Теория наклона

Оказывается, существуют приложения наших функторов, использующие аналогичные преобразования, которые нам нравится думать как изменение базиса фиксированной корневой системы — наклон осей относительно корней, что приводит к получению другого подмножества. корней, лежащих в положительном конусе. ... По этой причине, а также потому, что слово «наклон» легко склоняется, мы называем наши функторы наклонными функторами или просто наклонами .

Бреннер и Батлер (1980 , стр. 103)

В математике , особенно в теории представлений , теория наклона описывает способ связать категории модулей двух алгебр с использованием так называемых модулей наклона и связанных с ними функторов наклона . Здесь вторая алгебра — это алгебра эндоморфизмов наклонного модуля над первой алгеброй.

Теория наклона была мотивирована введением функторов отражения Йозефом Бернштейном , Израилем Гельфандом и В.А. Пономаревым ( 1973 ); эти функторы использовались для связи представлений двух колчанов . Эти функторы были переформулированы Морисом Ауслендером , Марией Инес Платцек и Идуном Рейтеном ( 1979 ) и обобщены Шейлой Бреннер и Майклом К.Р. Батлером ( 1980 ), которые ввели функторы наклона. Дитер Хаппель и Клаус Михаэль Рингель ( 1982 ) определили наклонные алгебры и наклонные модули как дальнейшее обобщение этого подхода.

Определения

Предположим, что A — конечномерная с единицей ассоциативная алгебра над некоторым полем . Конечно -порожденный правый A - модуль T называется наклоняющим модулем, если он обладает следующими тремя свойствами:

• T имеет проективную размерность не более 1, другими словами, это фактор по проективного модуля проективному подмодулю .
• доб. ¹
  _А ( Т , Т ) = 0.
• Правый A -модуль A является ядром сюръективного группы морфизма между конечными прямыми суммами прямых слагаемых T .

Учитывая такой наклонный модуль, мы определяем алгебру эндоморфизмов B = End _A ( T ). Это еще одна конечномерная алгебра, и T — конечно порожденный левый B -модуль. Функторы наклона Hom _A ( T ,−), Ext ¹
_A ( T ,−), −⊗ _B T и Tor ^Б
₁ (−, T ) связывают категорию mod- A конечно-порожденных правых A -модулей с категорией mod- B конечно-порожденных правых B -модулей.

На практике часто рассматривают наследственные конечномерные алгебры A, поскольку категории модулей над такими алгебрами достаточно хорошо изучены. Алгебра эндоморфизмов наклонного модуля над наследственной конечномерной алгеброй называется наклоненной алгеброй .

Факты

Предположим, что A — конечномерная алгебра, T — модуль наклона над A и B = End _A ( T ). Запишем F = Hom _A ( T ,−), F′ = Ext ¹
_A ( T ,−), G = −⊗ _B T и G′ = Tor ^Б
₁ (−, Т ). F правосопряжен к , G а F' правосопряжен к G' .

Бреннер и Батлер (1980) показали, что функторы наклона дают эквивалентность между определенными подкатегориями mod- A и mod- B . В частности, если мы определим две подкатегории ${\mathcal {F}}=\ker(F)$ и ${\mathcal {T}}=\ker(F')$ - mod A и две подкатегории ${\mathcal {X}}=\ker(G)$ и ${\mathcal {Y}}=\ker(G')$ - mod B , тогда $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ является торсионной парой в A -mod (т.е. ${\mathcal {T}}$ и ${\mathcal {F}}$ являются максимальными подкатегориями, обладающими свойством $\operatorname {Hom} ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})=0$; отсюда следует, что каждое M из A -mod допускает естественную короткую точную последовательность $0\to U\to M\to V\to 0$ с U в ${\mathcal {T}}$ и В в ${\mathcal {F}}$) и $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ является торсионной парой в B -mod. Далее, ограничения функторов F и G приводят к обратным эквивалентностям между ${\mathcal {T}}$ и ${\mathcal {Y}}$, а ограничения F′ и G′ приводят к обратной эквивалентности между ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {X}}$. (Обратите внимание, что эти эквивалентности меняют порядок торсионных пар $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ и $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$.)

Теорию наклона можно рассматривать как обобщение эквивалентности Морита , которая восстанавливается, если T — проективный генератор ; в таком случае ${\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A$ и ${\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} -B$.

Если A имеет конечную глобальную размерность , то B также имеет конечную глобальную размерность, и разница F и F' вызывает изометрию между группами Гротендика K ₀ ( A ) и K ₀ ( B ).

В случае, когда A является наследственной (т. е. B является наклонной алгеброй), глобальная размерность B не превосходит 2, а крученая пара $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ расщепляется, т.е. каждый неразложимый объект B -mod находится либо в ${\mathcal {X}}$ или в ${\mathcal {Y}}$.

Хаппель (1988) и Клайн, Паршалл и Скотт (1986) показали, что в целом A и B являются производными эквивалентами (т.е. производные категории D ^б ( А -мод) и D ^б ( B -mod) эквивалентны триангулированным категориям ).

Обобщения и расширения

Обобщенный наклонный модуль над конечномерной алгеброй A — это правый A -модуль T со следующими тремя свойствами:

• T имеет конечную проективную размерность.
• доб. ^я
  _А ( Т , Т ) = 0 для всех i > 0.
• Есть точная последовательность $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ где T _i — конечные прямые суммы прямых слагаемых T .

Эти обобщенные модули наклона также дают производные эквивалентности между A и B , где B = End _A ( T ).

Рикард (1989) расширил результаты о производной эквивалентности, доказав , что две конечномерные алгебры R и S являются производными эквивалентными тогда и только тогда, когда S является алгеброй эндоморфизмов «наклонного комплекса» над R . Тилт-комплексы являются обобщениями обобщенных тилт-модулей. Вариант этой теоремы справедлив для колец R и S. произвольных

Хаппель, Райтен и Смало (1996) определили объекты наклона в наследственных абелевых категориях , в которых все Hom- и Ext-пространства конечномерны над некоторым алгебраически замкнутым полем k . Алгебры эндоморфизмов этих наклонных объектов представляют собой квазинаклоненные алгебры , обобщение наклонных алгебр. Квази-наклоненные алгебры над k — это в точности конечномерные алгебры над k глобальной размерности ≤ 2, такие, что каждый неразложимый модуль имеет либо проективную размерность ≤ 1, либо инъективную размерность ≤ 1. Хаппель (2001) классифицировал наследственные абелевы категории, которые могут появиться в приведенной выше конструкции.

Колпи и Фуллер (2007) определили наклоняющиеся объекты T в произвольной абелевой категории C ; их определение требует, чтобы C содержал прямые суммы произвольного (возможно, бесконечного) числа копий T , поэтому это не является прямым обобщением конечномерной ситуации, рассмотренной выше. Учитывая такой объект наклона с кольцом эндоморфизмов R , они устанавливают функторы наклона, которые обеспечивают эквивалентность между торсионной парой в C и торсионной парой в R -Mod, категории всех R -модулей.

Из теории кластерных алгебр пришло определение кластерной категории (из Буана и др. (2006) ) и наклонной алгебры ( Буан, Марш и Рейтен (2007) ), связанной с наследственной алгеброй A. кластерной Кластерная наклонная алгебра возникает из наклонной алгебры как некое полупрямое произведение , а кластерная категория A суммирует все категории модулей кластерных наклонных алгебр, возникающих A. из

Ссылки

• Анжелери Хюгель, Лидия ; Хаппель, Дитер; Краузе, Хеннинг, ред. (2007), Справочник по теории наклона (PDF) , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 332, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511735134 , ISBN.  978-0-521-68045-5 , МР   2385175
• Асем, Ибрагим (1990). «Теория наклона – введение» (PDF) . В Бальцежике, Станислав; Юзефиак, Тадеуш; Кремпа, Ян; Симсон, Дэниел; Фогель, Вольфганг (ред.). Темы по алгебре, часть 1 (Варшава, 1988) . Публикации Банахового центра. Том. 26. Варшава: ПЛН. стр. 127–180. дои : 10.4064/-26-1-127-180 . МР   1171230 .
• Ауслендер, Морис ; Платцек, Мария Инес; Рейтен, Идун (1979), «Функторы Кокстера без диаграмм», Труды Американского математического общества , 250 : 1–46, doi : 10.2307/1998978 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1998978 , MR   0530043
• Бернштейн Иосиф Н. ; Гельфанд, Израиль М. ; Пономарев, В. А. (1973), «Функторы Кокстера и теорема Габриэля», Российские математические обзоры , 28 (2): 17–32, Бибкод : 1973RuMaS..28...17B , CiteSeerX   10.1.1.642.2527 , doi : 10.1070 /RM1973v028n02ABEH001526 , ISSN   0042-1316 , MR   0393065
• Бреннер, Шейла; Батлер, Майкл CR (1980), «Обобщения функторов отражения Бернштейна-Гельфанда-Пономарева», Теория представлений, II (Труды Второй международной конференции, Карлтонский университет, Оттава, Онтарио, 1979) , конспекты лекций в Матем., вып. 832, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 103–169, doi : 10.1007/BFb0088461 , ISBN.  978-3-540-10264-9 , МР   0607151
• Буан, Аслак; Марш, Роберт ; Рейнеке, Маркус; Рейтен, Идун ; Тодоров, Гордана (2006), «Теория наклона и кластерная комбинаторика», Успехи в математике , 204 (2): 572–618, arXiv : math/0402054 , doi : 10.1016/j.aim.2005.06.003 , MR   2249625 , S2CID   15318919
• Буан, Аслак; Марш, Роберт ; Рейтен, Идун (2007), «Алгебры с наклоном кластера», Труды Американского математического общества , 359 (1): 323–332, doi : 10.1090/s0002-9947-06-03879-7 , MR   2247893
• Клайн, Эдвард; Паршалл, Брайан; Скотт, Леонард (1986), «Производные категории и теория Морита», Алгебра , 104 (2): 397–409, doi : 10.1016/0021-8693(86)90224-3 , MR   0866784
• Колпи, Риккардо; Фуллер, Кент Р. (февраль 2007 г.), «Наклоняющиеся объекты в абелевых категориях и квазинаклоненные кольца» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 359 (2): 741–765, doi : 10.1090/s0002-9947-06- 03909-2
• Хаппель, Дитер; Рейтен, Идун ; Смало, Сверре О. (1996), «Наклон в абелевых категориях и квазинаклоненных алгебрах», Мемуары Американского математического общества , 575
• Хаппель, Дитер; Рингель, Клаус Майкл (1982), «Наклоненные алгебры», Труды Американского математического общества , 274 (2): 399–443, doi : 10.2307/1999116 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1999116 , MR   0675063
• Хаппель, Дитер (1988), Триангулированные категории в теории представлений конечномерных алгебр , Серия конспектов лекций Лондонского математического общества, том. 119, Издательство Кембриджского университета, номер домена : 10.1017/CBO9780511629228 , ISBN.  9780521339223
• Хаппель, Дитер (2001), «Характеристика наследственных категорий с помощью наклонного объекта», Invent. Математика. , 144 (2): 381–398, Bibcode : 2001InMat.144..381H , doi : 10.1007/s002220100135 , S2CID   120437744
• Рикард, Джереми (1989), «Теория Морита для производных категорий», Журнал Лондонского математического общества , 39 (2): 436–456, doi : 10.1112/jlms/s2-39.3.436
• Унгер, Л. (2001) [1994], «Теория наклона» , Энциклопедия математики , EMS Press