Полиномы Мотта
В математике полиномы Мотта s n ( x ) — это полиномы, заданные экспоненциальной производящей функцией:
Их представил Невилл Фрэнсис Мотт , который применил их к проблеме теории электронов. [1]
Поскольку множитель в экспоненте имеет степенной ряд
в каталонских цифрах , коэффициент перед многочлена можно записать как
- , по общей формуле для обобщенных полиномов Аппеля , где сумма ведется по всем композициям из в положительные нечетные целые числа. Пустой продукт появляется для равно 1. Специальные значения, где все участвующие каталонские числа равны 1, являются
Путем дифференцирования рекуррентность для первой производной становится
Первые несколько из них (последовательность A137378 в OEIS )
Полиномы s n ( x ) образуют ассоциированную последовательность Шеффера для –2 t /(1–t 2 ) [2]
Явное выражение для них через обобщенную гипергеометрическую функцию 3 F 0 : [3]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Мотт, Н.Ф. (1932). «Поляризация электронов вследствие двойного рассеяния» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера . 135 (827): 429–458 [442]. дои : 10.1098/rspa.1932.0044 . ISSN 0950-1207 . JSTOR 95868 .
- ^ Роман, Стивен (1984). Теневое исчисление . Чистая и прикладная математика. Том. 111. Лондон: Academic Press Inc. [Издательство Harcourt Brace Jovanovich]. п. 130. ИСБН 978-0-12-594380-2 . МР 0741185 . Перепечатано Дувром, 2005 г.
- ^ Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц [на немецком языке] ; Трикоми, Франческо Г. (1955). Высшие трансцендентные функции. Том. III . Нью-Йорк-Торонто-Лондон: McGraw-Hill Book Company, Inc., с. 251. МР 0066496 .