$.

Последовательности с конечной опорой

Последовательность с областью поддержки, ограниченной областью $(M_{1},M_{2})$ в рамках $(n_{1},n_{2})$ плоскость может быть представлена ​​в z-области как:

$X_{z}(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=0}^{M_{1}}\sum _{n_{2}=0}^{M_{2}}x(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}$

Поскольку границы суммирования конечны, пока z1 и z2 конечны, двумерное Z-преобразование будет сходиться для всех значений z1 и z2, за исключением некоторых случаев, когда z1 = 0 или z2 = 0 в зависимости от $x(n_{1},n_{2})$.

Последовательности первого квадранта и клина

Последовательности с областью поддержки в первом квадранте $(n_{1},n_{2})$ плоскости имеют следующее 2D Z-преобразование:

$X_{z}(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }x(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}$

Из преобразования, если точка $z_{01},z_{02}$ лежит внутри ROC, то любая точка с величиной

$\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}\left|z_{01}\right|;\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}\left|z_{02}\right|$

также лежат внутри РПЦ. Из-за этих условий граница ROC должна иметь отрицательный наклон или наклон 0. Это можно предположить, поскольку, если бы наклон был положительным, были бы точки, которые удовлетворяют предыдущему условию, но также лежат за пределами ROC. Например, последовательность:

$x_{n}(n_{1},n_{2})=a_{1}^{n}\delta (n_{1}-n_{2})u[n_{1},n_{2}]$ имеет $z$ трансформировать

$X_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{1-az_{1}^{-1}z_{2}^{-1}}}$

Очевидно, что это сходится только для

$\left|a\right|<\left|z_{01}\right|\left|z_{02}\right|=\ln(\left|a\right|)<\ln(\left|z_{01}\right|)-\ln(\left|z_{02}\right|)$

Таким образом, граница РПЦ — это просто линия с наклоном -1 в $ln(z_{01}),ln(z_{02})$ самолет.

В случае клиновой последовательности, где область опоры меньше, чем у полуплоскости. Предположим, что такая последовательность имеет область поддержки в первом квадранте и область во втором квадранте, где $n_{01}=-Ln_{02}$. Если $l$ определяется как $l=_{01}+Ln_{02}$ новое 2D Z-преобразование становится:

$X_{z}(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }x(l-Ln_{2},n_{2})z_{1}^{-l+Ln_{2}}z_{2}^{-n_{2}}$

Последовательность с областью поддержки над клином и соответствующим ей ROC

Это сходится, если:

$\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}\left|z_{01}\right|;\left|z_{1}^{-L}z_{2}\right|{\text{ ≥ }}\left|z_{01}^{-L}z_{02}\right|$

Эти условия затем можно использовать для определения ограничений на наклон границы ROC аналогично последовательности первого квадранта. Сделав это, человек получает:

$ln(\left|z_{1}\right|){\text{ ≥ }}ln(\left|z_{01})\right|)$ и $ln(\left|z_{2}\right|){\text{ ≥ }}Lln(\left|z_{1})\right|)+(ln(\left|z_{02})\right|)-Lln(\left|z_{01})\right|))$

Последовательности с областью поддержки во всех квадрантах

Последовательность с неограниченной областью поддержки может иметь ROC любой формы и должна определяться на основе последовательности. $(n_{1},n_{2})$. Ниже приведены несколько примеров:

$x_{n}(n_{1},n_{2})=e^{(-n_{1}^{2}-n_{2}^{2})}$

сойдутся для всех $z_{1},z_{2}$. Пока:

$x_{n}(n_{1},n_{2})=a^{(n_{1})}a^{(n_{2})},a{\text{ ≥ }}1$

не сходится ни при каком значении $z_{1},z_{2}$. Однако это крайние случаи, и обычно Z-преобразование сходится на конечной площади.

Последовательность с поддержкой по всему $n_{1},n_{2}$ можно записать как сумму каждой последовательности квадрантов:

$x_{n}(n_{1},n_{2})=x_{1}(n_{1},n_{2})+x_{2}(n_{1},n_{2})+x_{3}(n_{1},n_{2})+x_{4}(n_{1},n_{2})$

Теперь предположим:

$x_{1}(n_{1},n_{2})={\begin{cases}x_{n}(n_{1},n_{2}),&{\mbox{if }}n_{1}>0,n_{2}>0\\0.5x_{n}(n_{1},n_{2}),&{\mbox{if }}n_{1}=0,n_{2}>0;n_{1}>0,n_{2}=0\\0.25x_{n}(n_{1},n_{2}),&{\mbox{if }}n_{1}=n_{2}=0\\0,otherwise\end{cases}}$

и $x_{2}(n_{1},n_{2}),x_{3}(n_{1},n_{2}),x_{4}(n_{1},n_{2})$ также имеют аналогичные определения в своих соответствующих квадрантах. Тогда Область сходимости — это просто пересечение четырех двумерных Z-преобразований в каждом квадранте.

Использование 2D Z-преобразования для решения разностных уравнений

Двумерное разностное уравнение связывает входные данные с выходными данными системы линейного сдвига (LSI) следующим образом:

$\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})y(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})=\sum _{r_{1}=0}^{R_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{R_{2}-1}a(r_{1},r_{2})x(n_{1}-r_{1},n_{2}-r_{2})$

Из-за конечных ограничений вычислений можно предположить, что и a, и b являются последовательностями конечной протяженности. После использования z-преобразования уравнение принимает вид:

$Y_{z}(z_{1},z_{2})\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})z_{1}^{-k_{1}}z_{2}^{-k_{2}}=X_{z}(z_{1},z_{2})\sum _{r_{1}=0}^{R_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{R_{2}-1}a(r_{1},r_{2})z_{1}^{-r_{1}}z_{2}^{-r_{2}}$

Это дает:

$H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {Y_{z}(z_{1},z_{2})}{X_{z}(z_{1},z_{2})}}={\frac {\sum _{r_{1}=0}^{R_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{R_{2}-1}a(r_{1},r_{2})z_{1}^{-r_{1}}z_{2}^{-r_{2}}}{\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})z_{1}^{-k_{1}}z_{2}^{-k_{2}}}}={\frac {A_{z}(z_{1},z_{2})}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}$

Таким образом, мы определили связь между входом и выходом системы БИС.

Использование 2D Z-преобразования для определения устойчивости

Теорема Шанкса I

Для рекурсивного фильтра первого квадранта, в котором $H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}$. Фильтр стабилен тогда и только тогда, когда:

$B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0$ по всем пунктам $(z_{1},z_{2})$ такой, что $\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}1$ или $\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}1$.

Теорема Шанкса II

Для рекурсивного фильтра первого квадранта, в котором $H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}$. Фильтр стабилен тогда и только тогда, когда:

$B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0,\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}1,\left|z_{2}\right|=1$

$B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0,\left|z_{1}\right|=1,\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}1$

Теорема Хуанга

Для рекурсивного фильтра первого квадранта, в котором $H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}$. Фильтр стабилен тогда и только тогда, когда:

$B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0,\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}1,\left|z_{2}\right|=1$

$B_{z}(a,z_{2})\neq 0,\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}1$ для любого $a$ такой, что $\left|a\right|{\text{ ≥ }}1$

Теорема Декарло и Стринтзиса.

Для рекурсивного фильтра первого квадранта, в котором $H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}$. Фильтр стабилен тогда и только тогда, когда:

$B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0,\left|z_{1}\right|=1,\left|z_{2}\right|=1$

$B_{z}(a,z_{2})\neq 0,\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}1$ для любого $a$ такой, что $\left|a\right|=1$

$B_{z}(z_{1},b)\neq 0,\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}1$ для любого $b$ такой, что $\left|b\right|=1$

Расчет 2D Z-преобразований

Подход 1: Конечные последовательности

Для конечных последовательностей двумерное Z-преобразование представляет собой просто сумму величин каждой точки, умноженную на $z_{1},z_{2}$ возведен в степень, обратную местоположению соответствующей точки. Например, последовательность:

$x(n_{1},n_{2})=3\delta (n_{1},n_{2})+6\delta (n_{1}-1,n_{2})+2\delta (n_{1},n_{2}-1)+4\delta (n_{1}-1,n_{2}-1)$

имеет Z-преобразование:

$X(z_{1},z_{2})=3+6z_{1}^{-1}+2z_{2}^{-1}+4z_{1}^{-1}z_{2}^{-1}$

Поскольку это конечная последовательность, ROC для всех $z_{1},z_{2}$.

Подход 2: Последовательности только со значениями $n_{1}$ или $n_{2}$

Для последовательности с областью поддержки только $n_{1}=0$ или $n_{2}=0$последовательность можно рассматривать как 1D-сигнал, а 1D Z-преобразование можно использовать для решения 2D Z-преобразования. Например, последовательность:

$X_{z}(z_{1},z_{2})={\begin{cases}\delta (n_{1}),&{\mbox{if }}0{\text{≤}}n_{2}{\text{≤}}N-1\\0,otherwise\end{cases}}$

Ясно дано $u[n_{2}]-u[n_{2}-N]$.

Следовательно, его Z-преобразование определяется выражением:

$X_{z}(z_{1},z_{2})=1+z_{2}^{-1}+z_{2}^{-2}+...+z_{2}^{-N+1}$

$X_{z}(z_{1},z_{2})={\begin{cases}N,&{\mbox{if }}z_{2}=1\\{\frac {1-z_{2}^{-N}}{1-z_{2}^{-1}}},otherwise\end{cases}}$

Поскольку это конечная последовательность, ROC для всех $z_{1},z_{2}$.

Подход 3: Разделимые последовательности

Разделимая последовательность определяется как $x(n_{1},n_{2})=f(n_{1})g(n_{2})$

Для разделимой последовательности найти двумерное Z-преобразование так же просто, как разделить последовательность и взять произведение одномерного Z-преобразования каждого сигнала. $f(n_{1})$ и $g(n_{2})$. Например, рассмотрим последовательность

$x(n_{1},n_{2})=a^{n_{1}+n_{2}}u[n_{1},n_{2}]=a^{n_{1}}u[n_{1}]a^{n_{2}}u[n_{2}]=f(n_{1})g(n_{2})$.

Его Z-преобразование имеет вид

$X_{z}(z_{1},z_{2})=F_{z}(z_{1})G(z_{2})=({\frac {1}{1-az_{1}^{-1}}})({\frac {1}{1-az_{2}^{-1}}})={\frac {1}{(1-az_{1}^{-1})(1-az_{2}^{-1})}}$.

РПЦ дается

$\left|z_{1}\right|>\left|a\right|$ ; $\left|z_{2}\right|>\left|a\right|$.