q -экспоненциальный

Не путать с q-экспонентой Тсаллиса .

В комбинаторной математике q - экспонента является q -аналогом показательной функции ,а именно собственная функция q -производной . Существует множество q -производных, например, классическая q -производная , оператор Аски–Вильсона и т. д. Поэтому, в отличие от классических экспонент, q -экспоненты не единственны. Например, $e_{q}(z)$ — q -экспонента, соответствующая классической q -производной , а ${\mathcal {E}}_{q}(z)$ являются собственными функциями операторов Аски–Вильсона.

- экспонента q также известна как квантовый дилогарифм .

Определение

-экспонента q ​ $e_{q}(z)$ определяется как

$e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}}$

где $[n]!_{q}$ является q -факториалом и

$(q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)$

является символом q -Похгаммера . То, что это q -аналог экспоненты, следует из свойства

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)$

где производная слева — это q -производная . Сказанное легко проверить, рассмотрев q -производную монома

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.$

Здесь, $[n]_{q}$ это q -скобка .Другие определения q -экспоненциальной функции см. в Exton (1983) , Ismail & Zhang (1994) и Cieśliński (2011) .

Характеристики

Серьезно $q>1$, функция $e_{q}(z)$ представляет собой функцию целую $z$. Для $q<1$, $e_{q}(z)$ регулярно находится на диске $|z|<1/(1-q)$.

Обратите внимание на обратное, $~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1$.

Формула сложения

Аналог $\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)$ не справедливо для действительных чисел $x$ и $y$. Однако если это операторы, удовлетворяющие коммутационному соотношению $xy=qyx$, затем $e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)$ соответствует действительности.

Отношения

Для $-1<q<1$, функция, которая тесно связана с $E_{q}(z).$ Это частный случай основного гипергеометрического ряда .

$E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.$

Четко,

$\lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}=e^{-z}.~$

Связь с дилогарифмом

$e_{q}(x)$ имеет следующее представление бесконечного произведения:

$e_{q}(x)=\left(\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}(1-q)x)\right)^{-1}.$

С другой стороны, $\log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}$ держит. Когда $|q|<1$,

${\begin{aligned}\log e_{q}(x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }\log(1-q^{k}(1-q)x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}\\&={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}\end{aligned}}.$

Взяв предел $q\to 1$,

$\lim _{q\to 1}(1-q)\log e_{q}(x/(1-q))=\mathrm {Li} _{2}(x),$

где $\mathrm {Li} _{2}(x)$ это дилогарифм .

Ссылки

• Чеслинский, Ян Л. (2011). «Улучшенные q-экспоненциальные и q-тригонометрические функции» . Письма по прикладной математике . 24 (12): 2110–2114. arXiv : 1006.5652 . дои : 10.1016/j.aml.2011.06.009 . S2CID   205496812 .
• Экстон, Гарольд (1983). q-гипергеометрические функции и приложения . Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд. ISBN  0853124914 .
• Гаспер, Джордж ; Рахман, Мизан Рахман (2004). Базовый гипергеометрический ряд . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521833574 .
• Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные полиномы от одной переменной . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9781107325982 . ISBN  9780521782012 .
• Исмаил, Мурад Э.Х .; Чжан, Жуймин (1994). «Диагонализация некоторых интегральных операторов» . Достижения в математике . 108 (1): 1–33. дои : 10.1006/aima.1994.1077 .
• Исмаил, Мурад Э.Х .; Рахман, Мизан ; Чжан, Жуймин (1996). «Диагонализация некоторых интегральных операторов II» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 68 (1–2): 163–196. CiteSeerX   10.1.1.234.4251 . дои : 10.1016/0377-0427(95)00263-4 .
• Джексон, Ф.Х. (1909). «О q-функциях и одном разностном операторе». Труды Королевского общества Эдинбурга . 46 (2): 253–281. дои : 10.1017/S0080456800002751 . S2CID   123927312 .