Необоснованная эффективность математики в естественных науках

« Необоснованная эффективность математики в естественных науках » — статья 1960 года, написанная физиком Юджином Вигнером и опубликованная в журнале Communication in Pure and Applied Mathematics . [1] [2] В ней Вигнер отмечает, что структура теоретической физики математическая часто указывает путь к дальнейшему развитию этой теории и эмпирическим предсказаниям. Математические теории часто обладают предсказательной силой при описании природы.

Наблюдения и аргументы [ править ]

Вигнер утверждает, что математические концепции применимы далеко за пределами контекста, в котором они были первоначально разработаны. Он пишет: «Важно отметить, что математическая формулировка часто грубого опыта физика приводит в сверхъестественном количестве случаев к поразительно точному описанию большого класса явлений». [3] Он добавляет, что наблюдение «законы природы написаны на языке математики », сделанное Галилеем триста лет назад, «теперь более верно, чем когда-либо прежде».

Первый пример Вигнера — закон тяготения , сформулированный Исааком Ньютоном . Первоначально этот закон использовался для моделирования свободно падающих тел на поверхности Земли, но был расширен на основе того, что Вигнер называет «очень скудными наблюдениями». [3] для описания движения планет, где оно «оказалось точным, превзойдя все разумные ожидания». [4] Вигнер говорит, что «Ньютон   ... заметил, что парабола пути брошенного камня на Земле и круг пути Луны по небу являются частными случаями одного и того же математического объекта эллипса, и постулировал универсальный закон тяготения на на основе единственного и в то время весьма приблизительного числового совпадения».

Второй пример Вигнера исходит из квантовой механики : Макс Борн «заметил, что некоторые правила вычислений, данные Гейзенбергом , формально идентичны правилам вычислений с матрицами, установленными задолго до этого математиками. Тогда Борн, Джордан и Гейзенберг предложили заменили матрицами переменные положения и импульса в уравнениях классической механики. Они применили правила матричной механики к нескольким сильно идеализированным задачам, и результаты были вполне удовлетворительными. Однако в то время не было рациональных доказательств того, что их матрица. механика окажется верной в более реалистичных условиях». Но Вольфганг Паули обнаружил, что их работа точно описывает атом водорода : «Это приложение дало результаты, согласующиеся с опытом». Атом гелия с двумя электронами более сложен, но «тем не менее, расчет самого низкого энергетического уровня гелия, выполненный несколько месяцев назад Киношитой в Корнелле и Базли в Бюро стандартов, согласуется с экспериментальными данными. данные в пределах точности наблюдений, которая составляет одну десятимиллионную, конечно, в этом случае мы «получили» из уравнений что-то, чего не вводили». То же самое относится и к атомные спектры более тяжелых элементов.

Последний пример Вигнера взят из квантовой электродинамики : «В то время как теория гравитации Ньютона все еще имела очевидную связь с опытом, опыт вошел в формулировку матричной механики только в уточненной или сублимированной форме предписаний Гейзенберга. Квантовая теория лэмбовского сдвига , как ее понимал Бете и установленная Швингером , является чисто математической теорией, и единственный прямой вклад эксперимента заключался в том, чтобы показать существование измеримого эффекта. Согласие с расчетом лучше, чем одна тысячная».

Существуют и другие примеры, помимо упомянутых Вигнером. Другой часто цитируемый пример — уравнения Максвелла , выведенные для моделирования элементарных электрических и магнитных явлений, известных в середине 19 века. Уравнения также описывают радиоволны, открытые Дэвидом Эдвардом Хьюзом в 1879 году, примерно во время Джеймса Клерка Максвелла смерти .

Ответы [ править ]

Среди полученных откликов на диссертацию можно отметить:

  • Ричард Хэмминг по информатике, «Необоснованная эффективность математики». [5]
  • Артур Леск по молекулярной биологии, «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». [6]
  • Питер Норвиг , искусственный интеллект, «Необоснованная эффективность данных». [7]
  • Макс Тегмарк по физике, «Математическая Вселенная». [8]
  • Айвор Грэттан-Гиннесс по математике, «Разгадка тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». [9]
  • Вела Велупилай по экономике, «Необоснованная неэффективность математики в экономике». [10]

Ричард Хэмминг [ править ]

Математик и премии Тьюринга лауреат Ричард Хэмминг размышлял и расширил книгу Вигнера «Необоснованная эффективность » в 1980 году, обсудив четыре «частичных объяснения» этой теории: [5] и пришел к выводу, что они неудовлетворительны. Они были:

1. Люди видят то, что ищут . Убеждение в том, что наука экспериментально обоснована, верно лишь частично. Хэмминг приводит четыре примера нетривиальных физических явлений, которые, по его мнению, возникли благодаря используемым математическим инструментам, а не внутренним свойствам физической реальности.

  • Хэмминг предполагает, что Галилей открыл закон падения тел не путем экспериментов, а путем простого, хотя и осторожного размышления. [11] Хэмминг представляет себе, что Галилей проводил следующий мысленный эксперимент (эксперимент, который Хэмминг называет «схоластическим рассуждением», описан в книге Галилея « О движении »).

Предположим, что падающее тело разбилось на две части. Конечно, обе части немедленно замедлятся до соответствующей скорости. Но предположим далее, что один кусок случайно коснулся другого. Будут ли они теперь одним целым и оба ускорятся? Предположим, я связываю две части вместе. Насколько плотно мне нужно это сделать, чтобы они стали одним целым? Легкая струна? Веревка? Клей? Когда две части становятся одним? [12]

Падающее тело просто не может «ответить» на такие гипотетические «вопросы». Следовательно, Галилей пришел бы к выводу, что «падающим телам не нужно ничего знать, если все они падают с одинаковой скоростью, если только им не мешает другая сила». Придумав этот аргумент, Хэмминг нашел соответствующее обсуждение у Полиа (1963: 83-85). [13] Отчет Хэмминга не демонстрирует осведомленности о научных дебатах 20-го века о том, что сделал Галилей. [ нужны разъяснения ]

2. Люди создают и выбирают математику, соответствующую ситуации . Имеющаяся под рукой математика не всегда работает. Например, когда простые скаляры оказались неудобными для понимания сил, были изобретены сначала векторы , а затем тензоры .

3. Математика рассматривает лишь часть человеческого опыта . Большая часть человеческого опыта подпадает не под науку или математику, а под философию ценности , включая этику , эстетику и политическую философию . Утверждение, что мир можно объяснить с помощью математики, равнозначно акту веры.

4. Эволюция научила людей мыслить математически . Самые ранние формы жизни, должно быть, содержали в себе семена человеческой способности создавать и следовать длинным цепочкам тесных рассуждений.

Макс Тегмарк [ править ]

Физик Макс Тегмарк утверждал, что эффективность математики в описании внешней физической реальности объясняется тем, что физический мир представляет собой абстрактную математическую структуру. [8] [15] Эта теория, называемая гипотезой математической вселенной , отражает идеи, ранее выдвинутые Питером Аткинсом . [16] Однако Тегмарк прямо заявляет, что «истинная математическая структура, изоморфная нашему миру, если она существует, еще не найдена». Скорее, математические теории в физике успешны, потому что они аппроксимируют более сложную и предсказательную математику. По словам Тегмарка, «наши успешные теории — это не математика, приближающая физику, а простая математика, приближающая более сложную математику».

Айвор Граттан-Гиннесс [ править ]

Айвор Грэттан-Гиннесс нашел рассматриваемую эффективность в высшей степени разумной и объяснимой с точки зрения таких понятий, как аналогия, обобщение и метафора. [9] [ нужны разъяснения ]

Майкл Атья [ править ]

Ситуация изменилась благодаря Майклу Атье с его эссе «Необоснованная эффективность физики в математике». Он утверждал, что набор инструментов физики позволяет такому практикующему специалисту, как Эдвард Виттен, выйти за рамки стандартной математики, в частности, геометрии 4-многообразий . Инструментами физика называют квантовую теорию поля , специальную теорию относительности , неабелеву калибровочную теорию , спин , киральность , суперсимметрию и электромагнитную двойственность . [17]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Вигнер, EP (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках. Лекция Рихарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете, 11 мая 1959 года» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID   6112252 . Архивировано из оригинала 12 февраля 2021 г.
  2. ↑ Примечание: упоминание Вигнером Келлнера и Хиллерааса «... Джордан чувствовал, что мы были бы, по крайней мере временно, беспомощны, если бы произошло неожиданное разногласие в теории атома гелия. В то время она была разработана Келлнером и Хиллераасом. Хиллераасом...» относится к Георгу В. Келлнеру ( Келлнер, Георг В. (1927). «Напряжение ионизации гелия по теории Шрёдингера». Журнал физики . 44 (1–2): 91–109. Бибкод : 1927ZPhy...44...91K . дои : 10.1007/BF01391720 . S2CID   122213875 . ) и Эгилю Хиллераасу .
  3. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Вигнер 1960 , § Действительно ли успех физических теорий удивителен? п. 8
  4. ^ Вигнер 1960 , с. 9
  5. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Хэмминг, RW (1980). «Необоснованная эффективность математики» . Американский математический ежемесячник . 87 (2): 81–90. дои : 10.2307/2321982 . hdl : 10945/55827 . JSTOR   2321982 . Архивировано из оригинала 22 июня 2022 г. Проверено 30 июля 2021 г.
  6. ^ Леск, AM (2000). «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». Математический интеллект . 22 (2): 28–37. дои : 10.1007/BF03025372 . S2CID   120102813 .
  7. ^ Халеви, А .; Норвиг, П .; Перейра, Ф. (2009). «Необоснованная эффективность данных» (PDF) . Интеллектуальные системы IEEE . 24 (2): 8–12. дои : 10.1109/MIS.2009.36 . S2CID   14300215 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2022 г. Проверено 4 сентября 2015 г.
  8. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Тегмарк, Макс (2008). «Математическая Вселенная». Основы физики . 38 (2): 101–150. arXiv : 0704.0646 . Бибкод : 2008FoPh...38..101T . дои : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID   9890455 .
  9. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Граттан-Гиннесс, И. (2008). «Разгадка тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». Математический интеллект . 30 (3): 7–17. дои : 10.1007/BF02985373 . S2CID   123174309 .
  10. ^ Велупилай, КВ (2005). «Необоснованная неэффективность математики в экономике». Кембриджский экономический журнал . 29 (6): 849–872. CiteSeerX   10.1.1.194.6586 . дои : 10.1093/cje/bei084 .
  11. ^ «Необоснованная эффективность математики - Р. У. Хэмминг - Некоторые частичные объяснения» . ned.ipac.caltech.edu . Проверено 6 января 2024 г.
  12. ^ Ван Хелден, Альберт (1995). «В движении» . Проект Галилео . Архивировано из оригинала 21 декабря 2017 года . Проверено 16 октября 2013 г.
  13. ^ Полиа, Джордж ; Боуден, Леон ; Школьная группа по изучению математики (1963). Математические методы в науке; курс лекций . Исследования по математике. Том. 11. Стэнфорд: Школьная группа по изучению математики. OCLC   227871299 .
  14. ^ Фолланд, Джеральд Б.; Ситарам, Аллади (1997). «Принцип неопределенности: математический обзор». Журнал анализа и приложений Фурье . 3 (3): 207–238. дои : 10.1007/BF02649110 . S2CID   121355943 .
  15. ^ Тегмарк, Макс (2014). Наша математическая Вселенная . Кнопф. ISBN  978-0-307-59980-3 .
  16. ^ Аткинс, Питер (1992). Возвращение к творению . У.Х.Фриман. ISBN  978-0-7167-4500-6 .
  17. ^ Атья, Майкл (2002). «Необоснованная эффективность физики в математике». В Фокасе А.С. (ред.). Основные моменты математической физики . Американское математическое общество . стр. 25–38. ISBN  0-8218-3223-9 . OCLC   50164838 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=The_Unreasonable_Effectiveness_of_Mathematics_in_the_Natural_Sciences&oldid=1225989235"