Последовательность Шеффера

В математике или последовательность Шеффера пауэроид — это полиномиальная последовательность , т. е. последовательность ( p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ...) , многочленов в которой индекс каждого многочлена равен его степени. , удовлетворяющий условиям, связанным с теневым исчислением в комбинаторике . Они названы в честь Айседора М. Шеффера .

Определение

Зафиксируйте полиномиальную последовательность ( p _n ). Определим линейный оператор Q на многочленах от x формулой

$$Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,.$$

Это определяет Q для всех полиномов. Полиномиальная последовательность p _n является последовательностью Шеффера, если только что определенный линейный оператор Q является сдвиг-эквивариантным ; такой Q тогда является дельта-оператором . Здесь мы определяем линейный оператор Q на полиномах как сдвиг-эквивариантный , если всякий раз, когда f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) является «сдвигом» g ( x ), тогда ( Qf )( Икс ) = ( Qg )( Икс + а ); т. е. Q коммутирует с каждым оператором сдвига : T _a Q = QT _a .

Свойства

Множество всех последовательностей Шеффера представляет собой группу при операции теневой композиции полиномиальных последовательностей, определяемую следующим образом. Предположим, ( p _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) и ( q _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) являются полиномиальными последовательностями, заданными формулой

$$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.$$

Тогда теневая композиция $p\circ q$ - это полиномиальная последовательность, n- й член которой равен

$$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$$

(индекс n появляется в pn _. , поскольку это n -член этой последовательности, но не в q , поскольку он относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов)

Единичным элементом этой группы является стандартный мономиальный базис.

$$e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.$$

Двумя важными подгруппами являются группа последовательностей Аппелла , которые представляют собой те последовательности, для которых оператор Q является простым дифференцированием , и группа последовательностей биномиального типа , которые удовлетворяют тождеству

$$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).$$

Последовательность Шеффера ( p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, ... ) имеет биномиальный тип тогда и только тогда, когда оба

$$p_{0}(x)=1\,$$

и

$$p_{n}(0)=0{\mbox{ for }}n\geq 1.\,$$

Группа последовательностей Аппеля абелева ; группа последовательностей биномиального типа — нет. Группа последовательностей Аппелла является нормальной подгруппой ; группа последовательностей биномиального типа — нет. Группа последовательностей Шеффера является полупрямым произведением группы последовательностей Аппелла и группы последовательностей биномиального типа. Отсюда следует, что каждый смежный класс группы последовательностей Аппелла содержит ровно одну последовательность биномиального типа. оператор Q Две последовательности Шеффера находятся в одном таком смежном классе тогда и только тогда, когда описанный выше , называемый « дельта-оператором » этой последовательности, является одним и тем же линейным оператором в обоих случаях. (Вообще, дельта-оператор — это линейный оператор, эквивариантный сдвигу многочленов, который уменьшает степень на единицу. Этот термин принадлежит Ф. Хильдебрандту.)

Если s _n ( x ) является последовательностью Шеффера, а p _n ( x ) является одной последовательностью биномиального типа, которая использует один и тот же дельта-оператор, то

$$s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).$$

Иногда термин последовательность Шеффера» определяют « как означающий последовательность, которая имеет это отношение к некоторой последовательности биномиального типа. В частности, если ( s _n ( x ) ) является последовательностью Аппелла, то

$$s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).$$

Последовательность полиномов Эрмита , последовательность полиномов Бернулли и мономов ( x ^н : n = 0, 1, 2, ...) являются примерами последовательностей Аппелла.

Последовательность Шеффера p _n характеризуется экспоненциальной производящей функцией

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,$$

где A и B — ( формальные ) степенные ряды по t . Таким образом, последовательности Шеффера являются примерами обобщенных полиномов Аппелла и, следовательно, имеют соответствующее рекуррентное соотношение .

Примеры

Примеры полиномиальных последовательностей, которые являются последовательностями Шеффера, включают:

• Абеля Полиномы ;
• Бернулли Полиномы ;
• Полином Эйлера ;
• Центральные факториальные полиномы;
• Эрмита Полиномы ;
• Лагерра Полиномы ;
• Мономы ​ ( x ^н : n = 0, 1, 2, ... );
• Мотта Полиномы ;
• Полиномы Бернулли второго рода ;
• Падающие и растущие факториалы ;
• Полиномы Тушара ;
• Полиномы Миттаг -Леффлера ;

Ссылки

• Рота, Г.-К. ; Каханер, Д.; Одлизко, А. (июнь 1973 г.). «Об основах комбинаторной теории VIII: конечно-операторное исчисление» . Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684–750. дои : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Перепечатано в следующей ссылке.
• Рота, Г.-К. ; Дубилет, П.; Грин, К.; Каханер, Д.; Одлизко А.; Стэнли, Р. (1975). Конечное операторное исчисление . Академическая пресса. ISBN  0-12-596650-4 .
• Шеффер, И.М. (1939). «Некоторые свойства полиномиальных множеств нулевого типа». Математический журнал Дьюка . 5 (3): 590–622. дои : 10.1215/S0012-7094-39-00549-1 .
• Роман, Стивен (1984). Умбральное исчисление . Чистая и прикладная математика. Том. 111. Лондон: Academic Press Inc. [Издательство Harcourt Brace Jovanovich]. ISBN  978-0-12-594380-2 . МР   0741185 . Перепечатано Дувром, 2005 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Шеффера» . Математический мир .