Независимая от времени система

Блок-схема, иллюстрирующая временную инвариантность для детерминированной системы с одним входом и одним выходом, работающей в непрерывном времени. Система является инвариантной во времени тогда и только тогда, когда y ₂ ( t ) = y ₁ ( t – t ₀ ) для всего времени t , для всех действительных констант t ₀ и для всех входных данных x ₁ ( t ) . Нажмите на изображение, чтобы развернуть его.

В теории управления инвариантная во времени ( TI ) система имеет зависящую от времени системную функцию , которая не является прямой функцией времени. Такие системы рассматриваются как класс систем в области системного анализа . Зависящая от времени системная функция является функцией зависящей от времени функции входа . Если эта функция зависит лишь косвенно от временной области (например, через функцию ввода), то эту систему можно считать инвариантной во времени. И наоборот, любая прямая зависимость системной функции от временной области может рассматриваться как «изменяющаяся во времени система».

Математически говоря, «инвариантность во времени» системы — это следующее свойство:

Дана система с зависящей от времени функцией вывода ⁠ $y(t)$⁠ и зависящая от времени входная функция ⁠ $x(t)$⁠ , система будет считаться нестационарной, если на входе имеется задержка по времени ⁠ $x(t+\delta )$⁠ напрямую соответствует временной задержке выхода ⁠ $y(t+\delta )$⁠ функция. Например, если время ⁠ $t$⁠ — это «прошедшее время», тогда «инвариантность во времени» подразумевает, что связь между входной функцией ⁠ $x(t)$⁠ и выходная функция ⁠ $y(t)$⁠ постоянна во времени ⁠ $t:$⁠

$y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).$

На языке обработки сигналов это свойство может быть удовлетворено, если передаточная функция системы не является прямой функцией времени, за исключением случаев, выраженных входными и выходными данными.

В контексте схемы системы это свойство также можно выразить следующим образом, как показано на рисунке справа:

Если система не зависит от времени, то системный блок коммутирует с произвольной задержкой.

Если нестационарная система также является линейной , она является предметом линейной инвариантной во времени теории (линейной инвариантной во времени) с прямыми приложениями в ЯМР-спектроскопии , сейсмологии , цепях , обработке сигналов , теории управления и других технических областях. Нелинейным , инвариантным во времени системам не хватает всеобъемлющей руководящей теории. Дискретные стационарные системы известны как инвариантные к сдвигу системы . Системы, лишенные свойства неизменности во времени, изучаются как изменяющиеся во времени системы .

Простой пример

Чтобы продемонстрировать, как определить, является ли система неизменной во времени, рассмотрим две системы:

• Система А: $y(t)=tx(t)$
• Система Б: $y(t)=10x(t)$

Поскольку системная функция $y(t)$ для системы A явно зависит от t вне $x(t)$, он не является инвариантным во времени , поскольку зависимость от времени не является явно функцией входной функции.

Напротив, зависимость системы B от времени является только функцией изменяющегося во времени входного сигнала. $x(t)$. Это делает систему B инвариантной во времени .

Формальный пример ниже более подробно показывает, что, хотя система B является инвариантной к сдвигу системой как функция времени t , система A таковой не является.

Формальный пример

Теперь представлено более формальное доказательство того, почему системы A и B различаются. Для проведения этого доказательства будет использовано второе определение.

Система А: запуск с задержкой входа $x_{d}(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=tx(t)$

$y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )$

Теперь задержите вывод на $\delta$

$y(t)=tx(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

Четко $y_{1}(t)\neq y_{2}(t)$, следовательно, система не является стационарной.

Система Б: Запуск с задержкой входа $x_{d}(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=10x(t)$

$y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )$

Теперь задержите вывод на $\delta$

$y(t)=10x(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )$

Четко $y_{1}(t)=y_{2}(t)$, следовательно, система инвариантна ко времени.

В более общем плане связь между входом и выходом такова:

$y(t)=f(x(t),t),$

и ее изменение со временем

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.$

Для стационарных систем свойства системы остаются постоянными во времени:

${\frac {\partial f}{\partial t}}=0.$

Применимо к системам A и B выше:

$f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0$ в общем, поэтому оно не является инвариантным во времени,

$f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0$ поэтому он неизменен во времени.

Абстрактный пример

Мы можем обозначить оператор сдвига через $\mathbb {T} _{r}$ где $r$ вектора набор индексов — это величина, на которую должен быть сдвинут . Например, система «продвижение на 1».

$x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)$

можно представить в этой абстрактной записи как

${\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}$

где ${\tilde {x}}$ представляет собой функцию, заданную

${\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R}$

с системой, дающей сдвинутый выходной сигнал

${\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R}$

Так $\mathbb {T} _{1}$ — оператор, который перемещает входной вектор на 1.

Предположим, мы представляем систему оператором $\mathbb {H}$. Эта система инвариантна во времени, если она коммутирует с оператором сдвига, т. е.

$\mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r$

Если уравнение нашей системы имеет вид

${\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}$

тогда он не зависит от времени, если мы можем применить системный оператор $\mathbb {H}$ на ${\tilde {x}}$ за которым следует оператор смены $\mathbb {T} _{r}$или мы можем применить оператор сдвига $\mathbb {T} _{r}$ за которым следует системный оператор $\mathbb {H}$, причем два вычисления дали эквивалентные результаты.

Применение системного оператора сначала дает

$\mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}$

Применение оператора сдвига сначала дает

$\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}$

Если система стационарна, то

$\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}$

См. также

• Конечная импульсная характеристика
• Последовательность Шеффера
• Пространство состояний (управление)
• График потока сигналов
• Теория систем LTI
• Автономная система (математика)