Обобщенные полиномы Аппелла

В математике полиномиальная последовательность $\{p_{n}(z)\}$ имеет обобщенное представление Аппелла если производящая функция многочленов , принимает определенный вид:

$K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$

где производящая функция или ядро $K(z,w)$ состоит из серии

$A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad$ с $a_{0}\neq 0$

и

$\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad$ и все $\Psi _{n}\neq 0$

и

$g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad$ с $g_{1}\neq 0.$

Учитывая вышеизложенное, нетрудно показать, что $p_{n}(z)$ является полиномом степени $n$.

Полиномы Боаса – Бака представляют собой несколько более общий класс полиномов.

Особые случаи

• Выбор $g(w)=w$ дает класс полиномов Бренке .
• Выбор $\Psi (t)=e^{t}$ приводит к получению Шеффера последовательности полиномов , которая включает полиномы общей разности , такие как полиномы Ньютона .
• Совместный выбор $g(w)=w$ и $\Psi (t)=e^{t}$ дает Аппелла . последовательность полиномов

Явное представление

Обобщенные полиномы Аппелла имеют явное представление

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.$

Константа

$h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}$

где эта сумма распространяется на композиции все $n$ в $k+1$ части; то есть сумма распространяется на все $\{j\}$ такой, что

$j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,$

Для полиномов Аппелла это становится формулой

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.$

Отношение рекурсии

Эквивалентно, необходимое и достаточное условие того, что ядро $K(z,w)$ можно записать как $A(w)\Psi (zg(w))$ с $g_{1}=1$ это что

${\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}$

где $b(w)$ и $c(w)$ иметь степенной ряд

$b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}$

и

$c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.$

Замена

$K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$

сразу дает рекурсивное соотношение

$z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).$

Для частного случая полиномов Бренке имеем $g(w)=w$ и таким образом все $b_{n}=0$, что значительно упрощает отношение рекурсии.

См. также

• q-разностные полиномы

Ссылки

• Ральф П. Боас-младший и Р. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций (исправленное во втором издании) , (1964) Academic Press Inc., Издательство Нью-Йорк, Springer-Verlag, Берлин. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263.
• Бренке, Уильям К. (1945). «О производящих функциях полиномиальных систем». Американский математический ежемесячник . 52 (6): 297–301. дои : 10.2307/2305289 .
• Хафф, WN (1947). «Тип полиномов, порожденных f(xt) φ(t)». Математический журнал Дьюка . 14 (4): 1091–1104. дои : 10.1215/S0012-7094-47-01483-X .