Полиномы Бернулли

Полиномы Бернулли

В математике полиномы Бернулли , названные в честь Якоба Бернулли , объединяют числа Бернулли и биномиальные коэффициенты . Они используются для разложения функций в ряд и с формулой Эйлера – МакЛорена .

Эти полиномы встречаются при изучении многих специальных функций и, в частности, дзета-функции Римана и дзета-функции Гурвица . Они представляют собой последовательность Аппелла (т.е. последовательность Шеффера для обычного оператора производной ). Для полиномов Бернулли количество пересечений оси x в единичном интервале не увеличивается с увеличением степени . В пределе большой степени они при соответствующем масштабировании приближаются к функциям синуса и косинуса .

Подобный набор полиномов, основанный на производящей функции, представляет собой семейство полиномов Эйлера .

Представительства

Полиномы Бернулли B _n могут быть определены производящей функцией . Они также допускают множество производных представлений.

Генерирующие функции

Производящая функция для полиномов Бернулли равна $${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$$Производящая функция для полиномов Эйлера равна $${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$$

Явная формула

$$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},$$$$E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)^{m-k}.$$для n ≥ 0, где B _k — числа Бернулли , а E _k — числа Эйлера .

Представление дифференциальным оператором

Полиномы Бернулли также имеют вид $$B_{n}(x)={\frac {D}{e^{D}-1}}x^{n}$$где D = d / dx — дифференцирование по x , а дробь разлагается в формальный степенной ряд . Отсюда следует, что $$\int _{a}^{x}B_{n}(u)\,du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}.$$ср. § Интегралы ниже. Точно так же полиномы Эйлера имеют вид $$E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.$$

Представление интегральным оператором

Полиномы Бернулли также являются уникальными полиномами, определяемыми формулой $$\int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.$$

Интегральное преобразование $$(Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du$$на полиномах f просто равно $${\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}$$Это можно использовать для получения формул обращения, приведенных ниже .

Интегральная рекуррентность

В, выведено и доказано, что полиномы Бернулли можно получить с помощью следующей интегральной рекуррентности $$B_{m}(x)=m\int _{0}^{x}B_{m-1}(t)\,dt-m\int _{0}^{1}\int _{0}^{t}B_{m-1}(s)\,dsdt.$$

Еще одна явная формула

Явная формула для полиномов Бернулли имеет вид $$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{\frac {1}{k+1}}\sum _{\ell =0}^{k}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}{\biggr ]}.$$

Это похоже на выражение ряда для дзета-функции Гурвица в комплексной плоскости. Действительно, существует связь $$B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,\,x)$$где $\zeta (s,\,q)$ – дзета -функция Гурвица . полиномы Бернулли, допуская нецелые значения n Последний обобщает .

Под внутренней суммой можно понимать n -ю прямую разность $x^{m},$ то есть, $$\Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}$$где $\Delta$ — оператор прямой разности . Таким образом, можно написать $$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\Delta ^{k}x^{n}.$$

Эту формулу можно вывести из приведенного выше тождества следующим образом. Поскольку прямой разностный оператор ∆ равен $$\Delta =e^{D}-1$$где D — дифференцирование по x имеем , из ряда Меркатора : $${\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\log(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.$$

Пока это работает с полиномом m -й степени, таким как $x^{m},$ можно пропускать n от 0 только до m .

Интегральное представление полиномов Бернулли дается интегралом Нёрлунда – Райса , который следует из выражения как конечная разность.

Явная формула для полиномов Эйлера имеет вид $$E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}\right].$$

Вышеизложенное следует аналогично, используя тот факт, что $${\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\Delta {\bigr )}^{n}.$$

Суммы p- х степеней

Основная статья: формула Фаульхабера

Используя либо приведенное выше интегральное представление $x^{n}$ или личность $B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}$, у нас есть $$\sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}$$(при условии 0 ⁰  = 1).

Явные выражения для низких степеней

Первые несколько полиномов Бернулли: $${\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}$$

Первые несколько полиномов Эйлера: $${\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}$$

Максимум и минимум

При более высоких n величина вариации $B_{n}(x)$ между $x=0$ и $x=1$ становится большим. Например, $B_{16}(0)=B_{16}(1)={}$$-{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,$ но $B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}$${\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.$ Лемер (1940) показало, что максимальное значение ( M _n ) $B_{n}(x)$ между 0 и 1 подчиняется $$M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}$$если только n не равно 2 по модулю 4 , и в этом случае $$M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}$$(где $\zeta (x)$ — дзета-функция Римана ), а минимум ( m _n ) подчиняется $$m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}$$если только n = 0 по модулю 4 , и в этом случае $$m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.$$

Эти пределы довольно близки к фактическому максимуму и минимуму, и Лемер также дает более точные пределы.

Различия и производные

Полиномы Бернулли и Эйлера подчиняются многим соотношениям теневого исчисления : $${\begin{aligned}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_{n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{aligned}}$$( Δ — оператор прямой разности ). Также, $$E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.$$Эти полиномиальные последовательности являются последовательностями Аппеля : $${\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

Переводы

$${\begin{aligned}B_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}\\[3mu]E_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\end{aligned}}$$Эти тождества также эквивалентны утверждению, что эти полиномиальные последовательности являются последовательностями Аппелла . ( Другим примером являются полиномы Эрмита .)

Симметрии

$${\begin{aligned}B_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}B_{n}(x),&&n\geq 0,\\[3mu]E_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}E_{n}(x)\\[1ex]\left(-1\right)^{n}B_{n}(-x)&=B_{n}(x)+nx^{n-1}\\[3mu]\left(-1\right)^{n}E_{n}(-x)&=-E_{n}(x)+2x^{n}\\[1ex]B_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}&=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},&&n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}\end{aligned}}$$Чжи-Вэй Сунь и Хао Пан установил следующее удивительное соотношение симметрии: если r + s + t = n и x + y + z = 1 , то $$r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,$$где $$[s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).$$

ряд Фурье

Ряд Фурье полиномов Бернулли также является рядом Дирихле , заданным разложением $$B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.$$Обратите внимание на простой предел большого n для тригонометрических функций, масштабированных соответствующим образом.

Это частный случай аналогичной формы дзета-функции Гурвица. $$B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.$$

Это расширение справедливо только для 0 ≤ x ≤ 1, когда n ≥ 2, и справедливо для 0 < x < 1, когда n = 1 .

Также можно вычислить ряд Фурье полиномов Эйлера. Определение функций $${\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}$$для $\nu >1$, полином Эйлера имеет ряд Фурье $${\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}$$Обратите внимание, что $C_{\nu }$ и $S_{\nu }$ нечетны и четны соответственно: $${\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}$$

Они связаны с функцией Лежандра ци. $\chi _{\nu }$ как $${\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}$$

Инверсия

Полиномы Бернулли и Эйлера можно инвертировать, чтобы выразить моном через полиномы.

В частности, из приведенного выше раздела об интегральных операторах , очевидно, следует, что $$x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)$$и $$x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).$$

Связь с падающим факториалом

Полиномы Бернулли можно разложить с помощью падающего факториала. $(x)_{k}$ как $$B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}$$где $B_{n}=B_{n}(0)$ и $$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)$$обозначает число Стирлинга второго рода . Вышеупомянутое можно инвертировать, чтобы выразить падающий факториал через полиномы Бернулли: $$(x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)$$где $$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)$$обозначает число Стирлинга первого рода .

Теоремы умножения

Теоремы умножения были сформулированы Йозефом Людвигом Раабе в 1851 году:

числа m ≥1 Для натурального $$B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}$$$${\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}$$

Интегралы

Два определенных интеграла, связывающих полиномы Бернулли и Эйлера с числами Бернулли и Эйлера:

• $\int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1$
• $\int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}$

Другая интегральная формула гласит:

• $\int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}$

с особым случаем для $y=0$

• $\int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)$
• $\int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)$
• $\int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0$
• $\int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)$

Периодические полиномы Бернулли

Периодический полином Бернулли P _n ( x ) — это полином Бернулли, вычисляемый по дробной части аргумента x . Эти функции используются для получения остаточного члена в формуле Эйлера – Маклорена, связывающей суммы с интегралами. Первый полином представляет собой пилообразную функцию .

Строго говоря, эти функции вообще не являются полиномами, и их правильнее называть периодическими функциями Бернулли, а P ₀ ( x ) даже не является функцией, будучи производной пилообразной формы и, следовательно, гребенки Дирака .

Следующие свойства представляют интерес и действительны для всех $x$:

• $P_{k}(x)$ является непрерывным для всех $k>1$
• $P_{k}'(x)$ существует и непрерывен для $k>2$
• $P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)$ для $k>2$

См. также

• Числа Бернулли
• Полиномы Бернулли второго рода
• Полином Стирлинга
• Полиномы, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий

Ссылки

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , (1972) Дувр, Нью-Йорк. (См. главу 23)
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001 (см. раздел 12.11)
• Дилчер, К. (2010), «Полиномы Бернулли и Эйлера» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Цвийович, Джурдже; Клиновски, Яцек (1995). «Новые формулы для полиномов Бернулли и Эйлера при рациональных аргументах» . Труды Американского математического общества . 123 (5): 1527–1535. дои : 10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0 . JSTOR   2161144 .
• Гильера, Хесус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . дои : 10.1007/s11139-007-9102-0 . S2CID   14910435 . (Рассматривается связь с дзета-функцией Гурвица и трансцендентом Лерха.)
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт С. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 495–519. ISBN  978-0-521-84903-6 .

Внешние ссылки

• Список целочисленных тождеств, включающих полиномы Бернулли из NIST.