q -разностный полином

В комбинаторной математике или q -разностные полиномы q - гармонические полиномы представляют собой полиномиальную последовательность, определенную в терминах q -производной . Они представляют собой обобщенный тип полинома Бренке и обобщают полиномы Аппелла . См. также последовательность Шеффера .

Определение

Полиномы q-разности удовлетворяют соотношению

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}p_{n}(z)={\frac {p_{n}(qz)-p_{n}(z)}{qz-z}}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}p_{n-1}(z)=[n]_{q}p_{n-1}(z)$

где символ производной слева — это q-производная. В пределе $q\to 1$, это становится определением полиномов Аппелла:

${\frac {d}{dz}}p_{n}(z)=np_{n-1}(z).$

Генерирующая функция

Обобщенная производящая функция для этих полиномов имеет тип производящей функции для полиномов Бренке, а именно

$A(w)e_{q}(zw)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(z)}{[n]_{q}!}}w^{n}$

где $e_{q}(t)$ является q-экспонентой :

$e_{q}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}.$

Здесь, $[n]_{q}!$ является q-факториалом и

$(q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)$

— символ q-Похгаммера . Функция $A(w)$ произвольно, но предполагается, что оно имеет расширение

$A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}{\mbox{ with }}a_{0}\neq 0.$

Любой такой $A(w)$ дает последовательность q-разностных полиномов.

Ссылки

• А. Шарма и А. М. Чак, «Основной аналог одного класса многочленов», Riv. Мат. унив. Парма , 5 (1954) 325–337.
• Ральф П. Боас-младший и Р. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций (исправленное во втором издании) , (1964) Academic Press Inc., Издательство Нью-Йорк, Springer-Verlag, Берлин. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263. (Обеспечивает очень краткое обсуждение конвергенции.)