Фактическая бесконечность

В философии математики абстракция , также актуальной бесконечности называемая завершенной бесконечностью , предполагает принятие (если аксиома бесконечности включена ) бесконечных сущностей как данных, актуальных и завершенных объектов. Они могут включать в себя набор натуральных чисел , расширенные действительные числа , трансфинитные числа или даже бесконечную последовательность рациональных чисел . Фактическую бесконечность следует противопоставлять потенциальной бесконечности , в которой непрерывный процесс (например, «прибавление 1 к предыдущему числу») создает последовательность без последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен и достигается за конечное время. количество шагов. Этот тип процесса встречается в математике, например, в стандартных формализациях понятий бесконечного ряда , бесконечного произведения или предела .

Анаксимандр

Основная статья: Апейрон (космология)

Древнегреческий термин для потенциальной или несобственной бесконечности был апейрон (неограниченный или неопределенный), в отличие от актуального или собственно бесконечного афоризма . Апейрон противостоит тому, что имеет перас (предел). Эти понятия сегодня обозначаются потенциально бесконечными и актуально бесконечными соответственно.

Анаксимандр (610–546 до н. э.) считал апейрон принципом или главным элементом, составляющим все сущее. Очевидно, что «апейрон» был своего рода основным веществом. Представление Платона об апейроне более абстрактно и связано с неопределенной изменчивостью. Основными диалогами, в которых Платон обсуждает «апейрон», являются поздние диалоги «Парменид» и « Филеб» .

Аристотель

Аристотель резюмирует взгляды своих предшественников на бесконечность следующим образом:

«Только пифагорейцы помещают бесконечное среди чувственных объектов (они не считают число отдельным от них) и утверждают, что то, что находится вне неба, бесконечно. Платон, с другой стороны, утверждает, что вне тела нет тела ( формы не находятся снаружи, потому что они нигде), однако бесконечность присутствует не только в объектах чувств, но и в формах». (Аристотель)

Эта тема была выдвинута Аристотелем при рассмотрении апейрона - в контексте математики и физики (изучения природы):

«Бесконечность оказывается противоположностью тому, что о ней говорят. Бесконечно не «то, что не имеет ничего за пределами себя», а «то, что всегда имеет что-то за пределами себя». (Аристотель)

Вера в существование бесконечности исходит главным образом из пяти соображений:

1. Из природы времени – ибо оно бесконечно.
2. Из деления величин – ведь математики тоже используют понятие бесконечности.
3. Если появление и исчезновение не прекращаются, то только потому, что то, из чего вещи возникают, бесконечно.
4. Потому что ограниченное всегда в чем-то находит свой предел, так что предела не должно быть, если все всегда ограничено чем-то отличным от самого себя.
5. Прежде всего, причина, которая особенно уместна и представляет собой трудность, которую ощущает каждый: не только числа, но и математические величины и то, что находится за пределами небес, считаются бесконечными, потому что они никогда не иссякают в нашем мышлении. (Аристотель)

Аристотель постулировал, что реальная бесконечность невозможна, потому что, если бы она была возможна, то что-то достигло бы бесконечной величины и было бы «больше небес». Однако, говорил он, математика, относящаяся к бесконечности, не была лишена своей применимости из-за этой невозможности, потому что математикам для своих теорем нужна была не бесконечность, а лишь конечная, сколь угодно большая величина.

Аристотеля

Аристотель рассматривал тему бесконечности в физике и метафизике . Он различал актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальная бесконечность завершена и определенна и состоит из бесконечного числа элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает полной: элементы можно добавлять всегда, но не бесконечно много.

«Ибо вообще бесконечное имеет такой способ существования: одна вещь всегда берется за другой, и каждая взятая вещь всегда конечна, но всегда различна».

— Аристотель, Физика, книга 3, глава 6.

Аристотель различал бесконечность в отношении сложения и деления.

Но у Платона есть две бесконечности: Великая и Малая.

— Физика, книга 3, глава 4.

«В качестве примера потенциально бесконечного ряда по возрастанию можно всегда добавлять одно число за другим в ряд, начинающийся с 1,2,3... но процесс добавления все большего и большего числа чисел не может быть исчерпан или завершен. ."

Что касается деления, то может начаться потенциально бесконечная последовательность делений, например, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, но процесс деления не может быть исчерпан или завершен.

«Ибо тот факт, что процесс деления никогда не заканчивается, обеспечивает потенциальное существование этой деятельности, а не то, что бесконечное существует отдельно».

— Метафизика, книга 9, глава 6.

Аристотель также утверждал, что греческие математики знали разницу между актуальной бесконечностью и потенциальной, но они «не нуждаются в [актуальной] бесконечности и не используют ее» ( Phys. III 2079 29).

Мыслители-схоласты, эпохи Возрождения и Просвещения

Подавляющее большинство философов-схоластов придерживалось девиза Infinitum actu non datur . Это означает, что существует только (развивающаяся, неправильная, «синкатегорематическая») потенциальная бесконечность (фиксированная, правильная, «категорематическая») , но не актуальная бесконечность . Однако были и исключения, например, в Англии.

Хорошо известно, что в средние века все философы-схоласты отстаивали принцип Аристотеля «infinitum actu non datur» как неопровержимый принцип. ( Г. Кантор )

Фактическая бесконечность существует в числе, времени и количестве. (Дж. Бэконторп [9, с. 96])

В эпоху Возрождения и в начале Нового времени голоса в пользу актуальной бесконечности были довольно редки.

Континуум на самом деле состоит из бесконечного числа неделимых ( Г. Галилей [9, с. 97])

Я за реальную бесконечность. ( Г.В. Лейбниц [9, с. 97])

Однако большинство мыслителей досовременного периода согласен с известной цитатой Гаусса:

Я протестую против использования бесконечной величины как чего-то завершенного, что никогда не допустимо в математике. Бесконечность — это просто способ выражения, истинный смысл — это предел, к которому некоторые отношения приближаются бесконечно близко, в то время как другим разрешено увеличиваться без ограничений. ( К. Ф. Гаусс [в письме Шумахеру, 12 июля 1831 г.])

Современная эпоха

Фактическая бесконечность сейчас общепринята. Резкое изменение было инициировано Больцано и Кантором в 19 веке.

Бернар Больцано , который ввел понятие множества (по-немецки: Менге ), и Георг Кантор, который представил теорию множеств , выступили против общего отношения. Кантор выделил три сферы бесконечности: (1) бесконечность Бога (которую он назвал «абсолютом»), (2) бесконечность реальности (которую он назвал «природой») и (3) трансфинитные числа и математические множества. .

Множество, которое больше любого конечного множества, т. е. множество, обладающее тем свойством, что каждое конечное множество [членов рассматриваемого вида] является лишь его частью, я назову бесконечным множеством. (Б. Больцано [2, с. 6])

Соответственно я различаю вечную нетварную бесконечность или absolutum, которая обусловлена ​​Богом и его атрибутами, и тварную бесконечность или transfinitum, которую приходится использовать везде, где в тварной природе необходимо заметить действительную бесконечность, например в отношении , по моему твердому убеждению, фактически бесконечное число созданных индивидуумов, как во Вселенной, так и на нашей Земле и, скорее всего, даже в каждом сколь угодно малом протяженном клочке пространства. (Георг Кантор) (Г. Кантор [8, с. 252])

Числа – свободное творение человеческого разума. ( Р. Дедекинд [3а, стр. III])

Одно из доказательств основано на понятии Бога. Сначала из высшего совершенства Бога мы заключаем возможность создания трансфинитного, затем, из Его всеблагодати и великолепия, заключаем необходимость того, чтобы творение трансфинитного действительно произошло. (Г. Кантор [3, с. 400])

Кантор различал два типа актуальной бесконечности — трансфинитную и абсолютную, о чем он утверждал:

Эти понятия следует строго различать, поскольку первое, конечно, бесконечно , но способно возрастать , тогда как второе неспособно увеличиваться и, следовательно, неопределимо как математическое понятие. Эту ошибку мы находим, например, в пантеизме . (Г. Кантор, О различных точках зрения на текущую бесконечность , в Сборнике трактатов математического и философского содержания , стр. 375, 378)

математическая

Фактическая бесконечность сейчас общепринята, потому что математики научились строить с ее помощью алгебраические утверждения. Например, можно записать символ, $\omega$, со словесным описанием, что " $\omega$ означает завершенную ( счетную ) бесконечность». Этот символ можно добавить в качестве ur-элемента к любому набору. Можно также предоставить аксиомы , определяющие сложение, умножение и неравенство; в частности, порядковую арифметику , например, такие выражения, как $n<\omega$ можно интерпретировать как «любое натуральное число меньше полной бесконечности». Даже утверждения «здравого смысла», такие как $\omega <\omega +1$ возможны и последовательны. Теория настолько развита, что достаточно сложные алгебраические выражения, такие как $\omega ^{2}$, $\omega ^{\omega }$ и даже $2^{\omega }$ могут интерпретироваться как действительные алгебраические выражения, им может быть дано словесное описание, и их можно последовательно и осмысленно использовать в самых разных теоремах и утверждениях. Способность определять порядковые числительные последовательно и осмысленно делает большую часть дискуссий спорной; Какого бы личного мнения ни придерживался человек о бесконечности или конструктивности, очевидно, что существует богатая теория работы с бесконечностями с использованием инструментов алгебры и логики.

школы

Математическое значение термина «актуальный» в актуальной бесконечности является синонимом определенного , завершенного , расширенного или экзистенциального . но не путать с физически существующим . Поэтому вопрос о том, образуют ли натуральные или вещественные числа определенные множества, не зависит от вопроса о том, существуют ли бесконечные вещи физически в природе .

Сторонники интуиционизма , начиная с Кронекера , отвергают утверждение о том, что на самом деле существуют бесконечные математические объекты или множества. Следовательно, они реконструируют основы математики таким образом, чтобы не предполагать существования реальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ признает существование полной бесконечности целых чисел.

Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциал ; Термины, синонимичные этому понятию, являются становящими или конструктивными . Например, Стивен Клини описывает понятие ленты машины Тьюринга как «линейную «ленту», (потенциально) бесконечную в обоих направлениях». Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает считывающую головку вдоль нее за конечное число шагов: следовательно, лента только «потенциально» бесконечна, поскольку — хотя всегда есть возможность сделать еще один шаг — сама бесконечность фактически никогда не достигается. .

Математики обычно принимают реальную бесконечность. Георг Кантор — самый выдающийся математик, защищавший настоящую бесконечность. Он решил, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами, и что если отвергнуть аксиому евклидовой конечности (которая утверждает, что реальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то мы не вступаем в какое-либо противоречие. .

Современная традиционная финитистская интерпретация порядковых и кардинальных чисел состоит в том, что они состоят из набора специальных символов и связанного с ними формального языка , в рамках которого могут быть сделаны утверждения. Все такие утверждения обязательно имеют конечную длину. Правильность манипуляций основана только на основных принципах формального языка: алгебрах терминов , переписывании терминов и так далее. Говоря более абстрактно, и теория (конечных) моделей , и теория доказательств предлагают необходимые инструменты для работы с бесконечностями. Не обязательно «верить» в бесконечность, чтобы записывать алгебраически допустимые выражения, используя символы бесконечности.

Классическая теория множеств

Философская проблема актуальной бесконечности касается того, является ли это понятие связным и эпистемически обоснованным.

Классическая теория множеств принимает понятие актуальных завершенных бесконечностей. Однако некоторые финитистские философы математики и конструктивисты возражают против этой идеи.

Если положительное число n становится бесконечно большим, выражение 1/ n обращается в нуль (или становится бесконечно малым). В этом смысле говорят о несобственном или потенциальной бесконечности. В резком и ясном контрасте только что рассмотренное множество представляет собой легко законченное, замкнутое бесконечное множество, фиксированное в себе и содержащее бесконечное множество точно определенных элементов (натуральных чисел), ни больше, ни меньше. ( А. Френкель [4, с. 6])

Таким образом, завоевание актуальной бесконечности можно считать расширением нашего научного горизонта, не менее революционным, чем система Коперника или теория относительности или даже квантовая и ядерная физика. (А. Френкель [4, с. 245])

Взглянуть на вселенную всех множеств не как на фиксированную сущность, а как на сущность, способную «расти», т. е. мы способны «производить» все большие и большие множества. (А. Френкель и др. [5, с. 118])

( Брауэр ) утверждает, что настоящий континуум, который не поддается исчислению, может быть получен как средство свободного развития; то есть, помимо точек, которые существуют (готовы) в силу их определения такими законами, как е, пи и т. д., другие точки континуума не готовы, а развиваются как так называемые последовательности выбора . (А. Френкель и др. [5, с. 255])

Интуиционисты отвергают само понятие произвольной последовательности целых чисел, поскольку оно обозначает нечто законченное и определенное как незаконное. Такая последовательность считается лишь растущим объектом, а не законченным. (А. Френкель и др. [5, с. 236])

До этого никто не предполагал, что бесконечности бывают разных размеров, и, более того, математикам не нужна была «действительная бесконечность». Аргументы, использующие бесконечность, включая дифференциальное и Лейбница исчисление Ньютона , не требуют использования бесконечных множеств. (Т. Джех [1] )

Благодаря гигантским одновременным усилиям Фреге , Дедекинда и Кантора бесконечность была восседала на троне и наслаждалась своим полным триумфом. В своем смелом полете бесконечность достигла головокружительных высот успеха. ( Д. Гильберт [6, с. 169])

Одна из самых энергичных и плодотворных отраслей математики [...] рай, созданный Кантором, из которого нас никто никогда не изгонит [...] самый замечательный расцвет математического ума и в целом одно из выдающихся достижений чисто человеческого интеллектуальная деятельность. (Д. Гильберт о теории множеств [6])

Наконец, вернемся к исходной теме и сделаем вывод из всех наших размышлений о бесконечности. Общий результат таков: бесконечность нигде не реализована. Ее нет ни в природе, ни в качестве основы нашего рационального мышления – удивительная гармония между бытием и мышлением. (Д. Гильберт [6, 190])

Бесконечные тотальности не существуют ни в каком смысле этого слова (т.е. ни в реальности, ни в идеале). Точнее, любое упоминание или предполагаемое упоминание о бесконечных целостностях в буквальном смысле бессмысленно. ( А. Робинсон [10, с. 507])

В самом деле, я думаю, что существует реальная необходимость, как в формализме, так и в других сферах, связать наше понимание математики с нашим пониманием физического мира. (А. Робинсон)

Грандиозный метанарратив Георга Кантора «Теория множеств», созданный им почти единолично в течение примерно пятнадцати лет, больше напоминает произведение высокого искусства, чем научную теорию. ( Ю.Манин [2] )

Таким образом, изысканный минимализм выразительных средств используется Кантором для достижения возвышенной цели: понимания бесконечности, точнее бесконечности бесконечностей. (Ю. Манин [3] )

Не существует настоящей бесконечности, которую канторианцы забыли и попали в ловушку противоречий. ( Г. Пуанкаре [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys.morale 14 (1906), стр. 316])

Когда объектами обсуждения являются лингвистические сущности [...], тогда этот набор сущностей может меняться в результате обсуждения их. Следствием этого является то, что «натуральные числа» сегодняшнего дня не совпадают с «натуральными числами» вчерашнего дня. (Д. Айлс [4] )

Есть по крайней мере два разных способа взглянуть на числа: как на завершенную бесконечность и как на неполную бесконечность... отношение к числам как к неполной бесконечности предлагает жизнеспособную и интересную альтернативу взгляду на числа как на завершенную бесконечность, которая ведет к к большим упрощениям в некоторых областях математики, что тесно связано с проблемами вычислительной сложности. (Э. Нельсон [5] )

В эпоху Возрождения, особенно у Бруно , актуальная бесконечность переходит от Бога к миру. Модели конечного мира современной науки ясно показывают, как эта сила идеи актуальной бесконечности прекратилась вместе с классической (современной) физикой. В этом аспекте неприятным выглядит включение актуальной бесконечности в математику, которое явно началось с Г. Кантора лишь в конце прошлого века. В интеллектуальной общей картине нашего века... актуальная бесконечность производит впечатление анахронизма. ( П. Лоренцен [6] )

См. также

• Предел (математика)
• Мощность континуума

Источники

• «Бесконечность» в архиве MacTutor History of Mathematics , посвященная истории понятия бесконечности, включая проблему актуальной бесконечности.
• Аристотель , Физика [7]
• Бернар Больцано , 1851, «Парадоксы бесконечности» , «Реклам», Лейпциг.
• Бернар Больцано 1837, Научные исследования , Зульцбах.
• Георг Кантор в Э. Цермело (редактор) 1966, Сборник трактатов математического и философского содержания , Олмс, Хильдесхайм.
• Ричард Дедекинд в 1960 году. Что такое числа и для чего они предназначены? , Видег, Брауншвейг.
• Адольф Авраам Френкель 1923, Введение в теорию множеств , Шпрингер, Берлин.
• Адольф Авраам Френкель, Ю. Бар-Гилель, А. Леви 1984, Основы теории множеств , 2-е изд., Северная Голландия, Амстердам, Нью-Йорк.
• Стивен К. Клини , 1952 г. (издание 1971 г., 10-е издание), «Введение в метаматематику» , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк. ISBN   0-444-10088-1 .
• Х. Мешковски 1981, Георг Кантор: Жизнь, работа и влияние (2-е изд.), BI, Мангейм.
• Х. Мешковски, В. Нильсон (редактор) 1991, Георг Кантор - Письма , Springer, Берлин.
• Авраам Робинсон 1979, Избранные статьи , Vol. 2, WAJ Люксембург, С. Кернер (Hrsg.), Северная Голландия, Амстердам.