Полиномы Миттаг-Леффлера

Не путать с функцией Миттаг-Леффлера .

В математике полиномы Миттаг-Леффлера — это полиномы g _n ( x ) или M _n ( x ), изученные Миттаг-Леффлером ( 1891 ).

M _n ( x ) является частным случаем полинома Мейкснера M _n ( x;b,c ) при b = 0, c = -1 .

Определение и примеры

Генерирующие функции

Полиномы Миттаг-Леффлера определяются соответственно производящими функциями

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x)t^{n}:={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}$ и

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}:={\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}=(1+t)^{x}(1-t)^{-x}=\exp(2x{\text{ artanh }}t).$

Они также имеют двумерную производящую функцию

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }g_{n}(m)x^{m}y^{n}={\frac {xy}{(1-x)(1-x-y-xy)}}.$

Примеры

Первые несколько полиномов приведены в следующей таблице. Коэффициенты числителей $g_{n}(x)$ можно найти в OEIS, правда, без всяких ссылок, и коэффициенты $M_{n}(x)$ находятся в OEIS также.

н	г п ( Икс )	Мн ) ( х
0	${\frac {1}{2}}$	$1$
1	$x$	$2x$
2	$x^{2}$	$4x^{2}$
3	${\frac {1}{3}}(x+2x^{3})$	$8x^{3}+4x$
4	${\frac {1}{3}}(2x^{2}+x^{4})$	$16x^{4}+32x^{2}$
5	${\frac {1}{15}}(3x+10x^{3}+2x^{5})$	$32x^{5}+160x^{3}+48x$
6	${\frac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})$	$64x^{6}+640x^{4}+736x^{2}$
7	${\frac {1}{315}}(45x+196x^{3}+70x^{5}+4x^{7})$	$128x^{7}+2240x^{5}+6272x^{3}+1440x$
8	${\frac {1}{315}}(132x^{2}+154x^{4}+28x^{6}+x^{8})$	$256x^{8}+7168x^{6}+39424x^{4}+33792x^{2}$
9	${\frac {1}{2835}}(315x+1636x^{3}+798x^{5}+84x^{7}+2x^{9})$	$512x^{9}+21504x^{7}+204288x^{5}+418816x^{3}+80640x$
10	${\frac {1}{14175}}(5067x^{2}+7180x^{4}+1806x^{6}+120x^{8}+2x^{10})$	$1024x^{10}+61440x^{8}+924672x^{6}+3676160x^{4}+2594304x^{2}$

Характеристики

Полиномы связаны соотношением $M_{n}(x)=2\cdot {n!}\,g_{n}(x)$ и у нас есть $g_{n}(1)=1$ для $n\geqslant 1$. Также $g_{2k}({\frac {1}{2}})=g_{2k+1}({\frac {1}{2}})={\frac {1}{2}}{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdots (2k-1)}{2\cdot 4\cdots (2k)}}$.

Явные формулы

Явные формулы

$g_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k-1}{\binom {n-1}{n-k}}{\binom {x}{k}}=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}{\binom {n-1}{k}}{\binom {x}{k+1}}$

$g_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\binom {k+x}{n}}$

$g_{n}(m)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n-1+m-k}{m-1}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\min(n,m)}{\frac {m}{n+m-k}}{\binom {n+m-k}{k,n-k,m-k}}$

(последний сразу показывает $ng_{n}(m)=mg_{m}(n)$, своего рода формула отражения), и

$M_{n}(x)=(n-1)!\sum _{k=1}^{n}k2^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {x}{k}}$, что также можно записать как

$M_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}(x)_{k}$, где $(x)_{n}=n!{\binom {x}{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)$ обозначает падающий факториал.

В терминах гипергеометрической функции Гаусса имеем

$g_{n}(x)=x\!\cdot {}_{2}\!F_{1}(1-n,1-x;2;2).$

Формула отражения

Как было сказано выше, для $m,n\in \mathbb {N}$, мы имеем формулу отражения $ng_{n}(m)=mg_{m}(n)$.

Формулы рекурсии

Полиномы $M_{n}(x)$ может быть определено рекурсивно с помощью

$M_{n}(x)=2xM_{n-1}(x)+(n-1)(n-2)M_{n-2}(x)$, начиная с $M_{-1}(x)=0$ и $M_{0}(x)=1$.

Другая формула рекурсии, которая создает нечетную из предыдущих четных и наоборот:

$M_{n+1}(x)=2x\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-2k)!}}M_{n-2k}(x)$, снова начиная с $M_{0}(x)=1$.

Что касается $g_{n}(x)$, у нас есть несколько разных рекурсивных формул:

$\displaystyle (1)\quad g_{n}(x+1)-g_{n-1}(x+1)=g_{n}(x)+g_{n-1}(x)$

$\displaystyle (2)\quad (n+1)g_{n+1}(x)-(n-1)g_{n-1}(x)=2xg_{n}(x)$

$(3)\quad x{\Bigl (}g_{n}(x+1)-g_{n}(x-1){\Bigr )}=2ng_{n}(x)$

$(4)\quad g_{n+1}(m)=g_{n}(m)+2\sum _{k=1}^{m-1}g_{n}(k)=g_{n}(1)+g_{n}(2)+\cdots +g_{n}(m)+g_{n}(m-1)+\cdots +g_{n}(1)$

Что касается рекуррентной формулы (3), то полином $g_{n}(x)$ – единственное полиномиальное решение разностного уравнения $x(f(x+1)-f(x-1))=2nf(x)$, нормированный так, что $f(1)=1$. Далее заметим, что (2) и (3) двойственны друг другу в том смысле, что при $x\in \mathbb {N}$, мы можем применить формулу отражения к одному из тождеств, а затем поменять местами $x$ и $n$ чтобы получить другой. (Поскольку $g_{n}(x)$ являются полиномами, их применимость распространяется от натуральных до всех действительных значений $x$.)

Начальные значения

Таблица начальных значений $g_{n}(m)$ (эти значения также называются «фигурными числами для n-мерных перекрестных многогранников» в OEIS). ) может иллюстрировать рекурсивную формулу (1), которую можно понимать так, что каждая запись представляет собой сумму трех соседних записей: слева от нее, сверху и сверху слева, например $g_{5}(3)=51=33+8+10$. Он также иллюстрирует формулу отражения $ng_{n}(m)=mg_{m}(n)$ относительно главной диагонали, например $3\cdot 44=4\cdot 33$.

н м	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	9	19	33	51	73	99	129
4	4	16	44	96	180	304	476
5	5	25	85	225	501	985
6	6	36	146	456	1182
7	7	49	231	833
8	8	64	344
9	9	81
10	10

Отношения ортогональности

Для $m,n\in \mathbb {N}$ имеет место следующее соотношение ортогональности:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g_{n}(-iy)g_{m}(iy)}{y\sinh \pi y}}dy={\frac {1}{2n}}\delta _{mn}.$

(Обратите внимание, что это не комплексный интеграл. Поскольку каждый $g_{n}$ является четным или нечетным многочленом, мнимые аргументы просто создают чередующиеся знаки для своих коэффициентов. Более того, если $m$ и $n$ имеют разную четность, интеграл тривиально обращается в нуль.)

Биномиальная идентичность

Будучи последовательностью Шеффера биномиального типа , полиномы Миттаг-Леффлера $M_{n}(x)$ также удовлетворяют биномиальному тождеству

$M_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}M_{k}(x)M_{n-k}(y)$.

Интегральные представления

На основе представления в виде гипергеометрической функции существует несколько способов представления $g_{n}(z)$ для $|z|<1$ непосредственно как интегралы, некоторые из них действительны даже для сложных $z$, например

$(26)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-1}^{1}t^{n-1}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{z}dt$

$(27)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{uz}{\frac {(\tanh {\frac {u}{2}})^{n}}{\sinh u}}du$

$(32)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u}{2}})\cos({\frac {\pi z}{2}})\cos(nu)du$

$(33)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u}{2}})\sin({\frac {\pi z}{2}})\sin(nu)du$

$(34)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(1+e^{it})^{z}(2+e^{it})^{n-1}e^{-int}dt$.

Закрытые формы целостных семей

Существует несколько семейств интегралов с выражениями в замкнутой форме через значения дзета , где коэффициенты полиномов Миттаг-Леффлера встречаются как коэффициенты. Все эти интегралы можно записать в форме, содержащей либо множитель $\tan ^{\pm n}$ или $\tanh ^{\pm n}$, а степень полинома Миттаг-Леффлера меняется в зависимости от $n$. Один из способов вычислить эти интегралы — получить для них соответствующие рекуррентные формулы, как и для полиномов Миттаг-Леффлера, с помощью интегрирования по частям.

1. Например, определить для $n\geqslant m\geqslant 2$

$I(n,m):=\int _{0}^{1}{\dfrac {{\text{artanh}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{0}^{1}\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {1+x}{1-x}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\coth ^{m-2}z}{\sinh ^{2}z}}dz.$

Эти интегралы имеют замкнутый вид

$(1)\quad I(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\zeta ^{n+1}~g_{m-1}({\frac {1}{\zeta }})$

в умбральной записи, что означает, что после расширения многочлена в $\zeta$, каждая мощность $\zeta ^{k}$ должно быть заменено значением дзета $\zeta (k)$. Например, из $g_{6}(x)={\frac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})\$ мы получаем $\ I(n,7)={\frac {n!}{2^{n-1}}}{\frac {23~\zeta (n-1)+20~\zeta (n-3)+2~\zeta (n-5)}{45}}\$ для $n\geqslant 7$.

2. Аналогично примите за $n\geqslant m\geqslant 2$

$J(n,m):=\int _{1}^{\infty }{\dfrac {{\text{arcoth}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{1}^{\infty }\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {x+1}{x-1}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\tanh ^{m-2}z}{\cosh ^{2}z}}dz.$

В теневой записи, где после расширения $\eta ^{k}$ необходимо заменить эта-функцией Дирихле $\eta (k):=\left(1-2^{1-k}\right)\zeta (k)$, они имеют закрытую форму

$(2)\quad J(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\eta ^{n+1}~g_{m-1}({\frac {1}{\eta }})$.

3. Следующее держится за $n\geqslant m$ с тем же теневым обозначением для $\zeta$ и $\eta$, и завершая по непрерывности $\eta (1):=\ln 2$.

$(3)\quad \int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx=\cos {\Bigl (}{\frac {m}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {(\pi /2)^{n+1}}{n+1}}+\cos {\Bigl (}{\frac {m-n-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m}{2^{n}}}\zeta ^{n+2}g_{m}({\frac {1}{\zeta }})+\sum \limits _{v=0}^{n}\cos {\Bigl (}{\frac {m-v-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m~\pi ^{n-v}}{(n-v)!~2^{n}}}\eta ^{n+2}g_{m}({\frac {1}{\eta }}).$

Обратите внимание, что для $n\geqslant m\geqslant 2$, это также дает замкнутый вид для интегралов

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan ^{n}x}{x^{m}}}dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx+\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m-2}x}}dx.$

4. Для $n\geqslant m\geqslant 2$, определять $\quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx$.

Если $n+m$ четно, и мы определяем $h_{k}:=(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\frac {(k-1)!(2^{k}-1)\zeta (k)}{2^{k-1}\pi ^{k-1}}}$, мы имеем в умбральной записи, т.е. заменяя $h^{k}$ к $h_{k}$,

$(4)\quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx={\dfrac {n\cdot 2^{m-1}}{(m-1)!}}(-h)^{m-1}g_{n}(h).$

Обратите внимание, что только нечетные значения дзета (нечетные $k$) встречаются здесь (если только знаменатели не представлены как четные значения дзета), например

$K(5,3)=-{\frac {2}{3}}(3h_{3}+10h_{5}+2h_{7})=-7{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{2}}}+310{\frac {\zeta (5)}{\pi ^{4}}}-1905{\frac {\zeta (7)}{\pi ^{6}}},$

$K(6,2)={\frac {4}{15}}(23h_{3}+20h_{5}+2h_{7}),\quad K(6,4)={\frac {4}{45}}(23h_{5}+20h_{7}+2h_{9}).$

5. Если $n+m$ странно, тот же интеграл гораздо сложнее вычислить, в том числе и начальный $\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{3}(x)}{x^{2}}}dx$. Однако оказывается, что этот шаблон существует, если мы определим $s_{k}:=\eta '(-k)=2^{k+1}\zeta (-k)\ln 2-(2^{k+1}-1)\zeta '(-k)$, эквивалентно $s_{k}={\frac {\zeta (-k)}{\zeta '(-k)}}\eta (-k)+\zeta (-k)\eta (1)-\eta (-k)\eta (1)$. Затем $K(n,m)$ имеет следующую замкнутую форму в умбральной записи, заменяя $s^{k}$ к $s_{k}$:

$(5)\quad K(n,m)=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx={\frac {n\cdot 2^{m}}{(m-1)!}}(-s)^{m-2}g_{n}(s)$, например

$K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,3)=-{\frac {8}{15}}(23s_{3}+20s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,5)=-{\frac {8}{45}}(23s_{5}+20s_{7}+2s_{9}).$

Заметим, что в силу логарифмической производной ${\frac {\zeta '}{\zeta }}(s)+{\frac {\zeta '}{\zeta }}(1-s)=\log \pi -{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {1-s}{2}}\right)$ функционального уравнения Римана , полученного после применения формулы отражения Эйлера , эти выражения с точки зрения $s_{k}$ можно записать в терминах ${\frac {\zeta '(2j)}{\zeta (2j)}}$, например

$K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7})={\frac {1}{9}}\left\{{\frac {1643}{420}}-{\frac {16}{315}}\ln 2+3{\frac {\zeta '(4)}{\zeta (4)}}-20{\frac {\zeta '(6)}{\zeta (6)}}+17{\frac {\zeta '(8)}{\zeta (8)}}\right\}.$

6. Для $n<m$, тот же интеграл $K(n,m)$ расходится, потому что подынтегральная функция ведет себя как $x^{n-m}$ для $x\searrow 0$. Но разница двух таких интегралов с соответствующими разностями степеней четко определена и демонстрирует очень схожие закономерности, например

$(6)\quad K(n-1,n)-K(n,n+1)=\int \limits _{0}^{\infty }\left({\dfrac {\tanh ^{n-1}(x)}{x^{n}}}-{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{n+1}}}\right)dx=-{\frac {1}{n}}+{\frac {(n+1)\cdot 2^{n}}{(n-1)!}}s^{n-2}g_{n}(s)$.

См. также

• Полиномы Бернулли второго рода
• Полиномы Стирлинга
• Число Поли-Бернулли

Ссылки

• Бейтман, Х. (1940), «Полином Миттаг-Леффлера» (PDF) , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 26 (8): 491–496, Бибкод : 1940PNAS ... 26 ..491B , doi : 10.1073/pnas.26.8.491 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   86958 , MR   0002381 , PMC   1078216 , PMID   16588390
• Миттаг-Леффлер, Г. (1891), «Об аналитическом представлении интегралов и инвариантов линейного и однородного дифференциального уравнения», Acta Mathematica (на французском языке), XV : 1–32, doi : 10.1007/BF02392600 , ISSN   0001 -5962 , ЯФМ   23.0327.01
• Станкович, Миомир С.; Маринкович, Сладжана Д.; Райкович, Предраг М. (2010), Деформированные полиномы Миттага – Леффлера , arXiv : 1007.3612