Закон Вебера-Фехнера

Законы Вебера-Фехнера — это два взаимосвязанных научных закона в области психофизики , известные как закон Вебера и закон Фехнера . Оба относятся к человеческому восприятию, а точнее к взаимосвязи между фактическим изменением физического стимула и воспринимаемым изменением. Сюда входят раздражители всех органов чувств: зрения, слуха, вкуса, осязания и обоняния.

Эрнст Генрих Вебер утверждает, что «минимальное увеличение стимула, которое приведет к заметному усилению ощущений, пропорционально уже существующему стимулу», в то время как закон Густава Фехнера представляет собой вывод из закона Вебера (с дополнительными предположениями), который гласит, что Интенсивность наших ощущений увеличивается пропорционально логарифму увеличения энергии, а не так же быстро, как увеличение. ^[1]

История и формулировка законов

И закон Вебера, и закон Фехнера были сформулированы Густавом Теодором Фехнером (1801–1887). Впервые они были опубликованы в 1860 году в работе Elemente der Psychophysik ( «Элементы психофизики »). Эта публикация была первой работой в этой области, и в ней Фехнер ввел термин «психофизика» для описания междисциплинарного исследования того, как люди воспринимают физические величины. ^[2] Он заявил, что «...психофизика представляет собой точную доктрину отношения функций или зависимости между телом и душой». ^[3]

закон Вебера

Эрнст Генрих Вебер первых, кто подошел к изучению реакции человека на физический раздражитель количественным (1795–1878) был одним из способом. Фехнер был учеником Вебера и назвал свой первый закон в честь своего наставника, поскольку именно Вебер провел эксперименты, необходимые для формулировки закона. ^[4]

Фехнер сформулировал несколько версий закона, все из которых выражают одну и ту же идею. Одна из формулировок гласит:

Простая дифференциальная чувствительность обратно пропорциональна размеру составляющих разности; относительная дифференциальная чувствительность остается неизменной независимо от размера. ^[2]

Это означает, что воспринимаемое изменение стимулов пропорционально первоначальным стимулам.

Закон Вебера также включает в себя едва заметную разницу (JND). Это наименьшее изменение стимулов, которое можно воспринять. JND $dS$ пропорционален исходной интенсивности стимулов $S.$ Как указано выше , Математически это можно описать как $dS=K\cdot S$ где $S$ является эталонным стимулом и $K$ является константой. ^[5] Его можно записать как $Ψ = k log S$ , где $Ψ$ — это ощущение, $k$ будучи константой, и $S$ физическая интенсивность раздражителя.

Закон Вебера всегда не работает при низких интенсивностях, вблизи и ниже абсолютного порога обнаружения, а часто также и при высоких интенсивностях, но может быть приблизительно верным в широком среднем диапазоне интенсивностей. ^[6]

Вебер контраст

Хотя закон Вебера включает в себя утверждение о пропорциональности воспринимаемого изменения первоначальным стимулам, Вебер ссылается на это только как на практическое правило в отношении человеческого восприятия. Именно Фехнер сформулировал это утверждение в виде математического выражения, называемого контрастом Вебера . ^[2]^[7]^[8]^[9]

$dp={\frac {dS}{S}}\,\!$ Контраст Вебера не является частью закона Вебера. ^[2]^[7]

закон Фехнера

Фехнер в своих исследованиях заметил, что разные люди обладают разной чувствительностью к определенным раздражителям. Например, способность воспринимать различия в интенсивности света может быть связана с тем, насколько хорошо у человека зрение. ^[2] Он также отметил, что то, как меняется чувствительность человека к раздражителям, зависит от того, какое чувство затронуто. Он использовал это, чтобы сформулировать другую версию закона Вебера, которую он назвал die Maßformel , «формула измерения». Закон Фехнера гласит, что субъективное ощущение пропорционально логарифму интенсивности стимула. Согласно этому закону, человеческое восприятие изображения и звука работает следующим образом: воспринимаемая громкость/яркость пропорциональна логарифму фактической интенсивности, измеренной точным нечеловеческим инструментом. ^[7]

$p=k\ln {\frac {S}{S_{0}}}\,\!$

Отношения между стимулом и восприятием логарифмические . Это логарифмическое соотношение означает, что если стимул изменяется в геометрической прогрессии (т. е. умножается на фиксированный коэффициент), соответствующее восприятие изменяется в арифметической прогрессии (т. е. в аддитивных константах). Например, если сила стимула утроена (т. е. 3 × 1 ), соответствующее восприятие может быть в два раза сильнее его исходного значения (т. е. 1 + 1 ). Если силу стимула снова утроить (т. е. 3 × 3 × 1 ), соответствующее восприятие будет в три раза сильнее исходного значения (т. е. 1 + 1 + 1 ). Следовательно, при умножении силы стимула сила восприятия только увеличивается. Математический вывод крутящих моментов на простых балансирных весах дает описание, строго совместимое с законом Вебера. ^[10]^[11]

Поскольку закон Вебера не работает при низкой интенсивности, то же самое делает и закон Фехнера. ^[6]

Раннее упоминание о «законе Фехнера» было сделано в 1875 году Людимаром Германом в «Элементах физиологии человека » . ^[12]

Вывод закона Фехнера

Закон Фехнера является математическим выводом контраста Вебера.

$dp=k{\frac {dS}{S}}$

Интегрирование математического выражения контраста Вебера дает:

$p=k\ln {S}+C$

где $C$ — константа интегрирования , а ln — натуральный логарифм .

Решить для $C$ Предположим, что воспринимаемый стимул становится нулевым при некотором пороговом стимуле. $S_{0}$ . Используя это как ограничение, установите $p=0$ и $S=S_{0}$ . Это дает:

$C=-k\ln {S_{0}}$

Замена $C$ в интегрированном выражении закона Вебера это выражение можно записать как:

$p=k\ln {\frac {S}{S_{0}}}$

Константа k зависит от смысла и должна определяться в зависимости от смысла и типа стимула. ^[7]

Типы восприятия

Вебер и Фехнер провели исследование различий в интенсивности света и воспринимаемой разницы в весе. ^[2] Другие смысловые модальности обеспечивают лишь неоднозначную поддержку закона Вебера или закона Фехнера.

Восприятие веса

Вебер обнаружил, что едва заметная разница (JND) между двумя весами была примерно пропорциональна весам. Таким образом, если вес 105 г можно (лишь) отличить от веса 100 г, JND (или дифференциальный порог) равен 5 г. Если массу увеличить вдвое, дифференциальный порог также увеличится вдвое до 10 г, так что 210 г можно отличить от 200 г. В этом примере вес (любой вес), похоже, должен увеличиться на 5%, чтобы кто-то мог надежно обнаружить увеличение, и это минимально необходимое дробное увеличение (5/100 от исходного веса) называется «Дробь Вебера» для определения изменений веса. Другие задачи распознавания, такие как обнаружение изменений яркости, высоты тона (чистой частоты тона) или длины линии, отображаемой на экране, могут иметь разные доли Вебера, но все они подчиняются закону Вебера в том, что наблюдаемые значения должны измениться хотя бы на небольшую, но постоянную долю текущего значения, чтобы гарантировать, что люди-наблюдатели смогут надежно обнаружить это изменение.

Фехнер не проводил никаких экспериментов по изучению того, как воспринимаемая тяжесть увеличивается с увеличением массы стимула. Вместо этого он предположил, что все JND субъективно равны, и математически доказал, что это приведет к логарифмической зависимости между интенсивностью стимула и ощущением. Оба эти предположения были подвергнуты сомнению. ^[13]^[14] Следуя работам С.С. Стивенса, многие исследователи в 1960-х годах пришли к выводу, что степенной закон Стивенса является более общим психофизическим принципом, чем логарифмический закон Фехнера.

Звук

Закон Вебера не совсем справедлив для громкости . Это хорошее приближение для более высоких интенсивностей, но не для более низких амплитуд. ^[15]

Ограничение закона Вебера в слуховой системе

Закон Вебера не действует при восприятии более высоких интенсивностей. Различение по интенсивности улучшается при более высоких интенсивностях. Первую демонстрацию этого явления представил Рисс в 1928 году в журнале Physical Review. Это отклонение от закона Вебера известно как «почти промах» закона Вебера. Этот термин был придуман МакГиллом и Голдбергом в их статье 1968 года в журнале «Восприятие и психофизика». Их исследование заключалось в различении интенсивности чистых тонов. Дальнейшие исследования показали, что близкое попадание наблюдается и в отношении шумовых стимулов. Джестедт и др. (1977) ^[16] продемонстрировал, что близкое попадание сохраняется на всех частотах, и что различение по интенсивности не является функцией частоты, и что изменение дискриминации в зависимости от уровня может быть представлено одной функцией на всех частотах: $\Delta I/I=0.463{(I/I_{0})}^{-0.072}$ . ^[16]

Зрение

Неравномерный свет из окна.

Тот же свет, перераспределенный призменной плиткой в окне.

Из-за логарифмического восприятия уровней освещенности, если свет перераспределяется от самых ярких частей комнаты к самым тусклым, комната в целом кажется ярче, и большему пространству можно предоставить полезный и комфортный уровень освещенности.

Глаз воспринимает яркость примерно логарифмически в умеренном диапазоне, а звездная величина измеряется по логарифмической шкале. ^[17]Эта шкала звездных величин была изобретена древнегреческим астрономом Гиппархом примерно в 150 г. до н. э. Он ранжировал звезды, которые мог видеть, по их яркости: от 1 — самая яркая, до 6 — самая слабая, хотя теперь шкала расширена за эти пределы. ; увеличение на 5 звездных величин соответствует уменьшению блеска в 100 раз. ^[17]Современные исследователи попытались включить такие эффекты восприятия в математические модели зрения. ^[18]^[19]

Ограничения закона Вебера в восприятии зрительной регулярности

Восприятие узоров стекла ^[20] а зеркальная симметрия при наличии шума подчиняется закону Вебера в среднем диапазоне отношений регулярности к шуму ( S ), но в обоих внешних диапазонах чувствительность к изменениям непропорционально ниже. В роли Мэлони, Митчисона и Барлоу (1987) ^[21] показано для узоров стекла и как ван дер Хельм (2010). ^[22] Как показано для зеркальных симметрий, восприятие этих зрительных закономерностей во всем диапазоне отношений регулярности к шуму подчиняется закону p = g /(2+1/ S ) с параметром g , который необходимо оценить по экспериментальным данным.

Ограничение закона Вебера при низких уровнях освещенности

Приращение порога в зависимости от фоновой яркости для различных диаметров цели (в угловых минутах). Данные из таблиц 4 и 8 Blackwell (1946), построенные в Crumey (2014).

Для зрения закон Вебера предполагает постоянство яркостного контраста . Предположим, целевой объект установлен на фоновой яркости. $B$ . Чтобы быть видимой, цель должна быть на небольшую величину ярче или тусклее фона. $\Delta B$ . Контраст Вебера определяется как $C=\Delta B/B$ , а закон Вебера гласит, что $C$ должно быть постоянным для всех $B$ .

Человеческое зрение точно следует закону Вебера при нормальном уровне дневного освещения (т. е. в фотопическом диапазоне ), но начинает ухудшаться на сумеречном уровне ( мезопический диапазон) и совершенно неприменимо при низких уровнях освещенности ( скотопическое зрение ). Это можно увидеть в данных, собранных Blackwell. ^[23] и задумано Круми , ^[24] приращения порога $показ журнала$ $\Delta B$ сравнения фоновой яркости $Журнал$ $B$ для различных размеров целей. При дневном освещении кривые примерно прямые с наклоном 1, $т.е.$ $\Delta B$ = $журнал$ $B+const.$ , подразумевая $C=\Delta B/B$ является постоянным. На самых темных уровнях фона ( $B$ ≲ 10 ^{− 5} компакт-диск м ⁻², примерно 25 магнитных угловых секунд ⁻²) ^[24] кривые плоские — здесь единственным визуальным восприятием является собственный нейронный шум наблюдателя ( «темный свет» ). В промежуточном диапазоне часть может быть аппроксимирована законом Де Фриза — Роуза , родственным закону Рикко .

Логарифмические схемы кодирования нейронов

Логнормальные распределения

Активация нейронов сенсорными стимулами во многих частях мозга происходит по пропорциональному закону: нейроны меняют частоту импульсов примерно на 10–30% при стимула (например, естественной сцены для зрения приложении ). Однако, как Шелер (2017) ^[25] показал,Популяционное распределение собственной возбудимости или усиления нейрона представляет собой распределение с тяжелым хвостом , точнее, логнормальную форму, что эквивалентно логарифмической схеме кодирования. Таким образом, нейроны могут испытывать импульсы с разной средней скоростью в 5–10 раз. Очевидно, это увеличивает динамический диапазон популяции нейронов, в то время как изменения, вызванные стимулом, остаются небольшими и линейно пропорциональными.

Анализ ^[26] Длина комментариев на форумах в Интернете на нескольких языках показывает, что длина комментариев с большой точностью подчиняется логнормальному распределению. Авторы объясняют распределение проявлением закона Вебера–Фехнера.

Другие приложения

Закон Вебера-Фехнера применялся не только в области человеческих чувств, но и в других областях исследований.

Числовое познание

Психологические исследования показывают, что различать два числа становится все труднее по мере того, как разница между ними уменьшается. Это называется эффектом расстояния . ^[27]^[28] Это важно в областях оценки величины, таких как работа с большими масштабами и оценка расстояний. Это также может сыграть роль в объяснении того, почему потребители пренебрегают покупками, чтобы сэкономить небольшой процент на крупной покупке, но будут делать покупки, чтобы сэкономить большой процент на небольшой покупке, которая представляет собой гораздо меньшую абсолютную сумму в долларах. ^[29]

Фармакология

Была выдвинута гипотеза, что зависимость «доза-реакция» может подчиняться закону Вебера. ^[30] что предполагает, что этот закон, который часто применяется на сенсорном уровне, возникает из-за основных реакций хеморецепторов на дозовые соотношения клеточных сигналов внутри организма. Реакция на дозу может быть связана с уравнением Хилла , которое ближе к степенному закону.

Государственные финансы

Существует новая ветвь литературы по государственным финансам, в которой выдвигается гипотеза о том, что закон Вебера-Фехнера может объяснить растущий уровень государственных расходов в зрелых демократиях. Выборы за выборами избиратели требуют большего количества общественных благ для эффективного воздействия; поэтому политики пытаются увеличить величину этого «сигнала» компетентности – размер и состав государственных расходов – чтобы собрать больше голосов. ^[31]

Эмоции

Предварительные исследования показали, что приятные эмоции подчиняются закону Вебера: точность оценки их интенсивности снижается по мере увеличения приятности. Однако для неприятных эмоций эта закономерность не наблюдалась, что указывает на необходимость точного распознавания высокоинтенсивных негативных эмоций, связанную с выживанием. ^[32]

См. также

Ссылки

^ Джинс, Джеймс (1968/1937). Наука и музыка , стр. 222, 224. Dover Publications.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Фехнер, Густав Теодор (1966) [Впервые опубликовано в 1860 году]. Хоуз, Д.Х.; Боринг, Э.Г. (ред.). психофизики Элементы . Том. 1. Перевод Адлера, Х. Э. Соединенные Штаты Америки: Холт, Райнхарт и Уинстон.
^ Прингл-Паттисон 1911 , с. 458.
^ Росс, Х.Э. и Мюррей, ди-джей (ред. и перевод) (1996) Э.Х. Вебер о тактильных ощущениях . 2-е изд. Хоув: Эрлбаум (Великобритания) Тейлор и Фрэнсис;
^ Кандел, Эрик Р.; Джесселл, Томас М.; Шварц, Джеймс Х.; Сигельбаум, Стивен А.; Хадспет, Эй Джей (2013). Принципы нейронауки . Кандел, Эрик Р. (5-е изд.). Нью-Йорк. п. 451. ИСБН 9780071390118 . OCLC 795553723 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Уильям Фишер Норрис и Чарльз Огастес Оливер (1900). Система болезней глаз, Том 1 . Компания JB Lippincott. п. 515.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Фехнер, Густав Теодор (1860). психофизики Том 2. Лейпциг: Брейткопф и Хертель. Элементы
^ Ли, У-бин; Лу, Чан-хоу; Чжан, Цзянь-чуань (февраль 2013 г.). Алгоритм контрастного обнаружения Вебера с нижней огибающей для ямок на поверхности стального стержня (Диссертация). Том. 45. Оптика и лазерная техника. стр. 654–659.
^ Дрю, ЮАР; Чабб, CF; Сперлинг, Дж. (2010). Точные фильтры внимания для контраста Вебера, полученные на основе оценок центроидов (статья). Том. 10. Журнал видения. стр. 16с. ISSN 1534-7362 .
^ Ланзара, Ричард Г. (1994). «Закон Вебера, смоделированный с помощью математического описания балансира луча» . Математические биологические науки . 122 (1). CogPrints: 89–94. дои : 10.1016/0025-5564(94)90083-3 . ПМИД 8081050 . Проверено 5 декабря 2015 г.
^ «Биобаланс – Справочная библиотека» . bio-balance.com . Проверено 5 декабря 2015 г.
^ Герман, Людимар (1875). «Элементы физиологии человека» .
^ Гейдельбергер, М. (2004) Природа изнутри: Густав Теодор Фехнер и его психофизическое мировоззрение . Перевод К. Клор. Питтсбург, США: Издательство Питтсбургского университета.
^ Масин, Южная Каролина; Зудини, В.; Антонелли, М. (2009). «Ранние альтернативные выводы закона Фехнера» (PDF) . Журнал истории поведенческих наук . 45 (1): 56–65. дои : 10.1002/jhbs.20349 . ПМИД 19137615 .
^ Йост, Уильям А. (2000). Основы слуха: введение (4-е изд.). Сан-Диего [ua]: Academic Press. стр. 158 . ISBN 978-0-12-775695-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Джстедт Уолт, Вир Крейг К., Грин Дэвид М. (1977). «Различение интенсивности как функция частоты и уровня ощущений». Журнал Акустического общества Америки . 61 (1): 169–77. Бибкод : 1977ASAJ...61..169J . дои : 10.1121/1.381278 . ПМИД 833368 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б В. Б. Бхатия (2001). Астрономия и астрофизика с элементами космологии . ЦРК Пресс. п. 20. ISBN 978-0-8493-1013-3 .
^ Цзяньхун (Джеки) Шен; Юн-Мо Юнг (2006). «Веберизованная модель Мамфорда-Шаха с фотонным шумом Бозе-Эйнштейна». Прил. Математика. Оптим . 53 (3): 331–358. CiteSeerX 10.1.1.129.1834 . дои : 10.1007/s00245-005-0850-1 . S2CID 18794171 .
^ Цзяньхун (Джеки) Шен (2003). «Об основах моделирования зрения. Закон И. Вебера и восстановление веберизованного телевидения (полная вариация)». Физика D: Нелинейные явления . 175 (3/4): 241–251. дои : 10.1016/S0167-2789(02)00734-0 .
^ Смит, Мэтью; Гласс, Леон (2011). «Узоры на стекле» . Схоларпедия . 6 (8): 9594. Бибкод : 2011SchpJ...6.9594G . doi : 10.4249/scholarpedia.9594 .
^ Мэлони Р.К., Митчисон Г.Дж., Барлоу Х.Б. (1987). «Предел обнаружения узоров Стекла при наличии шума». Журнал Оптического общества Америки А. 4 (12): 2336–2341. Бибкод : 1987JOSAA...4.2336M . дои : 10.1364/josaa.4.002336 . ПМИД 3430220 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ ван дер Хельм, Пенсильвания (2010). «Поведение Вебера-Фехнера при восприятии симметрии?» . Внимание, восприятие и психофизика . 72 (7): 1854–1864. дои : 10.3758/app.72.7.1854 . ПМИД 20952783 .
^ Блэквелл, Х. Ричард (1946). «Контрастные пороги человеческого глаза». Журнал Оптического общества Америки . 36 (11): 624–643. дои : 10.1364/JOSA.36.000624 . ПМИД 20274431 .
^ Jump up to: ^а ^б Круми, Эндрю (2014). «Человеческий контрастный порог и астрономическая видимость» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 442 (3): 2600–2619. arXiv : 1405.4209 . дои : 10.1093/mnras/stu992 .
^ Шелер Г. (2017). «Логарифмические распределения доказывают, что внутреннее обучение является хеббианским» . F1000Исследования . 6 : 1222. дои : 10.12688/f1000research.12130.2 . ПМК 5639933 . ПМИД 29071065 .
^ Собкович, Павел; Телволл, Майк; Бакли, Киван; Палтоглу, Георгиос; Собкович, Антони (18 февраля 2013 г.). "Логнормальное распределение длины сообщений пользователей в интернет-дискуссиях - следствие закона Вебера-Фехнера?" . EPJ Наука о данных . 2 (1): 2. дои : 10.1140/epjds14 . ISSN 2193-1127 . S2CID 187893 .
^ Мойер Р.С., Ландауэр Т.К. (сентябрь 1967 г.). «Время, необходимое для суждений о числовом неравенстве». Природа . 215 (5109): 1519–20. Бибкод : 1967Natur.215.1519M . дои : 10.1038/2151519a0 . ПМИД 6052760 . S2CID 4298073 .
^ Лонго М.Р., Лоренко С.Ф. (2007). «Пространственное внимание и мысленная числовая линия: свидетельства характерных предубеждений и сжатия». Нейропсихология . 45 (7): 1400–6. doi : 10.1016/j.neuropsychologia.2006.11.002 . ПМИД 17157335 . S2CID 1969090 .
^ «Агентство по работе с потребителями запускает инструмент, который поможет вам найти более дешевую ипотеку» . NPR.org .
^ Д. Мюррей Лайон (1923). «Подчиняется ли реакция на адреналин закону Вебера?» . Журнал фармакологии и экспериментальной терапии . 21 (4): 229–235.
^ Мурао, П. (2012). «Закон Вебера-Фехнера и влияние государственных расходов на победу на парламентских выборах» . Пражские экономические записки . 21 (3): 290–308. дои : 10.18267/j.pep.425 .
^ Гедрих, Владимир (25 декабря 2023 г.). «Новое интригующее исследование показывает, что положительные эмоции подчиняются классическому психофизическому закону» . ПсиПост . Проверено 25 декабря 2023 г.

Дальнейшее чтение

Рис, Клеменс (1962). Стандартизация ( по предпочтительным числам на немецком языке) (1-е изд.). Берлин l: Duncker & Humblot Verlag [ de ] . ISBN 978-3-42801242-8 . (135 страниц)
Полин, Евгений (1 сентября 2007 г.). Логарифмы, стандартные числа, децибелы, Непер, Фон - конечно родственные! [ Логарифмы, предпочтительные числа, децибелы, непер, фон – естественно связаны! ] (PDF) (на немецком языке). Архивировано (PDF) из оригинала 18 декабря 2016 г. Проверено 18 декабря 2016 г.

Внешние ссылки

Тексты в Wikisource:
- « Закон Вебера ». Американская энциклопедия . 1920.
- Прингл-Паттисон, Эндрю Сет (1911). « Закон Вебера ». В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 28 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 458–459. Он содержит подробное современное описание применимости закона и несколько дополнительных ссылок.
Фрай, Ханна (25 мая 2018 г.). «Закон Вебера» (видео) . Ютуб . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г. Проверено 28 мая 2018 г.

[1] Джинс, Джеймс (1968/1937). Наука и музыка , стр. 222, 224. Dover Publications.

[Fechner1-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Фехнер, Густав Теодор (1966) [Впервые опубликовано в 1860 году]. Хоуз, Д.Х.; Боринг, Э.Г. (ред.). психофизики Элементы . Том. 1. Перевод Адлера, Х. Э. Соединенные Штаты Америки: Холт, Райнхарт и Уинстон.

[FOOTNOTEPringle-Pattison1911458-3] Прингл-Паттисон 1911 , с. 458.

[4] Росс, Х.Э. и Мюррей, ди-джей (ред. и перевод) (1996) Э.Х. Вебер о тактильных ощущениях . 2-е изд. Хоув: Эрлбаум (Великобритания) Тейлор и Фрэнсис;

[5] Кандел, Эрик Р.; Джесселл, Томас М.; Шварц, Джеймс Х.; Сигельбаум, Стивен А.; Хадспет, Эй Джей (2013). Принципы нейронауки . Кандел, Эрик Р. (5-е изд.). Нью-Йорк. п. 451. ИСБН 9780071390118 . OCLC 795553723 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[norris-6] Jump up to: ^а ^б Уильям Фишер Норрис и Чарльз Огастес Оливер (1900). Система болезней глаз, Том 1 . Компания JB Lippincott. п. 515.

[Fechner2-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Фехнер, Густав Теодор (1860). психофизики Том 2. Лейпциг: Брейткопф и Хертель. Элементы

[8] Ли, У-бин; Лу, Чан-хоу; Чжан, Цзянь-чуань (февраль 2013 г.). Алгоритм контрастного обнаружения Вебера с нижней огибающей для ямок на поверхности стального стержня (Диссертация). Том. 45. Оптика и лазерная техника. стр. 654–659.

[9] Дрю, ЮАР; Чабб, CF; Сперлинг, Дж. (2010). Точные фильтры внимания для контраста Вебера, полученные на основе оценок центроидов (статья). Том. 10. Журнал видения. стр. 16с. ISSN 1534-7362 .

[10] Ланзара, Ричард Г. (1994). «Закон Вебера, смоделированный с помощью математического описания балансира луча» . Математические биологические науки . 122 (1). CogPrints: 89–94. дои : 10.1016/0025-5564(94)90083-3 . ПМИД 8081050 . Проверено 5 декабря 2015 г.

[11] «Биобаланс – Справочная библиотека» . bio-balance.com . Проверено 5 декабря 2015 г.

[12] Герман, Людимар (1875). «Элементы физиологии человека» .

[13] Гейдельбергер, М. (2004) Природа изнутри: Густав Теодор Фехнер и его психофизическое мировоззрение . Перевод К. Клор. Питтсбург, США: Издательство Питтсбургского университета.

[14] Масин, Южная Каролина; Зудини, В.; Антонелли, М. (2009). «Ранние альтернативные выводы закона Фехнера» (PDF) . Журнал истории поведенческих наук . 45 (1): 56–65. дои : 10.1002/jhbs.20349 . ПМИД 19137615 .

[15] Йост, Уильям А. (2000). Основы слуха: введение (4-е изд.). Сан-Диего [ua]: Academic Press. стр. 158 . ISBN 978-0-12-775695-0 .

[Jesteadt_Walt,_Wier_Craig_C.,_Green_David_M._1977_169–77-16] Jump up to: ^а ^б Джстедт Уолт, Вир Крейг К., Грин Дэвид М. (1977). «Различение интенсивности как функция частоты и уровня ощущений». Журнал Акустического общества Америки . 61 (1): 169–77. Бибкод : 1977ASAJ...61..169J . дои : 10.1121/1.381278 . ПМИД 833368 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[bhatia-17] Jump up to: ^а ^б В. Б. Бхатия (2001). Астрономия и астрофизика с элементами космологии . ЦРК Пресс. п. 20. ISBN 978-0-8493-1013-3 .

[18] Цзяньхун (Джеки) Шен; Юн-Мо Юнг (2006). «Веберизованная модель Мамфорда-Шаха с фотонным шумом Бозе-Эйнштейна». Прил. Математика. Оптим . 53 (3): 331–358. CiteSeerX 10.1.1.129.1834 . дои : 10.1007/s00245-005-0850-1 . S2CID 18794171 .

[19] Цзяньхун (Джеки) Шен (2003). «Об основах моделирования зрения. Закон И. Вебера и восстановление веберизованного телевидения (полная вариация)». Физика D: Нелинейные явления . 175 (3/4): 241–251. дои : 10.1016/S0167-2789(02)00734-0 .

[20] Смит, Мэтью; Гласс, Леон (2011). «Узоры на стекле» . Схоларпедия . 6 (8): 9594. Бибкод : 2011SchpJ...6.9594G . doi : 10.4249/scholarpedia.9594 .

[21] Мэлони Р.К., Митчисон Г.Дж., Барлоу Х.Б. (1987). «Предел обнаружения узоров Стекла при наличии шума». Журнал Оптического общества Америки А. 4 (12): 2336–2341. Бибкод : 1987JOSAA...4.2336M . дои : 10.1364/josaa.4.002336 . ПМИД 3430220 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[22] ван дер Хельм, Пенсильвания (2010). «Поведение Вебера-Фехнера при восприятии симметрии?» . Внимание, восприятие и психофизика . 72 (7): 1854–1864. дои : 10.3758/app.72.7.1854 . ПМИД 20952783 .

[23] Блэквелл, Х. Ричард (1946). «Контрастные пороги человеческого глаза». Журнал Оптического общества Америки . 36 (11): 624–643. дои : 10.1364/JOSA.36.000624 . ПМИД 20274431 .

[crumey-24] Jump up to: ^а ^б Круми, Эндрю (2014). «Человеческий контрастный порог и астрономическая видимость» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 442 (3): 2600–2619. arXiv : 1405.4209 . дои : 10.1093/mnras/stu992 .

[25] Шелер Г. (2017). «Логарифмические распределения доказывают, что внутреннее обучение является хеббианским» . F1000Исследования . 6 : 1222. дои : 10.12688/f1000research.12130.2 . ПМК 5639933 . ПМИД 29071065 .

[26] Собкович, Павел; Телволл, Майк; Бакли, Киван; Палтоглу, Георгиос; Собкович, Антони (18 февраля 2013 г.). "Логнормальное распределение длины сообщений пользователей в интернет-дискуссиях - следствие закона Вебера-Фехнера?" . EPJ Наука о данных . 2 (1): 2. дои : 10.1140/epjds14 . ISSN 2193-1127 . S2CID 187893 .

[27] Мойер Р.С., Ландауэр Т.К. (сентябрь 1967 г.). «Время, необходимое для суждений о числовом неравенстве». Природа . 215 (5109): 1519–20. Бибкод : 1967Natur.215.1519M . дои : 10.1038/2151519a0 . ПМИД 6052760 . S2CID 4298073 .

[28] Лонго М.Р., Лоренко С.Ф. (2007). «Пространственное внимание и мысленная числовая линия: свидетельства характерных предубеждений и сжатия». Нейропсихология . 45 (7): 1400–6. doi : 10.1016/j.neuropsychologia.2006.11.002 . ПМИД 17157335 . S2CID 1969090 .

[29] «Агентство по работе с потребителями запускает инструмент, который поможет вам найти более дешевую ипотеку» . NPR.org .

[30] Д. Мюррей Лайон (1923). «Подчиняется ли реакция на адреналин закону Вебера?» . Журнал фармакологии и экспериментальной терапии . 21 (4): 229–235.

[31] Мурао, П. (2012). «Закон Вебера-Фехнера и влияние государственных расходов на победу на парламентских выборах» . Пражские экономические записки . 21 (3): 290–308. дои : 10.18267/j.pep.425 .

[32] Гедрих, Владимир (25 декабря 2023 г.). «Новое интригующее исследование показывает, что положительные эмоции подчиняются классическому психофизическому закону» . ПсиПост . Проверено 25 декабря 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]