Формула отражения

Эта статья об размышлениях в теории чисел и исчислении. Формулы отражения в геометрии см. в разделе Отражение (математика) .

В математике формула отражения или отношение отражения для функции f — это отношение между f ( a − x ) и f ( x ). Это частный случай функционального уравнения . В математической литературе принято использовать термин «функциональное уравнение» для обозначения формул отражения.

Формулы отражения полезны для численного расчета специальных функций . приближение, которое имеет большую точность или сходится только на одной стороне точки отражения (обычно в положительной половине комплексной плоскости Фактически, для всех аргументов можно использовать ).

Известные формулы

Четные и нечетные функции по определению удовлетворяют простым соотношениям отражения вокруг a = 0. Для всех четных функций

$$f(-x)=f(x),$$

и для всех нечетных функций

$$f(-x)=-f(x).$$

Известное соотношение — это формула отражения Эйлера.

$$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$$

для гамма-функции ${\textstyle \Gamma (z)}$, благодаря Леонарду Эйлеру .

Существует также формула отражения для общей n -го порядка полигамма-функции ψ ^{( н )} ( С ),

$$\psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}$$

что тривиально вытекает из того факта, что полигамма-функции определяются как производные ${\textstyle \ln \Gamma }$ и, таким образом, наследовать формулу отражения.

Дилогарифм : также удовлетворяет формуле отражения

$$\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)=\zeta (2)-\ln(z)\ln(1-z)$$

Дзета- функция Римана ζ ( z ) удовлетворяет

$${\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),$$

и функция Римана Xi ξ ( z ) удовлетворяет

$$\xi (z)=\xi (1-z).$$

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Отношение отражения» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Полигамма-функция» . Математический мир .