Абсолютная бесконечность
Абсолютная бесконечность ( символ : Ω ), в контексте часто называемая « абсолютной », является расширением идеи бесконечности , предложенной математиком Георгом Кантором . Его можно рассматривать как число, большее любой другой мыслимой или немыслимой величины, конечной или трансфинитной . Кантор связал абсолютную бесконечность с Богом , [1] [2] : 175 [3] : 556 и считал, что оно обладает различными математическими свойствами, включая принцип отражения : каждое свойство абсолютной бесконечности также принадлежит некоторому меньшему объекту. [4] [ нужны разъяснения ]
Взгляд Кантора [ править ]
Кантор сказал:
Актуальная бесконечность отличалась тремя отношениями: во-первых, как она реализуется в высшем совершенстве, в совершенно независимом, внемирном существовании, в Део, где я называю ее абсолютной бесконечностью или просто абсолютом; во-вторых, в той степени, в которой оно представлено в зависимом, тварном мире; в-третьих, поскольку его можно абстрактно представить в мыслях как математическую величину, число или тип порядка. В двух последних отношениях, где оно явно обнаруживает себя ограниченным и способным к дальнейшему распространению и, следовательно, близким конечному, я называю его Трансфинитум и решительно противопоставляю его абсолюту. [5]
Кантор также упомянул эту идею в своих письмах Ричарду Дедекинду (текст в квадратных скобках отсутствует в оригинале): [7]
Множественность (по-видимому, он имеет в виду то, что мы теперь называем множеством ) называется хорошо упорядоченной, если она удовлетворяет условию, что каждая часть кратности имеет первый элемент ; такую множественность я для краткости называю «последовательностью».
...
Теперь я представляю себе систему всех [порядковых] чисел и обозначаю ее Ω .
...
Система Ω в своем естественном порядке по величине представляет собой «последовательность».
Теперь присоединим к этой последовательности 0 как дополнительный элемент и поместим его, очевидно, на первую позицию; тогда мы получим последовательность Ω ′ :
0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 +1, ..., с, ...
в котором легко убедиться, что каждое встречающееся в нем число γ является типом (т. е. порядковым типом) последовательности всех ее предшествующих элементов (включая 0). (Последовательность Ω впервые обладает этим свойством для ω 0 +1. [ω 0 +1 должно быть ω 0. ])
Теперь Ω ′ (а значит, и Ω ) не может быть непротиворечивой кратностью. Ибо если бы Ω ' было непротиворечиво, то ему как вполне упорядоченному множеству соответствовало бы число δ , большее всех чисел системы Ω ; однако число δ также принадлежит системе Ω , поскольку оно включает в себя все числа. Таким образом, δ будет больше, чем δ , что является противоречием. Поэтому:
Система Q всех [порядковых] чисел представляет собой противоречивую, абсолютно бесконечную кратность.
Парадокс Бурали-Форти [ править ]
Идея о том, что совокупность всех порядковых чисел не может логически существовать, кажется парадоксальной многим . Это связано с «парадоксом» Бурали-Форти, который подразумевает, что не может быть наибольшего порядкового числа . Все эти проблемы можно свести к идее, что для каждого свойства, которое может быть логически определено, существует набор всех объектов, обладающих этим свойством. Однако, как и в аргументации Кантора (выше), эта идея приводит к трудностям.
В более общем смысле, как заметил А. В. Мур , не может быть конца процессу формирования множеств , а значит, не существует такой вещи, как совокупность всех множеств или иерархия множеств . Любая такая совокупность сама по себе должна была бы быть множеством, то есть находиться где-то внутри иерархии и, таким образом, не в состоянии содержать каждое множество.
Стандартное решение этой проблемы находится в теории множеств Цермело , которая не допускает неограниченного образования множеств из произвольных свойств. Скорее, мы можем сформировать набор всех объектов, которые обладают данным свойством и лежат в некотором заданном множестве Цермело ( аксиома разделения ). Это позволяет формировать множества на основе свойств в ограниченном смысле, сохраняя при этом (надеюсь) непротиворечивость теории.
Хотя это решает логическую проблему, можно утверждать, что философская проблема остается. Кажется естественным, что совокупность индивидов должна существовать до тех пор, пока существуют индивидуумы. Действительно, можно сказать, что наивная теория множеств основана на этом понятии. Хотя исправление Цермело позволяет классу описывать произвольные (возможно, «большие») сущности, эти предикаты метаязыка могут не иметь формального существования (т. е. как набор) в теории. Например, класс всех множеств будет правильным классом . Некоторых это неудовлетворительно с философской точки зрения, и это послужило мотивом для дополнительных работ в области теории множеств и других методов формализации основ математики, таких как « Новые основания» Уилларда Ван Ормана Куайна .
См. также [ править ]
- Фактическая бесконечность
- Ограничение размера
- Монадология
- Принцип отражения
- Абсолют (философия)
- Невыразимость
Примечания [ править ]
- ^ §3.2, Игнасио Жане (май 1995 г.). «Роль абсолютной бесконечности в концепции множества Кантора». Эркеннтнис . 42 (3): 375–402. дои : 10.1007/BF01129011 . JSTOR 20012628 . S2CID 122487235 .
Кантор (1) считал абсолют проявлением Бога [...] Когда абсолют впервые вводится в Grundlagen, он связан с Богом: «истинная бесконечность или абсолют, находящаяся в Боге, не допускает никакой детерминации. (Кантор 1883b, стр. 175) Это не случайное замечание, поскольку Кантор очень ясно и настойчиво говорит об отношении между абсолютом и Богом.
- ^ Перейти обратно: а б с Георг Кантор (1932). Эрнст Цермело (ред.). Сборник трактатов математического и философского содержания . Берлин: Издательство Юлиуса Шпрингера. Цитируется как Cantor 1883b Жане ; с биографией Адольфа Френкеля; перепечатано Хильдесхайм: Георг Олмс, 1962 г. и Берлин: Springer-Verlag, 1980 г., ISBN 3-540-09849-6 .
- ^ Георг Кантор (1883). «О бесконечных линейных точечных многообразиях (5)» . Математические летописи . 21 (4): 545–591. Оригинальная статья.
- ^ Бесконечность: новые исследования и границы Майкла Хеллера и У. Хью Вудина (2011), стр. 2011. 11 .
- ^ https://www.uni-siegen.de/fb6/phima/lehre/phima10/quelletexte/handout-phima-teil4b.pdf
Переведенная цитата с немецкого:
[Ка-а, [2] п. 378].Актуальная Бесконечность (АУ.) дифференцировалась по трем отношениям: во-первых, поскольку она реализуется в высшем совершенстве, в совершенно независимом внемирном существе, в Део, где я называю ее Абсолютной Бесконечностью или, сокращенно, Абсолютом. ; во-вторых, поскольку оно представлено в зависимом, тварном мире; в-третьих, поскольку его можно понять абстрактно, думая, как математическую величину, число или тип порядка. В двух последних отношениях, где он предстает ограниченным А.-У, способным к дальнейшему умножению и в этом отношении относящимся к конечному. представляет себя, я называю его Трансфинитум и противопоставляю его строго Абсолюту.
- ^ Повторное открытие соответствия Кантора-Дедекинда , И. Граттан-Гиннесс, Годовой отчет Немецкой математической ассоциации 76 (1974/75), стр. 104–139, стр. 126 и далее.
- ^ Сборник трактатов , [2] Георг Кантор, изд. Эрнст Цермело, Хильдесхайм: Georg Olms Verlagsbuchhandlung, 1962, стр. 443–447; переведен на английский язык в книге « От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике», 1879–1931 , изд. Жан ван Хейеноорт, Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, 1967, стр. 113–117. Обе эти ссылки подразумевают письмо Кантора Дедекинду от 28 июля 1899 года. Однако, как Айвор Граттан-Гиннесс , обнаружил [6] на самом деле это объединение редактором Кантора Эрнстом Цермело двух писем Кантора Дедекинду, первое от 28 июля, а второе от 3 августа.
Библиография [ править ]
- Роль абсолютной бесконечности в концепции множества Кантора
- Бесконечность и разум , Руди Ракер , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, 1995, ISBN 0-691-00172-3 ; ориг. паб. Бостон: Биркхойзер, 1982, ISBN 3-7643-3034-1 .
- Бесконечное , А. В. Мур, Лондон, Нью-Йорк: Рутледж, 1990, ISBN 0-415-03307-1 .
- Теория множеств, Парадокс Скулема и Трактат , А. В. Мур, Анализ 45 , № 1 (январь 1985 г.), стр. 13–20.