Кластерная алгебра

Кластерные алгебры — это класс коммутативных колец, введенный Фоминым и Зелевинским ( 2002 , 2003 , 2007 ). Кластерная алгебра ранга n представляет собой область целостности A вместе с некоторыми подмножествами размера n, называемыми кластерами, объединение которых порождает алгебру A и которые удовлетворяют различным условиям.

Определения

Предположим, что — область целостности , такая как поле Q ( x1 _F ..., xn ₎ рациональных функций от n переменных над рациональными числами Q. ,

Кластер , который ранга , ... n состоит из набора из n элементов { x , y } из F обычно считается алгебраически независимым набором генераторов расширения F. поля

Начальное число состоит из кластера { x , y , ...} F вместе с матрицей обмена B с целочисленными элементами b _{x , y,} индексированными парами элементов x , y кластера. Иногда предполагается, что матрица кососимметрична , так что b _{x , y} = – by _{y , x} для всех x и y . В более общем смысле матрица может быть косо-симметризуемой, то есть существуют положительные целые числа d _x, связанные с элементами кластера, такие, что d _x b _{x , y} = – d _y by _{y , x} для всех x и y . Обычно семя представляет собой колчан , вершины которого являются порождающим набором, путем рисования b _{x , y} стрелок от x до y , если это число положительное. Когда b _{x , y} косо симметризуемы, колчан не имеет петель или 2-циклов.

Мутация следующим семени, зависящая от выбора вершины y кластера, представляет собой новое семя, заданное наклона обобщением . Поменяйте значения b _{x , y} и by _{x , в} для всех x кластере. Если b _{x , y} > 0 и by _{y , z} > 0, то замените b _{x , z} на b _{x , y} by _{y , z} + b _{x , z} . Если b _{x , y} < 0 и by _{y , z} < 0, то замените b _{x , z} на - b _{x , y} на _{y , z} + b _{x , z} . Если b _{x , y} b _{y , z} ≤ 0, то не меняйте b _{x , z} . Наконец, замените y новым генератором w , где

$wy=\prod _{t:\,b_{t,y}>0}t^{b_{t,y}}+\prod _{t:\,b_{t,y}<0}t^{-b_{t,y}}$

где продукты проходят через элементы t в кластере начального числа, так что b _{t , y} являются положительными или отрицательными соответственно. Обратная мутация также является мутацией, т.е. если A является мутацией B то B является мутацией A. ,

Кластерная алгебра строится из начального семени следующим образом. Если мы неоднократно мутируем семя всеми возможными способами, мы получаем конечный или бесконечный граф семян, где два семени соединены ребром, если одно можно получить путем мутации другого. Базовая алгебра кластерной алгебры — это алгебра, порожденная всеми кластерами всех семян в этом графе. Кластерная алгебра также имеет дополнительную структуру семян этого графа.

Говорят, что кластерная алгебра имеет конечный тип , если она имеет только конечное число семян. Фомин и Зелевинский (2003) показали, что кластерные алгебры конечного типа можно классифицировать в терминах диаграмм Дынкина конечномерных простых алгебр Ли .

Примеры

Кластерные алгебры ранга 1

Если { x } является кластером семени ранга 1, то единственная мутация превращает его в {2 x ⁻¹ }. Таким образом, кластерная алгебра ранга 1 — это просто кольцо k [ x , x ⁻¹ ] полиномов Лорана и имеет всего два кластера: { x } и {2 x ⁻¹ }. В частности, она имеет конечный тип и связана с диаграммой Дынкина A ₁ .

Кластерные алгебры ранга 2

Предположим, что мы начинаем с кластера { x ₁ , x ₂ } и берем матрицу обмена с b ₁₂ = –b ₂₁ = 1. Тогда мутация дает последовательность переменных x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ,.. . такие, что кластеры заданы соседними парами { x _n , x _{n +1} }. Переменные связаны соотношением

$\displaystyle x_{n-1}x_{n+1}=1+x_{n},$

поэтому задаются последовательностью

$x_{1},\ x_{2},\ x_{3}={\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},\ x_{4}={\frac {1+x_{3}}{x_{2}}}={\frac {1+x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}},$

$x_{5}={\frac {1+x_{4}}{x_{3}}}={\frac {1+x_{1}}{x_{2}}},\ x_{6}={\frac {1+x_{5}}{x_{4}}}=x_{1},\ x_{7}={\frac {1+x_{6}}{x_{5}}}=x_{2},\ \ldots$

которое повторяется с периодом 5. Итак, эта кластерная алгебра имеет ровно 5 кластеров и, в частности, имеет конечный тип. Ему соответствует диаграмма Дынкина A ₂ .

Существуют аналогичные примеры с b ₁₂ = 1, – b ₂₁ = 2 или 3, где аналогичная последовательность кластерных переменных повторяется с периодом 6 или 8. Они также имеют конечный тип и связаны с диаграммами Дынкина B ₂ и G. ₂ . Однако если | б ₁₂ б ₂₁ | ≥ 4, то последовательность кластерных переменных не является периодической и кластерная алгебра имеет бесконечный тип.

Кластерные алгебры ранга 3

Предположим, мы начнем с колчана x ₁ → x ₂ → x ₃ . Тогда 14 кластеров:

$\left\{x_{1},x_{2},x_{3}\right\},$

$\left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},x_{2},x_{3}\right\},$

$\left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},x_{3}\right\},$

$\left\{x_{1},x_{2},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},$

$\left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},x_{3}\right\},$

$\left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},x_{2},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},$

$\left\{{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},x_{3}\right\},$

$\left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}}\right\},$

$\left\{x_{1},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},$

$\left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},$

$\left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},$

$\left\{{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},$

$\left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}}\right\},$

$\left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\}.$

Существует 6 переменных кластера, кроме трех исходных x ₁ , x ₂ , x _3, заданных формулами

${\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}$.

Они соответствуют 6 положительным корням диаграммы Дынкина A ₃ : точнее, знаменатели представляют собой мономы от x ₁ , x ₂ , x ₃ , что соответствует выражению положительных корней в виде суммы простых корней. Кластерные переменные 3+6 порождают кластерную алгебру конечного типа, связанную с диаграммой Дынкина A ₃ .14 кластеров являются вершинами кластерного графа, который представляет собой ассоциэдр .

Грассманианцы

Простые примеры дают алгебры однородных функций на грассманианах . Координаты Плюкера представляют собой некоторые из выдающихся элементов.

Мутация между двумя триангуляциями семиугольника

Для грассманиана плоскостей в $\mathbb {C} ^{n}$, ситуация еще проще. В этом случае координаты Плюкера обеспечивают все выделенные элементы, и кластеры можно полностью описать с помощью триангуляции правильного многоугольника с n вершинами. Точнее, кластеры находятся во взаимно однозначном соответствии с триангуляциями, а выделенные элементы находятся во взаимно однозначном соответствии с диагоналями (отрезками линий, соединяющими две вершины многоугольника). Можно различать диагонали на границе, принадлежащие каждому кластеру, и диагонали внутри. Это соответствует общему различию между переменными-коэффициентами и переменными кластера.

возникающие на

Предположим, что S — компактная связная ориентированная риманова поверхность , а M — непустое конечное множество точек в S , содержащее хотя бы одну точку из каждой граничной компоненты S (граница S не предполагается ни пустой, ни непустой). ). Пару ( S , M ) часто называют окаймленной поверхностью с отмеченными точками . Фомин-Шапиро-Терстон показал, что если S не является замкнутой поверхностью или если M имеет более одной точки, то (помеченные) дуги на ( S , M ) параметризуют набор кластерных переменных определенной кластерной алгебры. A ( S , M ), которое зависит только от ( S , M ) и выбора некоторой системы коэффициентов, таким образом, что набор (меченых) триангуляций ( S , M ) находится во взаимно однозначном соответствии с набором кластеров A ( S , M ), две (помеченные) триангуляции связаны переворотом тогда и только тогда, когда кластеры, которым они соответствуют, связаны кластерной мутацией.

ячейки

Для $G$ такая редуктивная группа, как $GL_{n}$ с борелевскими подгруппами $B_{\pm }$ затем дальше $G^{u,v}=BuB\cap B_{-}vB_{-}$ (где $u$ и $v$ находятся в группе Вейля ) существуют кластерные координатные диаграммы, зависящие от приведенных разложений слов $u$ и $v$. Они называются параметрами факторизации, и их структура закодирована в электрической схеме. Только с $B$ или только $B_{-}$, это разложение Брюа .

Ссылки

• Беренштейн, Аркадий; Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2005), «Кластерные алгебры. III. Верхние границы и двойные клетки Брюа», Duke Mathematical Journal , 126 (1): 1–52, arXiv : math/0305434 , doi : 10.1215/S0012-7094-04- 12611-9 , МР   2110627 , С2КИД   7733033
• Фомин, Сергей; Шапиро, Майкл; Терстон, Дилан (2008), «Кластерные алгебры и триангулированные поверхности, часть I: Кластерные комплексы», Acta Mathematica , 201 : 83–146, arXiv : math/0608367 , doi : 10.1007/s11511-008-0030-7 , S2CID   14327145
• Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2002), «Кластерные алгебры. I. Основы», Журнал Американского математического общества , 15 (2): 497–529, arXiv : math/0104151 , doi : 10.1090/S0894-0347-01-00385- X , MR   1887642 , S2CID   13629643
• Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2003), «Кластерные алгебры. II. Классификация конечных типов», Inventiones Mathematicae , 154 (1): 63–121, arXiv : math/0208229 , Bibcode : 2003InMat.154...63F , doi : 10.1007/ s00222-003-0302-y , MR   2004457 , S2CID   14540263
• Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2007), «Кластерные алгебры. IV. Коэффициенты», Compositio Mathematica , 143 (1): 112–164, arXiv : math/0602259 , doi : 10.1112/S0010437X06002521 , MR   2295199 , S2CID   1574400 6
• Фомин, Сергей; Ридинг, Натан (2007), «Корневые системы и обобщенные ассоциэдры», Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд (ред.), Геометрическая комбинаторика , IAS/Park City Math. Сер., вып. 13, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., arXiv : math/0505518 , Bibcode : 2005math......5518F , ISBN  978-0-8218-3736-8 , МР   2383126
• Марш, Бетани Р. (2013), Конспекты лекций по кластерным алгебрам. , Цюрихские лекции по высшей математике, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), doi : 10.4171/130 , ISBN  978-3-03719-130-9 , МР   3155783
• Рейтен, Идун (2010), Теория наклона и кластерные алгебры , Триестские материалы семинара, arXiv : 1012.6014 , Бибкод : 2010arXiv1012.6014R
• Зелевинский, Андрей (2007), «Что такое... кластерная алгебра?» (PDF) , Уведомления AMS , 54 (11): 1494–1495 .

Внешние ссылки

• Fomin's Cluster algebra portal
• Работы Фомина по кластерным алгебрам