Совокупная иерархия

В математике , особенно в теории множеств , кумулятивная иерархия представляет собой семейство множеств. $W_{\alpha }$ индексируется порядковыми номерами $\alpha$ такой, что

$W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}$
Если $\lambda$ является предельным порядковым номером , тогда ${\textstyle W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }W_{\alpha }}$

Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы $W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ или что $W_{0}\neq \emptyset$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Союз ${\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }}$ множеств кумулятивной иерархии часто используется в качестве модели теории множеств. ^{[ нужна ссылка ]}

Фраза «кумулятивная иерархия» обычно относится к стандартной кумулятивной иерархии. $\mathrm {V} _{\alpha }$ Вселенной фон Неймана с $\mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ введен Цермело (1930) .

Принцип отражения [ править ]

Кумулятивная иерархия удовлетворяет определенной форме принципа отражения : любая формула на языке теории множеств, которая справедлива в объединении $W$ иерархии также сохраняется на некоторых этапах $W_{\alpha }$ .

Примеры [ править ]

Вселенная фон Неймана построена на основе кумулятивной иерархии. $\mathrm {V} _{\alpha }$ .
Наборы $\mathrm {L} _{\alpha }$ конструируемой вселенной образуют совокупную иерархию.
Модели с логическими значениями, построенные путем принудительного преобразования, строятся с использованием кумулятивной иерархии.
Хорошо обоснованные множества в модели теории множеств (возможно, не удовлетворяющие аксиоме основания ) образуют совокупную иерархию, объединение которой удовлетворяет аксиоме основания.

Ссылки [ править ]

Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7 . Збл 1007.03002 .
Цермело, Эрнст (1930). «О пределах и пределах множеств: новые исследования основ теории множеств» . Фундамента Математика . 16 :29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 .