Урэлемент
В теории множеств , разделе математики , urelement или ur-element (от немецкой приставки ur- , «изначальный») — это объект, который не является множеством ( не имеет элементов), но может быть элементом множества . . Его также называют атомом или индивидуумом . Ur-элементы также не идентичны пустому множеству.
Теория [ править ]
Существует несколько различных, но по сути эквивалентных способов рассмотрения элементов теории первого порядка .
Один из способов — работать в теории первого порядка с двумя сортами, множествами и элементами, где a ∈ b определяется только тогда, когда b является множеством. В этом случае, если U — уреэлемент, нет смысла говорить , хотя является совершенно законным.
Другой способ — работать в односортной теории с унарным отношением, используемым для различения множеств и ур-элементов. Поскольку непустые множества содержат элементы, а ure-элементы — нет, унарное отношение необходимо только для того, чтобы отличить пустое множество от ure-элементов. Обратите внимание, что в этом случае аксиому экстенсиональности необходимо сформулировать так, чтобы она применялась только к объектам, которые не являются ур-элементами.
Эта ситуация аналогична трактовке теорий множеств и классов . Действительно, ure-элементы в некотором смысле двойственны собственным классам : ure-элементы не могут иметь членов, тогда как собственные классы не могут быть членами. Иными словами, urelements являются минимальными объектами, тогда как собственные классы являются максимальными объектами по отношению принадлежности (которое, конечно, не является отношением порядка, поэтому эту аналогию не следует понимать буквально).
Uэлементы в теории множеств [ править ]
Теория множеств Цермело 1908 года включала urelements и, следовательно, ее версию теперь называют ZFA или ZFCA (т. е. ZFA с аксиомой выбора ). [1] Вскоре стало понятно, что в контексте этой и тесно связанных с ней аксиоматических теорий множеств ур-элементы не нужны, поскольку их можно легко смоделировать в теории множеств без юр-элементов. [2] Таким образом, в стандартных изложениях канонических аксиоматических теорий множеств ZF и ZFC урэлементы не упоминаются (исключение см. в Suppes). [3] ). Аксиоматизации теории множеств, которые действительно используют ур-элементы, включают теорию множеств Крипке-Платека с юр-элементами и вариант теории множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя, описанный Мендельсоном. [4] В теории типов объект типа 0 можно назвать urelement; отсюда и название «атом».
Добавление urelements в систему New Foundations (NF) для создания NFU имеет неожиданные последствия. В частности, Дженсен доказал [5] согласованность ; NFU относительно Пеано арифметики между тем, непротиворечивость NF относительно чего-либо остается открытой проблемой до проверки доказательства Холмса ее непротиворечивости относительно ZF. Более того, НФУ остается относительно последовательным , если дополнить его аксиомой бесконечности и аксиомой выбора . Между тем, отрицание аксиомы выбора, как ни странно, является теоремой НФ. Холмс (1998) рассматривает эти факты как свидетельство того, что НФУ является более успешной основой для математики, чем НФ. Холмс далее утверждает, что теория множеств более естественна с элементами, чем без них, поскольку в качестве элементов мы можем принять объекты любой теории или физической вселенной . [6] В финитистской теории множеств urelements сопоставляются с компонентами самого низкого уровня целевого явления, такими как атомные составляющие физического объекта или члены организации.
Атомы Куайна [ править ]
Альтернативный подход к urelements состоит в том, чтобы рассматривать их не как тип объекта, отличный от множества, а как особый тип множества. Атомы Куайна (названные в честь Уилларда Ван Ормана Куайна ) — это множества, которые содержат только себя, то есть множества, удовлетворяющие формуле x = { x }. [7]
Атомы Куайна не могут существовать в системах теории множеств, включающих аксиому регулярности , но они могут существовать в недостаточно обоснованной теории множеств . Теория множеств ZF с удаленной аксиомой регулярности не может доказать существование каких-либо необоснованных множеств (если только она не противоречива, и в этом случае она докажет любое произвольное утверждение ), но она совместима с существованием атомов Куайна. Аксиома, направленная против фундамента Акселя, подразумевает, что существует уникальный атом Куайна. Другие необоснованные теории могут допускать множество различных атомов Куайна; На противоположном конце спектра находится аксиома сверхуниверсальности Боффы , которая подразумевает, что отдельные атомы Куайна образуют собственный класс . [8]
Куайна» Атомы Куайна также появляются в «Новых основах , что позволяет существовать более чем одному такому набору. [9]
Атомы Куайна — единственные множества, названные множествами рефлексивными Питером Акзелем . [8] хотя другие авторы, например Джон Барвайз и Лоуренс Мосс, используют последний термин для обозначения более широкого класса множеств со свойством x ∈ x . [10]
Ссылки [ править ]
- ^ Декстер Чуа и др.: ZFA: Теория множеств Цермело – Френкеля с атомами , на: ncatlab.org: nLab, исправлено 16 июля 2016 г.
- ^ Джек, Томас Дж. (1973). Аксиома выбора . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publ. п. 45 . ISBN 0486466248 .
- ^ Суппес, Патрик (1972). Аксиоматическая теория множеств ([Éd. Corr. et augm. du texte paru en 1960] изд.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 0486616304 . Проверено 17 сентября 2012 г.
- ^ Мендельсон, Эллиотт (1997). Введение в математическую логику (4-е изд.). Лондон: Чепмен и Холл. стр. 297–304. ISBN 978-0412808302 . Проверено 17 сентября 2012 г.
- ^ Йенсен, Рональд Бьёрн (декабрь 1968 г.). «О последовательности небольшой (?) модификации «новых основ» Куайна ». Синтезируйте . 19 (1/2). Спрингер: 250–264. дои : 10.1007/bf00568059 . ISSN 0039-7857 . JSTOR 20114640 . S2CID 46960777 .
- ^ Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным набором . Академия-Брюйлан.
- ^ Томас Форстер (2003). Логика, индукция и множества . Издательство Кембриджского университета. п. 199. ИСБН 978-0-521-53361-4 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Аксель, Питер (1988), Необоснованные множества , Конспект лекций CSLI, том. 14, Стэнфордский университет, Центр изучения языка и информации, с. 57 , ISBN 0-937073-22-9 , MR 0940014 , получено 17 октября 2016 г.
- ^ Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Порочные круги. О математике необоснованных явлений , CSLI Lecture Notes, vol. 60, Публикации CSLI, с. 306, ISBN 1575860090 .
- ^ Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Порочные круги. О математике необоснованных явлений , CSLI Lecture Notes, vol. 60, Публикации CSLI, с. 57, ISBN 1575860090 .
