Как дилогарифм

В математике квантовый дилогарифм — это специальная функция, определяемая формулой

$\phi (x)\equiv (x;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-xq^{n}),\quad |q|<1$

Это то же самое, что q -экспоненциальная функция $e_{q}(x)$.

Позволять $u,v$ быть « q -коммутативными переменными», то есть элементами подходящей некоммутативной алгебры, удовлетворяющей соотношению Вейля $uv=qvu$. Тогда квантовый дилогарифм удовлетворяет тождеству Шютценбергера

$\phi (u)\phi (v)=\phi (u+v),$

Личность Фаддеева-Волкова

$\phi (v)\phi (u)=\phi (u+v-vu),$

и личность Фаддеева-Кашаева

$\phi (v)\phi (u)=\phi (u)\phi (-vu)\phi (v).$

Последнее, как известно, является квантовым обобщением тождества пятичленного дилогарифма Роджерса .

Квантовый дилогарифм Фаддеева $\Phi _{b}(w)$ определяется следующей формулой:

$\Phi _{b}(z)=\exp \left({\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-2izw}}{\sinh(wb)\sinh(w/b)}}{\frac {dw}{w}}\right),$

где контур интегрирования $C$ проходит вдоль действительной оси за пределами небольшой окрестности начала координат и отклоняется в верхнюю полуплоскость вблизи начала координат. Эту же функцию можно описать интегральной формулой Вороновича:

$\Phi _{b}(x)=\exp \left({\frac {i}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\log(1+e^{tb^{2}+2\pi bx})}{1+e^{t}}}\,dt\right).$

Людвиг Фаддеев открыл квантовое тождество пятиугольника:

$\Phi _{b}({\hat {p}})\Phi _{b}({\hat {q}})=\Phi _{b}({\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}+{\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}),$

где ${\hat {p}}$ и ${\hat {q}}$ являются самосопряженными (нормализованными) квантово-механическими операторами импульса и положения, удовлетворяющими коммутационному соотношению Гейзенберга.

$[{\hat {p}},{\hat {q}}]={\frac {1}{2\pi i}}$

и соотношение инверсии

$\Phi _{b}(x)\Phi _{b}(-x)=\Phi _{b}(0)^{2}e^{\pi ix^{2}},\quad \Phi _{b}(0)=e^{{\frac {\pi i}{24}}\left(b^{2}+b^{-2}\right)}.$

Квантовый дилогарифм находит приложения в математической физике , квантовой топологии , кластерной алгебры теории .

Точная связь между q -экспонентой и $\Phi _{b}$ выражается равенством

$\Phi _{b}(z)={\frac {E_{e^{2\pi ib^{2}}}(-e^{\pi ib^{2}+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^{2}}}(-e^{-\pi i/b^{2}+2\pi z/b})}},$

действителен для $\operatorname {Im} b^{2}>0$.

Ссылки

• Фаддеев, Л.Д. (1994). «Токоподобные переменные в массивных и безмассовых интегрируемых моделях». arXiv : hep-th/9408041 .
• Фаддеев, Л.Д. (1995). «Дискретная группа Гейзенберга-Вейля и модулярная группа». Письма по математической физике . 34 (3): 249–254. arXiv : hep-th/9504111 . Бибкод : 1995LMaPh..34..249F . дои : 10.1007/BF01872779 . МР   1345554 . S2CID   119435070 .
• Фаддеев, Л.Д.; Кашаев, Р.М. (1994). «Квантовый дилогарифм». Буквы по современной физике А. 9 (5): 427–434. arXiv : hep-th/9310070 . Бибкод : 1994МПЛА....9..427F . дои : 10.1142/S0217732394000447 . МР   1264393 . S2CID   6172445 .

• Фаддеев, Л.Д.; Волков, А.Ю. (1993). «Абелева алгебра токов и алгебра Вирасоро на решетке». Буквы по физике Б. 315 (3–4): 311–318. arXiv : hep-th/9307048 . Бибкод : 1993PhLB..315..311F . дои : 10.1016/0370-2693(93)91618-W . S2CID   10294434 .

• Кириллов, АН (1995). «Дилогарифмические тождества». Приложение «Прогресс теоретической физики» . 118 : 61–142. arXiv : hep-th/9408113 . Бибкод : 1995ПТПС.118...61К . дои : 10.1143/PTPS.118.61 . МР   1356515 . S2CID   119177149 .

• Шютценбергер, депутат (1953). «Интерпретация некоторых решений функционального уравнения: F(x + y) = F(x)F(y)». Доклады Парижской академии наук . 236 :352–353.

• Воронович, С.Л. (2000). «Квантовая показательная функция». Обзоры по математической физике . 12 (6): 873–920. Бибкод : 2000RvMaP..12..873W . дои : 10.1142/S0129055X00000344 . МР   1770545 .

Внешние ссылки

• квантовый дилогарифм в n лаборатории