Числовое познание

Числовое познание — это раздел когнитивной науки , изучающий когнитивные, развивающие и нейронные основы чисел и математики . Как и многие другие направления когнитивной науки, это весьма междисциплинарная тема, в которую входят исследователи в области когнитивной психологии , психологии развития , нейробиологии и когнитивной лингвистики . Эта дисциплина, хотя и может взаимодействовать с вопросами философии математики , в первую очередь занимается эмпирическими вопросами.

Темы, включенные в область числового познания, включают:

• Как животные, кроме человека, воспринимают многочисленность ?
• Как младенцы приобретают понимание чисел (и насколько это врожденно)?
• Как люди связывают лингвистические символы с числовыми величинами?
• Как эти возможности лежат в основе нашей способности выполнять сложные вычисления?
• Какова нейронная основа этих способностей как у людей, так и у нелюдей?
• Какие метафорические возможности и процессы позволяют нам расширить наше числовое понимание на сложные области, такие как концепция бесконечности , бесконечно малого или концепция предела в исчислении?
• Эвристика в числовом познании

исследования

Различные исследования показали, что животные, кроме человека, включая крыс, львов и различные виды приматов, обладают приблизительным чувством числа (называемым « многочисленностью »). Например, когда крысу обучают нажимать на полоску 8 или 16 раз, чтобы получить пищевое вознаграждение, количество нажатий на полоску будет приближаться к распределению Гаусса или нормальному с пиком около 8 или 16 нажатий на полоску. Когда крысы более голодны, их поведение при нажатии на стержень происходит быстрее, поэтому, показав, что пиковое количество нажатий на стержень одинаково как для сытых, так и для голодных крыс, можно разделить время и количество нажатий на стержень. Кроме того, у некоторых видов была показана параллельная система индивидуации , например у гуппи, которые успешно различали от 1 до 4 других особей.

Аналогичным образом исследователи установили скрытые динамики в африканской саванне, чтобы проверить естественное (необученное) поведение львов. Эти динамики могут воспроизводить несколько криков львов, от 1 до 5. Если одна львица услышит, например, три крика неизвестных львов, она уйдет, а если она с четырьмя своими сестрами, они пойдут исследовать. Это говорит о том, что львы не только могут определить, когда они «превзойдены численностью», но и могут делать это на основе сигналов от различных сенсорных модальностей, предполагая, что многочисленность — это мультисенсорная концепция.

Исследования

Исследования в области психологии развития показали, что человеческие младенцы, как и животные, не относящиеся к человеку, обладают приблизительным чувством числа. Например, в одном исследовании младенцам неоднократно предъявляли массивы (в одном блоке) из 16 точек. Был введен тщательный контроль для исключения информации из «нечисловых» параметров, таких как общая площадь поверхности, яркость, окружность и так далее. После того, как младенцам было представлено множество дисплеев, содержащих 16 предметов, они привыкли или перестали долго смотреть на дисплей. Затем младенцам была представлена ​​витрина, содержащая 8 предметов, и они дольше смотрели на новую витрину.

Из-за многочисленных мер контроля, которые применялись для исключения нечисловых факторов, экспериментаторы пришли к выводу, что шестимесячные младенцы чувствительны к различиям между 8 и 16. Последующие эксперименты с использованием аналогичных методик показали, что шестимесячные младенцы чувствительны к различиям между 8 и 16. может различать числа, отличающиеся соотношением 2:1 (8 против 16 или 16 против 32), но не в соотношении 3:2 (8 против 12 или 16 против 24). Однако 10-месячные младенцы преуспевают как при соотношении 2:1, так и при соотношении 3:2, что предполагает повышенную чувствительность к различиям в численности с возрастом.

В другой серии исследований Карен Винн показала, что младенцы в возрасте пяти месяцев способны выполнять очень простые сложения (например, 1 + 1 = 2) и вычитания (3 – 1 = 2). Чтобы продемонстрировать это, Винн использовала парадигму «нарушения ожиданий», в которой младенцам показывали (например), одну куклу Микки Мауса, идущую за ширмой, а затем другую. Если при опускании экрана младенцам показывали только одного Микки («невозможное событие»), они выглядели дольше, чем если бы им показывали двух Микки («возможное» событие). Дальнейшие исследования Карен Винн и Колин МакКринк показали, что, хотя способность младенцев рассчитывать точные результаты сохраняется только для небольших чисел, младенцы могут рассчитывать приблизительные результаты более крупных событий сложения и вычитания (например, событий «5 + 5» и «10-5»). ).

Ведутся споры о том, сколько на самом деле содержат эти зарождающиеся системы с точки зрения числовых концепций, что отсылает к классической дискуссии о природе и воспитании . Гельман и Галлистел (1978) предположили, что ребенок врожденно обладает понятием натурального числа, и ему нужно лишь отобразить это на словах, используемых в его языке. Кэри ( 2004 , 2009 ) не согласился, заявив, что эти системы могут кодировать большие числа только приблизительным способом , в то время как натуральные числа, основанные на языке, могут быть точными. Считается, что без языка только числа от 1 до 4 имеют точное представление через параллельную систему индивидуации . Один из многообещающих подходов — посмотреть, смогут ли культуры, в которых отсутствуют числовые слова, обращаться с натуральными числами. Результаты на данный момент неоднозначны (например, Pica et al. (2004) ); Баттерворт и Рив (2008) , Баттерворт, Рив, Рейнольдс и Ллойд (2008 ).

и

Исследования нейровизуализации человека показали, что области теменной доли , включая внутритеменную борозду (IPS) и нижнюю теменную долю (IPL), активируются, когда испытуемых просят выполнить вычислительные задачи. Основываясь как на нейровизуализации человека, так и на нейропсихологии , Станислас Деэн и его коллеги предположили, что эти две теменные структуры играют дополняющие друг друга роли. Считается, что IPS содержит схему, которая в основном участвует в числовой оценке. сравнение чисел, и онлайн-вычисление или количественная обработка (часто тестируемая с вычитанием), в то время как считается, что IPL участвует в механическом запоминании, например умножении. Таким образом, пациент с поражением IPL может иметь возможность вычитать, но не умножать, и наоборот для пациента с поражением IPS. Помимо этих теменных областей, области лобной доли в вычислительных задачах активны также . Эти активации перекрываются с областями, участвующими в языковой обработке, такими как зона Брока и областями, участвующими в рабочей памяти и внимании . Кроме того, нижневисочная кора участвует в обработке числовых форм и символов, необходимых для вычислений с арабскими цифрами. Более современные исследования выявили сети, связанные с задачами умножения и вычитания. Умножение часто изучается посредством механического запоминания и словесных повторений, а исследования нейровизуализации показали, что умножение использует леволатерализованную сеть нижней лобной коры и верхней-средней височной извилины в дополнение к IPL и IPS. Вычитанию больше обучают с помощью количественных манипуляций и использования стратегии, больше полагаясь на правую IPS и заднюю теменную дольку.

Одноединичная нейрофизиология у обезьян также обнаружила нейроны в лобной коре и внутритеменной борозде, которые реагируют на числа. Андреас Нидер обучал обезьян выполнять задачу «отложенного сопоставления с образцом». Например, обезьяне может быть представлено поле из четырех точек, и она должна сохранить это в памяти после того, как изображение будет удалено. Затем, после задержки в несколько секунд, отображается второй дисплей. Если число на втором дисплее совпадает с числом на первом, обезьяна должна отпустить рычаг. Если все по-другому, обезьяне придется держать рычаг. Нейронная активность, зарегистрированная в течение периода задержки, показала, что нейроны во внутритеменной борозде и лобной коре имели «предпочтительную численность», точно так, как предсказывали поведенческие исследования. То есть определенное количество может сильно стрелять по четырем, но менее сильно по трем или пяти и еще меньше по двум или шести. Таким образом, мы говорим, что эти нейроны были «настроены» на определенные величины. Обратите внимание, что эти нейрональные реакции подчинялись закону Вебера , как было продемонстрировано для других сенсорных измерений, и согласуются с зависимостью отношения, наблюдаемой для численного поведения животных и младенцев, не являющихся людьми.

Важно отметить, что, хотя мозг приматов удивительно похож на человеческий, существуют различия в функциях, способностях и сложности. Они являются хорошими объектами для предварительных испытаний, но не демонстрируют небольших различий, которые являются результатом разных эволюционных путей и окружающей среды. Однако в плане чисел у них много общего. Как было обнаружено у обезьян, нейроны, избирательно настроенные на число, были идентифицированы в двусторонних внутритеменных бороздах и префронтальной коре у людей. Пьяцца и коллеги исследовали это с помощью фМРТ, предоставляя участникам наборы точек, по которым им приходилось либо делать одинаковые-разные суждения, либо делать суждения о большем и меньшем. Наборы точек состояли из базовых чисел 16 и 32 с соотношениями 1,25, 1,5 и 2. Отклоняющиеся числа включались в некоторые исследования в больших или меньших количествах, чем базовые числа. Участники продемонстрировали аналогичные паттерны активации, которые Нейдер обнаружил у обезьян. Внутритеменная борозда и префронтальная кора , также участвующие в количестве, сообщаются в приблизительном количестве, и у обоих видов было обнаружено, что теменные нейроны IPS имели короткие латентные периоды активации, тогда как лобные нейроны имели более длительные латентные периоды. Это подтверждает представление о том, что числа сначала обрабатываются в IPS, а затем, при необходимости, передаются соответствующим лобным нейронам префронтальной коры для дальнейших вычислений и применения. Люди отображали кривые Гаусса на кривых настройки приблизительной величины. Это согласуется с обезьянами: у обоих видов наблюдается схожий структурированный механизм с классическими кривыми Гаусса относительно все более отклоняющихся чисел с 16 и 32, а также привыкания. Результаты соответствовали закону Вебера , причем точность снижалась по мере того, как соотношение между числами становилось меньше. Это подтверждает выводы, сделанные Нейдером на макаках. и дает убедительные доказательства существования приблизительной логарифмической шкалы чисел у людей.

Учитывая установленный механизм аппроксимации несимволических чисел как у людей, так и у приматов, необходимы дальнейшие исследования, чтобы определить, является ли этот механизм врожденным и присутствует ли он у детей, что предполагает врожденную способность обрабатывать числовые стимулы, подобно тому, как люди рождаются готовыми. обрабатывать язык. Кантлон, Брэннон, Картер и Пелфри (2006) намеревались исследовать это на здоровых, нормально развивающихся 4-летних детях параллельно со взрослыми. Аналогичная задача для Пьяццы использовался в этом эксперименте без заданий на суждение. Использовались точечные массивы различного размера и количества, базовая численность которых составляла 16 и 32. в каждом блоке предъявлялось 232 стимула с 20 отклоняющимися числами с соотношением 2,0 как большего, так и меньшего размера. Например, из 232 испытаний 16 точек были представлены на разном размере и расстоянии, но в 10 из этих испытаний было 8 точек, а в 10 из этих испытаний было 32 точки, что составляло 20 девиантных стимулов. То же самое относится и к блокам с базовой численностью 32. Чтобы гарантировать, что взрослые и дети внимательно следят за стимулами, на протяжении всего испытания они устанавливали три точки фиксации, в которых участнику приходилось перемещать джойстик, чтобы двигаться вперед. Их результаты показали, что у взрослых, участвовавших в эксперименте, наблюдалась значительная активация IPS при просмотре стимулов с отклоняющимися числами, что соответствует тому, что было ранее обнаружено в вышеупомянутом абзаце. У 4-летних детей они обнаружили значительную активацию IPS в ответ на девиантные числовые стимулы, напоминающую активацию, обнаруженную у взрослых. Были некоторые различия в активации: у взрослых наблюдалась более выраженная двусторонняя активация, тогда как у 4-летних детей в первую очередь наблюдалась активация в правом IPS, и они активировали на 112 вокселей меньше, чем взрослые. Это говорит о том, что в 4-летнем возрасте у детей уже сформировался механизм нейронов ИПС, настроенный на обработку несимволических чисел. Другие исследования углубились в этот механизм у детей и обнаружили, что дети также представляют собой приблизительные цифры на шкале. в логарифмической шкале , что соответствует утверждениям Пьяццы у взрослых.

Изард, Санн, Спелке и Стрери (2009) исследовали представления абстрактных чисел у младенцев, используя другую парадигму, чем предыдущие исследователи, из-за характера и стадии развития младенцев. У младенцев они исследовали абстрактные числа с помощью как слуховых, так и зрительных стимулов, используя парадигму времени просмотра. Использовались наборы 4 на 12, 8 на 16 и 4 на 8. Слуховые стимулы состояли из тонов разной частоты с установленным количеством тонов, с некоторыми отклоняющимися испытаниями, где тоны были короче, но более многочисленными или более длинными и менее многочисленными, чтобы учесть продолжительность и ее потенциальные помехи. После того, как слуховые стимулы предъявлялись в течение 2 минут ознакомления, зрительные стимулы представлялись в виде конгруэнтного или неконгруэнтного массива цветных точек с чертами лица. они оставались на экране, пока младенец не отвернулся. Они обнаружили, что младенцы дольше смотрели на стимулы, соответствующие слуховым тонам, что позволяет предположить, что система аппроксимации несимволических чисел, даже в разных модальностях, присутствует в младенчестве. Что важно отметить в этих трех конкретных исследованиях несимволических чисел на людях, так это то, что они присутствуют в младенчестве и развиваются на протяжении всей жизни. Оттачивание их способностей к аппроксимации и распознаванию чисел, о чем свидетельствует улучшение дробей Вебера с течением времени, а также использование левого IPS для обеспечения более широкого пространства для обработки вычислений и перечислений, подтверждают утверждения, сделанные в отношении механизма обработки несимвольных чисел. в человеческом мозгу.

числом и другими

Есть свидетельства того, что числовое познание тесно связано с другими аспектами мышления, особенно с пространственным познанием. числовых форм Одна линия доказательств основана на исследованиях, проведенных на синестетах . Такие люди сообщают, что числа мысленно представляются в определенном пространственном расположении; другие воспринимают числа как воспринимаемые объекты, которыми можно визуально манипулировать для облегчения вычислений. Поведенческие исследования еще больше укрепляют связь между числовым и пространственным познанием. Например, участники быстрее реагируют на большие числа, если они реагируют на правой стороне пространства, и быстрее на меньшие числа, если они находятся слева — так называемая «пространственно-числовая ассоциация кодов ответов» или эффект SNARC . Этот эффект варьируется в зависимости от культуры и контекста. однако, и некоторые исследования даже начали подвергать сомнению, отражает ли SNARC внутреннюю ассоциацию числового пространства, вместо этого они обращаются к стратегическому решению проблем или к более общему когнитивному механизму, такому как концептуальная метафора . Более того, исследования нейровизуализации показывают, что связь между числом и пространством также проявляется в активности мозга. Например, области теменной коры демонстрируют общую активацию как пространственной, так и числовой обработки. Эти различные направления исследований предполагают сильную, но гибкую связь между числовым и пространственным познанием.

Модификацию обычного десятичного представления отстаивал Джон Колсон . Смысл дополнения , отсутствующий в обычной десятичной системе, выражается знаково-цифровым представлением .

в

Несколько психологов-потребителей также изучали эвристику, которую люди используют в числовом познании. Например, Томас и Морвиц (2009) рассмотрели несколько исследований, показывающих, что три эвристики, которые проявляются во многих повседневных суждениях и решениях – привязка, репрезентативность и доступность – также влияют на числовое познание. Они идентифицируют проявления этих эвристик в числовом познании как: эффект привязки левой цифры, эффект точности и эффект простоты вычислений соответственно. Эффект левой цифры относится к наблюдению, что люди склонны ошибочно считать разницу между 4,00 доллара США и 2,99 доллара США большей, чем разница между 4,01 доллара США и 3,00 доллара США, из-за привязки к крайним левым цифрам. Эффект точности отражает влияние репрезентативности набора цифр на суждения о величине. Большие величины обычно округляются и поэтому имеют много нулей, тогда как меньшие величины обычно выражаются точными числами; поэтому, полагаясь на репрезентативность набора цифр, люди могут ошибочно решить, что цена в 391 534 доллара более привлекательна, чем цена в 390 000 долларов. Эффект простоты вычислений показывает, что суждения о величине основаны не только на результатах мысленных вычислений, но также на их легкости или сложности. Обычно легче сравнить две несходные величины, чем две похожие величины; Чрезмерное использование этой эвристики может привести к тому, что люди ошибочно оценят разницу как большую для пар с более простыми вычислениями, например, 5,00 доллара минус 4,00 доллара, чем для пар со сложными вычислениями, например, 4,97 доллара минус 3,96 доллара.

Этнолингвистическая вариативность

Счетная грамотность коренных народов изучается с целью выявления универсальных аспектов числового познания у человека. Яркие примеры включают народ пираха, у которого нет слов для обозначения определенных чисел, и народ мундуруку, у которого есть только числовые слова до пяти. Взрослые пираханы не могут подсчитать точное количество орехов, содержащих менее десяти предметов. Антрополог Наполеон Шаньон провел несколько десятилетий, изучая яномами в полевых условиях. Он пришел к выводу, что им нет необходимости считать в повседневной жизни. Их охотники отслеживают отдельные стрелы с помощью тех же умственных способностей, которые они используют, чтобы узнавать членов своей семьи. Не существует известных культур охотников-собирателей, на языке которых была бы система счета. Умственные и языковые способности к счету связаны с развитием сельского хозяйства, а вместе с ним и появлением большого количества неразличимых предметов.

Исследовательский центр

Journal of Numerical Cognition — это журнал с открытым доступом, бесплатным для публикации и доступный только в Интернете, специально предназначенный для исследований в области числового познания. Ссылка на журнал

См. также

• Дополнение – арифметическая операция
• Приблизительная система счисления – врожденная способность обнаруживать различия в величине без подсчета.
• Подсчет – определение количества элементов конечного множества.
• Оценка – процесс поиска приближения
• Эффект адаптации к многочисленности - явление в числовом познании
• Порядковая цифровая компетентность – способность считать объекты по порядку и понимать отношения между числами «больше» и «меньше». Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Система параллельной индивидуации - несимволическая когнитивная система, поддерживающая представление числовых значений от нуля до трех или четырех. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Арифметика растений - форма познания растений.
• Проблема крапчатой ​​курицы . Тип эпистемологической проблемы. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Субитизация – оценка количества объектов в визуальной сцене без индивидуального подсчета каждого элемента.
• Вычитание – одно из четырех основных арифметических действий.

Ссылки

• Агрилло, К. (2012). «Доказательства существования двух числовых систем, похожих у людей и гуппи» . ПЛОС ОДИН . 7 (2). е31923. Бибкод : 2012PLoSO...731923A . дои : 10.1371/journal.pone.0031923 . ПМК   3280231 . ПМИД   22355405 .
• Барруйе, П.; Миньон, М.; Тевено, К. (2008). «Стратегии решения задач на вычитание у детей» . Журнал экспериментальной детской психологии . 99 (4): 233–251. дои : 10.1016/j.jecp.2007.12.001 . ПМИД   18241880 .
• Бертелетти, И.; Луканджели, Д.; Пьяцца, М.; Деэн, С.; Зорзи, М. (2010). «Численное оценивание у дошкольников». Психология развития . 46 (2): 545–551. дои : 10.1037/a0017887 . ПМИД   20210512 . S2CID   8496112 .
• Баттерворт, Б .; Рив, Р. (2008). «Вербальный счет и пространственные стратегии в числовых задачах: данные коренных народов Австралии». Философская психология . 4 (21): 443–457. дои : 10.1080/09515080802284597 . S2CID   2662436 .
• Баттерворт, Б .; Рив, Р.; Рейнольдс, Ф.; Ллойд, Д. (2008). «Числовое мышление со словами и без: свидетельства детей коренных народов Австралии» . Труды Национальной академии наук . 105 (35): 13179–13184. Бибкод : 2008PNAS..10513179B . дои : 10.1073/pnas.0806045105 . ПМЦ   2527348 . ПМИД   18757729 .
• Кэмпбелл, JID; Сюэ, К. (2001). «Когнитивная арифметика в разных культурах» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии: Общие сведения . 130 (2): 299–315. дои : 10.1037/0096-3445.130.2.299 . ПМИД   11409105 .
• Кантлон, JF ; Брэннон, EM; Картер, Э.Дж.; Пелфри, Калифорния (11 апреля 2006 г.). «Функциональная визуализация цифровой обработки у взрослых и 4-летних детей» . ПЛОС Биология . 4 (5). е125. doi : 10.1371/journal.pbio.0040125 . ISSN   1545-7885 . ПМЦ   1431577 . ПМИД   16594732 .
• Кэри, С. (2004). «Самозагрузка и истоки концепций» . Дедал . 133 : 59–68. дои : 10.1162/001152604772746701 . S2CID   54493789 .
• Кэри, С. (2009). «Откуда берутся наши концепции чисел» . Журнал философии . 106 (4): 220–254. дои : 10.5840/jphil2009106418 . ПМЦ   3489488 . ПМИД   23136450 .
• Деэн, Станислас (1992). «Разновидности числовых способностей». Познание . 44 (1–2): 1–42. дои : 10.1016/0010-0277(92)90049-N . ПМИД   1511583 . S2CID   24382907 .
• Деэн, Станислас (1997). Чувство числа: как разум создает математику . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-513240-3 .
• Деэн, С.; Боссини, С.; Жиро, П. (сентябрь 1993 г.). «Ментальное представление четности и величины числа». Журнал экспериментальной психологии . 122 (3): 371–396. дои : 10.1037/0096-3445.122.3.371 .
• Фейгенсон, Л.; Деэн, С. ; Спелке, Э. (2004). «Основные системы счисления». Тенденции в когнитивных науках . 8 (7): 307–314. дои : 10.1016/j.tics.2004.05.002 . ПМИД   15242690 . S2CID   17313189 .
• Фишер, Миннесота; Миллс, РА; Шеки, С. (апрель 2010 г.). «Как приготовить SNARC: размещение чисел в тексте быстро меняет пространственно-числовые ассоциации». Мозг и познание . 72 (3): 333–336. дои : 10.1016/j.bandc.2009.10.010 . ПМИД   19917517 . S2CID   19626981 .
• Гальтон, Фрэнсис (25 марта 1880 г.). «Визуализированные цифры» . Природа . 21 (543): 494–495. Бибкод : 1880Natur..21..494G . дои : 10.1038/021494e0 . S2CID   4074444 .
• Гельман, Рошель ; Галлистел, Чарльз Р. (1978). Понимание ребенком числа . Кембриджская Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674116368 .
• Хаббард, Э.М.; Пьяцца, М.; Пинель, П.; Деэн, С. (июнь 2005 г.). «Взаимодействие между числом и пространством в теменной коре». Обзоры природы Неврология . 6 (1–2): 435–448. дои : 10.1038/nrn1684 . ПМИД   15928716 . S2CID   1465072 .
• Изард, В.; Санн, К.; Спелке, ЕС; Стрери, А. (23 июня 2009 г.). «Новорожденные воспринимают абстрактные числа» . Труды Национальной академии наук . 106 (25): 10382–10385. Бибкод : 2009PNAS..10610382I . дои : 10.1073/pnas.0812142106 . ISSN   0027-8424 . ПМК   2700913 . ПМИД   19520833 .
• Ханум, С.; Ханиф, Р.; Спелке, ЕС; Бертелетти, И.; Хайд, округ Колумбия (20 октября 2016 г.). «Влияние практики несимволического приближенного числа на символические числовые способности у пакистанских детей» . ПЛОС ОДИН . 11 (10): e0164436. Бибкод : 2016PLoSO..1164436K . дои : 10.1371/journal.pone.0164436 . ISSN   1932-6203 . ПМК   5072670 . ПМИД   27764117 .
• МакКомб, К.; Пакер, К.; Пьюзи, А. (1994). «Рёв и численная оценка в состязаниях между группами львиц Panthera leo ». Поведение животных . 47 (2): 379–387. дои : 10.1006/anbe.1994.1052 . S2CID   53183852 .
• Нидер, А. (2005). «Подсчет нейронов: нейробиология числовой компетентности». Обзоры природы Неврология . 6 (3): 177–190. дои : 10.1038/nrn1626 . ПМИД   15711599 . S2CID   14578049 .
• Нидер, А.; Фридман, диджей; Миллер, ЭК (2002). «Представление количества зрительных объектов в префронтальной коре приматов». Наука . 297 (5587): 1708–1711. Бибкод : 2002Sci...297.1708N . дои : 10.1126/science.1072493 . ПМИД   12215649 . S2CID   20871267 .
• Нидер, А.; Миллер, ЭК (2003). «Кодирование когнитивной величины: сжатое масштабирование числовой информации в префронтальной коре приматов» . Нейрон . 37 (1): 149–157. дои : 10.1016/s0896-6273(02)01144-3 . ПМИД   12526780 . S2CID   5704850 .
• Нидер, А.; Миллер, ЭК (2004). «Теменно-лобная сеть для визуальной числовой информации у обезьяны» . Труды Национальной академии наук . 101 (19): 7457–7462. Бибкод : 2004PNAS..101.7457N . дои : 10.1073/pnas.0402239101 . ПМК   409940 . ПМИД   15123797 .
• Нуньес, Р. (2009). «Числа и арифметика: ни запрограммированы, ни снаружи». Биологическая теория . 4 (1): 68–83. CiteSeerX   10.1.1.610.6016 . дои : 10.1162/biot.2009.4.1.68 . S2CID   1707771 .
• Нуньес, Р.; Доан, Д.; Никулина А. (август 2011 г.). «Сжатие, ударение и вокализация: является ли представление чисел фундаментально пространственным?». Познание . 120 (2): 225–235. дои : 10.1016/j.cognition.2011.05.001 . ПМИД   21640338 . S2CID   16362508 .
• Пьяцца, М.; Эгер, Э. (2016). «Нейронные основы и функциональная специфика числовых представлений». Нейропсихология . 83 : 257–273. doi : 10.1016/j.neuropsychologia.2015.09.025 . hdl : 11572/114302 . ПМИД   26403660 . S2CID   22957569 .
• Пьяцца, М.; Изард, В.; Пинель, П.; Ле Биан, Д.; Деэн, С. (2004). «Кривые настройки приблизительной численности в внутритеменной борозде человека» . Нейрон . 44 (3): 547–555. дои : 10.1016/j.neuron.2004.10.014 . ПМИД   15504333 . S2CID   6288232 .
• Пика, П. ; Лемер, К.; Изард, В.; Деэн, С. (2004). «Точная приблизительная арифметика в группе коренных народов Амазонии» . Наука . 306 (5695): 499–503. Бибкод : 2004Sci...306..499P . дои : 10.1126/science.1102085 . ПМИД   15486303 . S2CID   10653745 .
• Пинель, П.; Деэн, С. ; Ривьер, Д.; Ле Биан, Д. (2001). «Модуляция теменной активации семантическим расстоянием в задаче сравнения чисел». НейроИмидж . 14 (5): 1013–1026. CiteSeerX   10.1.1.5.6247 . дои : 10.1006/нимг.2001.0913 . ПМИД   11697933 . S2CID   17633857 .
• Пинель, П.; Пьяцца, М.; Ле Биан, Д.; Деэн, С. (2004). «Распределенные и перекрывающиеся мозговые представления числа, размера и яркости во время сравнительных суждений» . Нейрон . 41 (6): 983–993. дои : 10.1016/s0896-6273(04)00107-2 . ПМИД   15046729 . S2CID   9372570 .
• Пинкер, Стивен (2008). Материал мысли: язык как окно в человеческую природу . Книги о пингвинах . ISBN  978-0143114246 . Проверено 8 ноября 2012 г.
• Томас, Манодж; Морвиц, Вики (2009). «Эвристика в численном познании: значение для ценообразования». В Рао, Витала Р. (ред.). Справочник по ценовым исследованиям в маркетинге . Эдвард Элгар. стр. 132–. ISBN  9781847202406 . OCLC   807401627 .
• Уолш, В. (ноябрь 2003 г.). «Теория величины: общие корковые метрики времени, пространства и количества». Тенденции в когнитивных науках . 7 (11): 483–488. дои : 10.1016/j.tics.2003.09.002 . ПМИД   14585444 . S2CID   1761795 .

Дальнейшее чтение

• Лакофф, Джордж ; Нуньес, Рафаэль Э. (2000). Откуда взялась математика . Нью-Йорк: Основные книги. ISBN  978-0-465-03770-4 .