Откуда взялась математика

Откуда взялась математика

Автор	Джордж Лакофф Рафаэль Э. Нуньес
Предмет	Числовое познание
Опубликовано	2000
Страницы	492
ISBN	978-0-465-03771-1
ОКЛК	44045671

Откуда берется математика: как воплощенный разум порождает математику (далее WMCF ) — книга Джорджа Лакоффа , когнитивного лингвиста , и Рафаэля Э. Нуньеса , психолога . Опубликованный в 2000 году, WMCF стремится основать когнитивную науку математики , теорию воплощенной математики, основанную на концептуальной метафоре .

WMCF математики

Математика составляет ту часть понятийной системы человека, которая является особенной в следующем отношении:

Он точен, последователен, стабилен во времени и в человеческих сообществах, символизируем, вычислим, обобщаем, универсально доступен, последователен в каждом из своих предметов и эффективен в качестве общего инструмента для описания, объяснения и прогнозирования в огромном количестве повседневных действий. , [от] спорта до строительства, бизнеса, технологий и науки. - WMCF , стр. 50, 377.

Николай Лобачевский сказал: «Не существует такой отрасли математики, какой бы абстрактной она ни была, которую нельзя было бы когда-нибудь применить к явлениям реального мира». Общий тип процесса концептуального смешения , казалось бы, применим ко всей математической цепочке.

и

Комплексная плоскость: визуальная метафора абстрактной идеи комплексного числа , которая позволяет визуализировать операции над комплексными числами как простые движения в обычном пространстве.

Открытая цель Лакоффа и Нуньеса — начать закладывать основы подлинно научного понимания математики, основанного на процессах, общих для всего человеческого познания. Они обнаружили, что четыре отдельных, но связанных между собой процесса метафорически структурируют базовую арифметику: сбор объектов, конструирование объектов, использование мерки и движение по пути.

WMCF опирается на более ранние книги Лакоффа (1987) и Лакоффа и Джонсона (1980, 1999), в которых анализируются такие концепции метафор второго поколения и схем изображений из когнитивной науки . Некоторые концепции из этих ранних книг, такие как интересные технические идеи Лакоффа (1987), отсутствуют в WMCF .

Лакофф и Нуньес считают, что математика является результатом человеческого когнитивного аппарата и поэтому должна пониматься в когнитивных терминах. WMCF защищает (и включает некоторые примеры) идей когнитивный анализ математических , который анализирует математические идеи с точки зрения человеческого опыта, метафор, обобщений и других когнитивных механизмов, порождающих их. Стандартное математическое образование не развивает такие методы анализа идей, потому что оно не учитывает А) какие структуры разума позволяют ему заниматься математикой или Б) философию математики .

Лакофф и Нуньес начинают с обзора психологической литературы и приходят к выводу, что люди, по-видимому, обладают врожденной способностью, называемой субитизацией , считать, складывать и вычитать примерно до 4 или 5. Они документируют этот вывод, просматривая литературу, опубликованную недавно. десятилетия, описывая эксперименты с младенцами. Например, младенцы быстро становятся возбужденными или любопытными, когда им оказываются «невозможные» ситуации, например, когда появляются три игрушки, хотя изначально присутствовало только две.

Авторы утверждают, что математика выходит далеко за пределы этого самого элементарного уровня благодаря большому количеству метафорических конструкций. Например, позиция Пифагора , согласно которой все есть число, и связанный с ней кризис уверенности, возникший с открытием иррациональности квадратного корня из двух , возникают исключительно из метафорического отношения между длиной диагонали квадрата и длиной диагонали квадрата. возможное количество объектов.

Большая часть WMCF посвящена важным концепциям бесконечности и предельных процессов, стремясь объяснить, как конечные люди, живущие в конечном мире, могут в конечном итоге представить себе реальную бесконечность . Таким образом, большая часть WMCF , по сути, представляет собой исследование эпистемологических основ исчисления . Лакофф и Нуньес приходят к выводу, что, хотя потенциальная бесконечность не метафорична, реальная бесконечность метафорична. Более того, они считают все проявления актуальной бесконечности примерами того, что они называют «Основной метафорой бесконечности», представленной постоянно возрастающей последовательностью 1, 2, 3,...

WMCF категорически отвергает платонистскую философию математики . Они подчеркивают, что все, что мы знаем и можем когда-либо знать, — это человеческая математика , математика, возникающая из человеческого интеллекта. Вопрос о том, существует ли «трансцендентная» математика, независимая от человеческого мышления, является бессмысленным вопросом, как вопрос о том, являются ли цвета трансцендентными для человеческого мышления: цвета — это всего лишь различные длины волн света, а наша интерпретация физических стимулов делает их цветами.

WMCF (стр. 81) также критикует тот акцент, который математики придают концепции замыкания . Лакофф и Нуньес утверждают, что ожидание завершения — это артефакт способности человеческого разума связывать фундаментально разные концепции посредством метафоры.

WMCF занимается главным образом предложением и утверждением альтернативного взгляда на математику, основанного на реалиях человеческой биологии и опыта. Это не работа по технической математике или философии. Лакофф и Нуньес не первые, кто утверждает, что традиционные подходы к философии математики ошибочны. Например, они, похоже, не совсем знакомы с содержанием работы Дэвиса и Херша (1981), хотя в книге горячо выражается признание поддержки Херша.

Лакофф и Нуньес цитируют Сондерса Мак Лейна (изобретателя вместе с Сэмюэлем Эйленбергом ) теории категорий в поддержку своей позиции. «Математика, форма и функция» (1986), обзор математики, предназначенный для философов, предполагает, что математические концепции в конечном итоге основаны на обычной человеческой деятельности, в основном на взаимодействии с физическим миром.

Преподаватели проявили некоторый интерес к тому, что предлагает WMCF о том, как изучается математика, и почему учащиеся находят некоторые элементарные понятия более трудными, чем другие.

Однако даже с образовательной точки зрения WMCF по-прежнему проблематичен. С точки зрения концептуальной теории метафор, метафоры находятся в другой сфере, абстрактной, чем реальность «реального мира», конкретной. Другими словами, несмотря на их заявления о том, что математика человечна, устоявшиеся математические знания — то, что мы изучаем в школе — считаются и рассматриваются как абстрактные, полностью отделенные от своего физического происхождения. Он не может объяснить, каким образом учащиеся могут получить доступ к таким знаниям.

WMCF также критикуют за его монистический подход. Во-первых, он игнорирует тот факт, что сенсомоторный опыт, на котором, как предполагается, основана наша языковая структура — таким образом, математика — может варьироваться в зависимости от культуры и ситуации. Во-вторых, математика, которой занимается WMCF, «почти полностью… стандартные высказывания в учебниках и учебных программах». который является наиболее хорошо устоявшимся сводом знаний. Он игнорирует динамичный и разнообразный характер истории математики.

Логотипоцентричный подход WMCF — еще одна мишень для критиков. Хотя его преимущественно интересует связь между языком и математикой, он не учитывает, как нелингвистические факторы способствуют появлению математических идей (например, см. Radford, 2009; Ротман, 2008 г. ).

Примеры математических метафор

Концептуальные метафоры, описанные в WMCF , помимо Базовой Метафоры Бесконечности, включают:

• Арифметика – движение по траектории, сбор/построение объектов;
• Изменение — это движение;
• Наборы — это контейнеры, объекты;
• Непрерывность безупречна;
• Математические системы имеют «сущность», а именно их аксиоматическую алгебраическую структуру ;
• Функции представляют собой множества упорядоченных пар , кривые в декартовой плоскости ;
• Геометрические фигуры — это объекты в пространстве;
• Логическая независимость — это геометрическая ортогональность ;
• Числа — это множества, коллекции объектов, физические сегменты, точки на линии;
• Рецидивы круговые.

Математическое рассуждение требует, чтобы переменные располагались в некоторой вселенной дискурса , чтобы мы могли рассуждать об общих чертах, а не просто о частностях. WMCF утверждает, что рассуждения с такими переменными неявно опираются на то, что они называют фундаментальной метонимией алгебры.

Пример метафорической двусмысленности

WMCF (стр. 151) включает следующий пример того, что авторы называют «метафорической двусмысленностью». Возьми набор $A=\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}.$ Затем вспомните два фрагмента стандартной терминологии из элементарной теории множеств :

1. Рекурсивное натуральных построение порядковых чисел , при котором 0 равен $\emptyset$, и $n+1$ является $n\cup \{n\}.$
2. Упорядоченная пара ( a,b ), определяемая как $\{\{a\},\{a,b\}\}.$

Согласно (1) A — это множество {1,2}. Но (1) и (2) вместе говорят, что A также является упорядоченной парой (0,1). Оба утверждения не могут быть правильными; упорядоченная пара (0,1) и неупорядоченная пара {1,2} — совершенно разные понятия. Лакофф и Джонсон (1999) называют эту ситуацию «метафорически двусмысленной». Этот простой пример ставит под сомнение любые платонистские основания математики.

Хотя приведенные выше (1) и (2) являются по общему признанию каноническими, особенно в рамках согласованной теории множеств, известной как аксиоматизация Цермело-Френкеля , WMCF не дает понять, что они являются всего лишь одним из нескольких определений, которые были предложены с момента зарождения теории множеств. . Например, Фреге , Principia Mathematica и New Foundations часть аксиоматической теории множеств, начатая Куайном в 1937 году) определяют кардиналы и ординалы как классы эквивалентности в отношениях равночисленности ( и сходства , так что эта загадка не возникает. В квинианской теории множеств A — это просто экземпляр числа 2. По техническим причинам определение упорядоченной пары, как в (2) выше, в квинианской теории множеств затруднительно. Было предложено два решения:

• Вариант теоретико-множественного определения упорядоченной пары, более сложный, чем обычное;
• Принимая упорядоченные пары за примитивные.

Романтика математики

«Роман математики» — это WMCF , беззаботный термин обозначающий извечную философскую точку зрения на математику, которую авторы описывают, а затем отвергают как интеллектуальный миф:

• Математика трансцендентна, а именно, она существует независимо от людей и структурирует нашу реальную физическую вселенную и любую возможную вселенную. Математика — это язык природы и основная концептуальная структура, которая у нас есть общая с инопланетянами, если таковые вообще существуют.
• Математическое доказательство — это врата в царство трансцендентной истины.
• Рассуждение — это логика , а логика по своей сути математическая. Следовательно, математика структурирует все возможные рассуждения.
• Поскольку математика существует независимо от людей, а рассуждения по своей сути являются математическими, разум сам по себе бестелесен. Следовательно, искусственный интеллект возможен, по крайней мере в принципе.

Остается открытым вопрос, станет ли WMCF в конечном итоге началом новой школы в философии математики . Следовательно, основная ценность WMCF на данный момент может быть критической: критика платонизма и романтизма в математике.

Критический ответ

Многие работающие математики сопротивляются подходу и выводам Лакоффа и Нуньеса. Обзоры WMCF, сделанные математиками в профессиональных журналах, хотя часто и уважают его внимание к концептуальным стратегиям и метафорам как путям понимания математики, вызывают возражение против некоторых WMCF философских аргументов на том основании, что математические утверждения имеют прочное «объективное» значение. . Например, Великая теорема Ферма означает именно то, что она имела в виду, когда Ферма первоначально предложил ее в 1664 году. Другие рецензенты отмечали, что несколько концептуальных стратегий могут использоваться в связи с одним и тем же математически определенным термином, часто одним и тем же человеком (точка, которая совместима с с той точки зрения, что мы обычно понимаем «одну и ту же» концепцию разными метафорами). Метафора определение и концептуальная стратегия — это не то же самое, что формальное , используемое математиками. Однако WMCF отмечает, что формальные определения строятся с использованием слов и символов, которые имеют значение только с точки зрения человеческого опыта.

Критика WMCF включает в себя юмористические высказывания:

Мне трудно придумать метафору для реального числа, возведенного в комплексную степень, но если она существует, я бы обязательно ее увидел. — Джозеф Ауслендер

и физически информированные:

Но их анализ оставляет по крайней мере пару вопросов без ответов. Во-первых, авторы игнорируют тот факт, что мозг не только наблюдает за природой, но и является ее частью. Возможно, математика, которую изобретает мозг, принимает ту форму, которую она принимает, потому что математика в первую очередь приложила руку к формированию мозга (посредством действия естественных законов, ограничивающих эволюцию жизни). Более того, одно дело — подогнать уравнения к уже известным аспектам реальности. Другая задача этой математики — рассказать о явлениях, о которых раньше никто не подозревал. Когда уравнения Поля Дирака, описывающие электроны, дали более одного решения, он предположил, что в природе должны быть и другие частицы, известные теперь как антивещество. Но ученые открыли такие частицы только после того, как математика Дирака сказала ему, что они должны существовать. Если математика — человеческое изобретение, то природа, похоже, знает, что будет изобретено.

Лакофф заработал свою репутацию, связав лингвистику с когнитивной наукой и анализом метафор . Нуньес, получивший образование в Швейцарии , является продуктом Жана Пиаже школы когнитивной психологии как основы логики и математики. Нуньес много размышлял об основах реального анализа , действительных и комплексных числах и основной метафоре бесконечности. Однако эти темы, какими бы достойными они ни были, составляют часть надстройки математики. Действительно, на ранних этапах авторы уделяют немало внимания логике , булевой алгебре и аксиомам Цермело-Френкеля , даже немного задерживаясь на теории групп . Но ни один из авторов не хорошо разбирается в логике , философии теории множеств, аксиоматическом методе , метаматематике и теории моделей . также В WMCF недостаточно говорится о выводе систем счисления ( аксиомы Пеано не упоминаются), абстрактной алгебре , эквивалентности и порядка отношениях , мереологии , топологии и геометрии .

Лакофф и Нуньес склонны отвергать негативные мнения, высказанные математиками о WMCF , потому что их критики не ценят идеи когнитивной науки. Лакофф и Нуньес утверждают, что их аргумент можно понять, только используя открытия последних десятилетий о том, как человеческий мозг обрабатывает язык и смысл. Они утверждают, что любые аргументы или критика, не основанные на этом понимании, не могут повлиять на содержание книги.

Было отмечено, что совсем не ясно, утверждает ли WMCF , что утверждение о том, что «разумная инопланетная жизнь будет обладать математическими способностями», является мифом. Для этого пришлось бы показать, что интеллект и математические способности неразрывны, а этого сделано не было. На Земле интеллект и математические способности, кажется, идут рука об руку во всех формах жизни, как отметил, среди других, Кейт Девлин . Авторы WMCF не объяснили, чем эта ситуация будет (или даже может) отличаться где-либо еще.

Лакофф и Нуньес, похоже, также не понимают, насколько интуиционисты и конструктивисты предвидели свои нападки на романтику (платонической) математики. Брауэр , основоположник интуиционистской / конструктивистской точки зрения, в своей диссертации «Об основах математики» утверждал, что математика представляет собой мысленную конструкцию, свободное творение разума и совершенно независимую от логики и языка. Далее он упрекает формалистов в построении вербальных структур, которые изучаются без интуитивной интерпретации. Символический язык не следует путать с математикой; он отражает, но не содержит в себе математическую реальность.

Подведение итогов

WMCF (стр. 378–79) завершается некоторыми ключевыми моментами, некоторые из которых следуют далее. Математика возникает из наших тел и мозга, нашего повседневного опыта и проблем человеческих обществ и культур. Это:

• Результат нормальных когнитивных способностей взрослого человека, в частности способности к концептуальной метафоре, и как таковой является человеческой универсалией. Способность создавать концептуальные метафоры основана на неврологии и позволяет людям рассуждать об одной области, используя язык и концепции другой области. Концептуальная метафора — это одновременно то, что позволило математике вырасти из повседневной деятельности, и то, что позволяет математике расти посредством непрерывного процесса аналогии и абстракции;
• Символический , что чрезвычайно облегчает точный расчет;
• Не трансцендентный, а результат человеческой эволюции и культуры , которым он обязан своей эффективностью. Во время познания мира в человеческом сознании происходит связь с математическими идеями;
• Система человеческих понятий, необычайно использующая обычные инструменты человеческого познания;
• Бессрочное творение людей, которые продолжают нести ответственность за его поддержание и расширение;
• Один из величайших продуктов коллективного человеческого воображения и великолепный пример красоты, богатства, сложности, разнообразия и важности человеческих идей.

Когнитивный подход к формальным системам , описанный и реализованный в WMCF , не обязательно должен ограничиваться математикой, но также должен оказаться плодотворным при применении к формальной логике и формальной философии, такой как Эдварда Залты теория абстрактных объектов . Лакофф и Джонсон (1999) плодотворно используют когнитивный подход для переосмысления значительной части философии сознания , эпистемологии , метафизики и истории идей .

См. также

• Абстрактный объект
• Когнитивная наука
• Когнитивная наука математика
• Концептуальная метафора
• Воплощенная философия
• Основы математики
• От действия к математике по Мак Лейну
• Метафора
• Философия математики
• Необоснованная эффективность математики в естественных науках

Ссылки

• Дэвис, Филип Дж. и Рубен Херш , 1999 (1981). Математический опыт . Книги Маринера. Впервые опубликовано Houghton Mifflin.
• Джордж Лакофф , 1987. Женщины, огонь и опасные вещи . унив. из Чикаго Пресс.
• ------ и Марк Джонсон , 1999. Философия во плоти . Основные книги.
• Джордж Лакофф и Рафаэль Нуньес , 2000, Откуда берется математика . Основные книги. ISBN   0-465-03770-4
• Джон Рэндольф Лукас , 2000. Концептуальные корни математики . Рутледж.
• Сондерс Мак Лейн , 1986. Математика: форма и функция . Спрингер Верлаг.

Внешние ссылки

• Веб-сайт WMCF.
• Отзывы о WMCF .
  • Джозеф Ауслендер в журнале American Scientist ;
  • Бонни Голд , Обзоры MAA , 2001 г.
  • Ответ Лакоффа на обзор Gold MAA.