Необоснованная эффективность математики в естественных науках

« Необоснованная эффективность математики в естественных науках » — статья 1960 года, написанная физиком Юджином Вигнером и опубликованная в журнале Communication in Pure and Applied Mathematics . ^[1]^[2]В ней Вигнер отмечает, что структура теоретической физики математическая часто указывает путь к дальнейшему развитию этой теории и эмпирическим предсказаниям. Математические теории часто обладают предсказательной силой при описании природы.

Наблюдения и аргументы [ править ]

Вигнер утверждает, что математические концепции применимы далеко за пределами контекста, в котором они были первоначально разработаны. Он пишет: «Важно отметить, что математическая формулировка часто грубого опыта физика приводит в сверхъестественном количестве случаев к поразительно точному описанию большого класса явлений». ^[3] Он добавляет, что наблюдение «законы природы написаны на языке математики », сделанное Галилеем триста лет назад, «теперь более верно, чем когда-либо прежде».

Первый пример Вигнера — закон тяготения , сформулированный Исааком Ньютоном . Первоначально этот закон использовался для моделирования свободно падающих тел на поверхности Земли, но был расширен на основе того, что Вигнер называет «очень скудными наблюдениями». ^[3] для описания движения планет, где оно «оказалось точным, превзойдя все разумные ожидания». ^[4] Вигнер говорит, что «Ньютон ... заметил, что парабола пути брошенного камня на Земле и круг пути Луны по небу являются частными случаями одного и того же математического объекта эллипса, и постулировал универсальный закон тяготения на на основе единственного и в то время весьма приблизительного числового совпадения».

Второй пример Вигнера взят из квантовой механики : Макс Борн «заметил, что некоторые правила вычислений, данные Гейзенбергом , формально идентичны правилам вычислений с матрицами, установленными задолго до этого математиками. Тогда Борн, Джордан и Гейзенберг предложили заменили матрицами переменные положения и импульса в уравнениях классической механики. Они применили правила матричной механики к нескольким сильно идеализированным задачам, и результаты были вполне удовлетворительными. Однако в то время не было никаких рациональных доказательств того, что их матрица. механика окажется верной в более реалистичных условиях». Но Вольфганг Паули обнаружил, что их работа точно описывает атом водорода : «Это приложение дало результаты, согласующиеся с опытом». с Атом гелия двумя электронами более сложен, но «тем не менее, расчет самого низкого энергетического уровня гелия, выполненный несколько месяцев назад Киношитой в Корнелле и Базли в Бюро стандартов, согласуется с экспериментальными данными. данные в пределах точности наблюдений, которая составляет одну десятимиллионную долю. Конечно, в этом случае мы «получили» из уравнений что-то, чего не ввели». То же самое относится и к атомные спектры более тяжелых элементов.

Последний пример Вигнера взят из квантовой электродинамики : «В то время как теория гравитации Ньютона все еще имела очевидную связь с опытом, опыт вошел в формулировку матричной механики только в уточненной или сублимированной форме предписаний Гейзенберга. Квантовая теория лэмбовского сдвига , как ее понимал Бете и установленная Швингером , является чисто математической теорией, и единственный прямой вклад эксперимента заключался в том, чтобы показать существование измеримого эффекта. Согласие с расчетом лучше, чем одна тысячная».

Существуют и другие примеры, помимо упомянутых Вигнером. Другой часто цитируемый пример — уравнения Максвелла , выведенные для моделирования элементарных электрических и магнитных явлений, известных в середине 19 века. Уравнения также описывают радиоволны, открытые Дэвидом Эдвардом Хьюзом в 1879 году, примерно во время смерти Джеймса Клерка Максвелла .

Ответы [ править ]

Среди полученных ответов на диссертацию можно отметить:

Ричард Хэмминг по информатике, «Необоснованная эффективность математики». ^[5]
Артур Леск по молекулярной биологии, «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». ^[6]
Питер Норвиг , искусственный интеллект, «Необоснованная эффективность данных». ^[7]
Макс Тегмарк по физике, «Математическая Вселенная». ^[8]
Айвор Граттан-Гиннесс по математике, «Разгадка тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». ^[9]
Вела Велупилай по экономике, «Необоснованная неэффективность математики в экономике». ^[10]

Ричард Хэмминг [ править ]

Математик и премии Тьюринга лауреат Ричард Хэмминг размышлял и расширил книгу Вигнера « Необоснованная эффективность» в 1980 году, обсудив четыре «частичных объяснения» этой теории: ^[5]и пришел к выводу, что они неудовлетворительны. Они были:

1. Люди видят то, что ищут . Убеждение в том, что наука экспериментально обоснована, верно лишь частично. Хэмминг приводит четыре примера нетривиальных физических явлений, которые, по его мнению, возникли благодаря используемым математическим инструментам, а не внутренним свойствам физической реальности.

Хэмминг предполагает, что Галилей открыл закон падения тел не путем экспериментов, а путем простого, хотя и осторожного размышления. ^[11] Хэмминг представляет себе, что Галилей проводил следующий мысленный эксперимент (эксперимент, который Хэмминг называет «схоластическим рассуждением», описан в книге Галилея « О движении» ).

Предположим, что падающее тело разбилось на две части. Конечно, обе части немедленно замедлятся до соответствующей скорости. Но предположим далее, что один кусок случайно коснулся другого. Будут ли они теперь одним целым и оба ускорятся? Предположим, я связываю две части вместе. Насколько плотно мне нужно это сделать, чтобы они стали одним целым? Легкая струна? Веревка? Клей? Когда две части становятся одним? ^[12]

Падающее тело просто не может «ответить» на такие гипотетические «вопросы». Следовательно, Галилей пришел бы к выводу, что «падающим телам не нужно ничего знать, если все они падают с одинаковой скоростью, если только им не мешает другая сила». Придумав этот аргумент, Хэмминг нашел соответствующее обсуждение у Полиа (1963: 83-85). ^[13] Отчет Хэмминга не демонстрирует осведомленности о научных дебатах 20-го века о том, что сделал Галилей. ^{[ нужны разъяснения ]}

Закон обратных квадратов всемирного тяготения с необходимостью следует из закона сохранения энергии пространства и трехмерного . Измерение показателя степени в законе всемирного тяготения — это скорее проверка того, является ли пространство евклидовым, чем проверка свойств гравитационного поля .
Неравенство, лежащее в основе принципа неопределенности квантовой механики, следует из свойств интегралов Фурье и предположения о временной инвариантности . ^[14]
Хэмминг утверждает, что Альберта Эйнштейна новаторская работа по специальной теории относительности была в значительной степени «схоластической» по своему подходу. Он с самого начала знал, как должна выглядеть теория (хотя он знал это только благодаря эксперименту Майкельсона-Морли ), и исследовал возможные теории с помощью математических инструментов, а не реальных экспериментов. Хэмминг утверждает, что Эйнштейн был настолько уверен в правильности своих теорий относительности, что результаты наблюдений, направленных на их проверку, его не особо интересовали. Если бы наблюдения не согласовывались с его теориями, то виноваты были бы наблюдения.

2. Люди создают и выбирают математику, соответствующую ситуации . Имеющаяся под рукой математика не всегда работает. Например, когда простые скаляры оказались неудобными для понимания сил, были изобретены сначала векторы , а затем тензоры .

3. Математика рассматривает лишь часть человеческого опыта . Большая часть человеческого опыта подпадает не под науку или математику, а под философию ценности , включая этику , эстетику и политическую философию . Утверждение, что мир можно объяснить с помощью математики, равнозначно акту веры.

4. Эволюция научила людей мыслить математически . Самые ранние формы жизни, должно быть, содержали в себе семена человеческой способности создавать и следовать длинным цепочкам тесных рассуждений.

Макс Тегмарк [ править ]

Физик Макс Тегмарк утверждал, что эффективность математики в описании внешней физической реальности объясняется тем, что физический мир представляет собой абстрактную математическую структуру. ^[8]^[15] Эта теория, называемая гипотезой математической вселенной , отражает идеи, ранее выдвинутые Питером Аткинсом . ^[16]Однако Тегмарк прямо заявляет, что «истинная математическая структура, изоморфная нашему миру, если она существует, еще не найдена». Скорее, математические теории в физике успешны, потому что они аппроксимируют более сложную и предсказательную математику. По словам Тегмарка, «наши успешные теории — это не математика, приближающая физику, а простая математика, приближающая более сложную математику».

Айвор Граттан-Гиннесс [ править ]

Айвор Грэттан-Гиннесс нашел рассматриваемую эффективность в высшей степени разумной и объяснимой с точки зрения таких понятий, как аналогия, обобщение и метафора. ^[9]^{[ нужны разъяснения ]}

Майкл Атья [ править ]

Ситуация изменилась благодаря Майклу Атье с его эссе «Необоснованная эффективность физики в математике». Он утверждал, что набор инструментов физики позволяет такому практикующему специалисту, как Эдвард Виттен, выйти за рамки стандартной математики, в частности геометрии 4-многообразий . Инструментами физика называют квантовую теорию поля , специальную теорию относительности , неабелеву калибровочную теорию , спин , киральность , суперсимметрию и электромагнитную дуальность . ^[17]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вигнер, EP (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках. Лекция Рихарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете, 11 мая 1959 года» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252 . Архивировано из оригинала 12 февраля 2021 г.
^ Примечание: упоминание Вигнером Келлнера и Хиллерааса «... Джордан чувствовал, что мы были бы, по крайней мере временно, беспомощны, если бы произошло неожиданное разногласие в теории атома гелия. В то время она была разработана Келлнером и Хиллераасом. Хиллераасом...» относится к Георгу В. Келлнеру ( Келлнер, Георг В. (1927). «Напряжение ионизации гелия по теории Шрёдингера». Журнал по физике . 44 (1–2): 91–109. Бибкод : 1927ZPhy...44...91K . дои : 10.1007/BF01391720 . S2CID 122213875 . ) и Эгилю Хиллераасу .
^ Перейти обратно: ^а ^б Вигнер 1960 , § Действительно ли успех физических теорий удивителен? п. 8
^ Вигнер 1960 , с. 9
^ Перейти обратно: ^а ^б Хэмминг, RW (1980). «Необоснованная эффективность математики» . Американский математический ежемесячник . 87 (2): 81–90. дои : 10.2307/2321982 . hdl : 10945/55827 . JSTOR 2321982 . Архивировано из оригинала 22 июня 2022 г. Проверено 30 июля 2021 г.
^ Леск, AM (2000). «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». Математический интеллект . 22 (2): 28–37. дои : 10.1007/BF03025372 . S2CID 120102813 .
^ Халеви, А .; Норвиг, П .; Перейра, Ф. (2009). «Необоснованная эффективность данных» (PDF) . Интеллектуальные системы IEEE . 24 (2): 8–12. дои : 10.1109/MIS.2009.36 . S2CID 14300215 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2022 г. Проверено 4 сентября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Тегмарк, Макс (2008). «Математическая Вселенная». Основы физики . 38 (2): 101–150. arXiv : 0704.0646 . Бибкод : 2008FoPh...38..101T . дои : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID 9890455 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Граттан-Гиннесс, И. (2008). «Разгадка тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». Математический интеллект . 30 (3): 7–17. дои : 10.1007/BF02985373 . S2CID 123174309 .
^ Велупилай, КВ (2005). «Необоснованная неэффективность математики в экономике». Кембриджский экономический журнал . 29 (6): 849–872. CiteSeerX 10.1.1.194.6586 . дои : 10.1093/cje/bei084 .
^ «Необоснованная эффективность математики - Р. У. Хэмминг - Некоторые частичные объяснения» . ned.ipac.caltech.edu . Проверено 6 января 2024 г.
^ Ван Хелден, Альберт (1995). «В движении» . Проект Галилео . Архивировано из оригинала 21 декабря 2017 года . Проверено 16 октября 2013 г.
^ Полиа, Джордж ; Боуден, Леон ; Школьная группа по изучению математики (1963). Математические методы в науке; курс лекций . Исследования по математике. Том. 11. Стэнфорд: Школьная группа по изучению математики. OCLC 227871299 .
^ Фолланд, Джеральд Б.; Ситарам, Аллади (1997). «Принцип неопределенности: математический обзор». Журнал анализа и приложений Фурье . 3 (3): 207–238. дои : 10.1007/BF02649110 . S2CID 121355943 .
^ Тегмарк, Макс (2014). Наша математическая Вселенная . Кнопф. ISBN 978-0-307-59980-3 .
^ Аткинс, Питер (1992). Возвращение к творению . У.Х.Фриман. ISBN 978-0-7167-4500-6 .
^ Атья, Майкл (2002). «Необоснованная эффективность физики в математике». В Фокасе А.С. (ред.). Основные моменты математической физики . Американское математическое общество . стр. 25–38. ISBN 0-8218-3223-9 . OCLC 50164838 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Сундар Саруккай (10 февраля 2005 г.). «Возвращение к« необоснованной эффективности »математики». Современная наука . 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208 .
Касман, Алекс (апрель 2003 г.). «Необоснованная эффективность» . Журнал Math Horizons . 10 (4): 29–31. дои : 10.1080/10724117.2003.12023669 . S2CID 218542870 . Архивировано из оригинала 26 июня 2010 г. Проверено 30 сентября 2010 г. , кусок «математической фантастики».
Коливан, Марк (весна 2015 г.). «Аргументы незаменимости в философии математики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 24 мая 2011 г. Проверено 17 февраля 2011 г.
Бангу, Сорин (2012). Применимость математики в науке: незаменимость и онтология . Новые направления в философии науки. Лондон: Плагрейв Макмиллан. ISBN 978-0230285200 .
Волчовер, Натали (9 декабря 2019 г.). «Почему законы физики неизбежны» . Журнал Кванта . Архивировано из оригинала 12 декабря 2019 года . Проверено 12 декабря 2019 г.
Математическая драма от Стэнфордского университета

[1] Вигнер, EP (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках. Лекция Рихарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете, 11 мая 1959 года» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252 . Архивировано из оригинала 12 февраля 2021 г.

[2] Примечание: упоминание Вигнером Келлнера и Хиллерааса «... Джордан чувствовал, что мы были бы, по крайней мере временно, беспомощны, если бы произошло неожиданное разногласие в теории атома гелия. В то время она была разработана Келлнером и Хиллераасом. Хиллераасом...» относится к Георгу В. Келлнеру ( Келлнер, Георг В. (1927). «Напряжение ионизации гелия по теории Шрёдингера». Журнал по физике . 44 (1–2): 91–109. Бибкод : 1927ZPhy...44...91K . дои : 10.1007/BF01391720 . S2CID 122213875 . ) и Эгилю Хиллераасу .

[Wigner60p8-3] Перейти обратно: ^а ^б Вигнер 1960 , § Действительно ли успех физических теорий удивителен? п. 8

[4] Вигнер 1960 , с. 9

[hamming-5] Перейти обратно: ^а ^б Хэмминг, RW (1980). «Необоснованная эффективность математики» . Американский математический ежемесячник . 87 (2): 81–90. дои : 10.2307/2321982 . hdl : 10945/55827 . JSTOR 2321982 . Архивировано из оригинала 22 июня 2022 г. Проверено 30 июля 2021 г.

[lesk-6] Леск, AM (2000). «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». Математический интеллект . 22 (2): 28–37. дои : 10.1007/BF03025372 . S2CID 120102813 .

[norvig-7] Халеви, А .; Норвиг, П .; Перейра, Ф. (2009). «Необоснованная эффективность данных» (PDF) . Интеллектуальные системы IEEE . 24 (2): 8–12. дои : 10.1109/MIS.2009.36 . S2CID 14300215 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2022 г. Проверено 4 сентября 2015 г.

[tegmark-8] Перейти обратно: ^а ^б Тегмарк, Макс (2008). «Математическая Вселенная». Основы физики . 38 (2): 101–150. arXiv : 0704.0646 . Бибкод : 2008FoPh...38..101T . дои : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID 9890455 .

[ivor-9] Перейти обратно: ^а ^б Граттан-Гиннесс, И. (2008). «Разгадка тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». Математический интеллект . 30 (3): 7–17. дои : 10.1007/BF02985373 . S2CID 123174309 .

[velupillai-10] Велупилай, КВ (2005). «Необоснованная неэффективность математики в экономике». Кембриджский экономический журнал . 29 (6): 849–872. CiteSeerX 10.1.1.194.6586 . дои : 10.1093/cje/bei084 .

[11] «Необоснованная эффективность математики - Р. У. Хэмминг - Некоторые частичные объяснения» . ned.ipac.caltech.edu . Проверено 6 января 2024 г.

[12] Ван Хелден, Альберт (1995). «В движении» . Проект Галилео . Архивировано из оригинала 21 декабря 2017 года . Проверено 16 октября 2013 г.

[13] Полиа, Джордж ; Боуден, Леон ; Школьная группа по изучению математики (1963). Математические методы в науке; курс лекций . Исследования по математике. Том. 11. Стэнфорд: Школьная группа по изучению математики. OCLC 227871299 .

[14] Фолланд, Джеральд Б.; Ситарам, Аллади (1997). «Принцип неопределенности: математический обзор». Журнал анализа и приложений Фурье . 3 (3): 207–238. дои : 10.1007/BF02649110 . S2CID 121355943 .

[15] Тегмарк, Макс (2014). Наша математическая Вселенная . Кнопф. ISBN 978-0-307-59980-3 .

[16] Аткинс, Питер (1992). Возвращение к творению . У.Х.Фриман. ISBN 978-0-7167-4500-6 .

[17] Атья, Майкл (2002). «Необоснованная эффективность физики в математике». В Фокасе А.С. (ред.). Основные моменты математической физики . Американское математическое общество . стр. 25–38. ISBN 0-8218-3223-9 . OCLC 50164838 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]